豫南九校联考文数216 答案
豫南九校2012—2013学年下期高三第一次联考
文科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．
π
14. (0,-
1) 15.
14
16
4
16. (-∞,⋃+∞)
三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）Sn=2an-n
所以Sn-1=2an-1-(n-1)，（n≥2,n∈N*） 两式相减得an=2an-1+1
所以an+1=2(an-1+1)，（n≥2,n∈N*） ……………3分 又因为a1+1=2
所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列
所以ann
n+1=2，即通项公式an=2-1 （n∈N*） ……………6分
（Ⅱ）b，所以bnn
n=nann=n(2-1)=n⋅2-n
所以T12-2)+(3⋅23-3)+ +(n⋅2n
n=(1⋅2-1)+(2⋅2-n)
T21+2⋅22+3⋅23+ +n⋅2n
n=(1⋅)-(1+2+3+ +n) ……9分
令S123n
n=1⋅2+2⋅2+3⋅2+ +n⋅2 ①
2S23nn+1
n=1⋅2+2⋅2+ +(n-1)⋅2+n⋅2 ②
①－②得
-S123+ +2n-n⋅2n+1
n=2+2+2
-S(1-2n
)n=
21-2
-n⋅2
n+1
S2(1-2n
)+n⋅2
n+1
=2+(n-1)⋅2n+1
n= ……………11分
所以Tn=2+(n-1)⋅2n+1-18．（本题满分12分）
n(n+1)
2
……12分
解：记路段AC发生堵车事件为AC，路段AC不堵车事件为AC.各路段发生堵车事件的记法与此类同. …………………………………2分 （Ⅰ）因为各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→F→B遇到两次堵车的概率为
P1=PAC⋅CF⋅FB+PAC⋅CF⋅FB+PAC⋅CF⋅FB =1⋅3⋅11+1⋅17
⋅1+9⋅3⋅1=
772400
()()()
[***********]
，…………………………………6分
（Ⅱ）因为各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率为
P2=1-PAC⋅CD⋅DB=1-PACPCDPDB
=1-⎡⎣1-P(AC)⎤⎦⎡⎣1-P(CD)⎤⎦⎡⎣1-P(DB)⎤⎦ …………………………………8分
()()()()
=1-
1453
⋅=
1015610⋅9
同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率为P3=1－P(AC·CF·FB）=于
310
239800
） ………………………………………………………………………10分
路线A→E→F→B中遇到堵车的概率为P4=1-PAE⋅EF⋅FB=
()
91300
（大于
310
）
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小 …………12分 19．（本题满分12分）
解：解：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．
∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝2a．………2分
12
设G为CD的中点，则CG＝a，AG＝
72
2
a．
∴S∆ABC=S∆ABD=
12
a，S∆BCD=
2
34
a，S∆ACD=
74
a．………5分
2
三棱锥D－ABC的表面积为
SD-ABC=
4+3+4
7
2
a．………6分
（Ⅱ）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC． ∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．……8分 ∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC． ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC ∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF． 12分 20．（本题满分12分） 解：（Ⅰ） 设椭圆方程为
xa
22
+
yb
22
=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1分
2b
2
2
由|PQ|=3，可得=3，……………………………………………2分
解得a=2，b，…………………………………………………３分 =1……………………………………………4分 +
43
（Ⅱ） 设M(x1,y1)，N(x2,y2),不妨y1>0, y2
径为R，
则△F1MN的周长=4a=8，S∆FMN=
1
1
故椭圆方程为
xy
2
12
（MN+F1M+F1N）R=4R
因此S∆FMN最大，R就最大，………………………………………6分
S∆F1MN=
12
F1F2(y1-y2)=y1-y2，
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
⎧x=my+1⎪
由⎨x2y2得
(3m2+4)y2+6my-9=0，………………………８分
+=1⎪
3⎩4
得y1=
12
，y2=
，
，……………9分
则S∆FMN=
1
F1F2（y1-y2）=
y1-y2令则t≥1, 则S∆F1MN=
3m+4
1t
=
12t3t+1
1t
2
2
=
123t+
1t
,………………………10分
令f（t）=3t+，则f′(t) =3-，
当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，
有f(t)≥f(1)=4, S∆FMN≤
1
12
即当t=1,m=0时，S∆FMN≤
1
4124
=3,
=3, S∆FMN=4R，∴Rmax=
1
34
，
这时所求内切圆面积的最大值为
916
π.
916
故直线l方程为x=1，△F1MN内切圆面积的最大值为
21．（本题满分12分）
b
π…………12分
解：（Ⅰ）由f(x)=
a+blnxx+1
⇒f'(x)=(x+1)-(a+blnx)
(x+1)
2
而点(1,f(1))在直线x+y=2上⇒f(1)=1，又直线x+y=2的斜率为-1⇒f'(1)=-1 a⎧
=1⎪⎧a=22⇒⎨故有⎨ ……………5分 2b-a⎩b=-1⎪=-1⎩4
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=由xf(x)
2-lnxx+1
(x>0)
2x-xlnx
x+1
2x-xlnx(1-lnx)(x+1)-(2x-xlnx)1-x-lnx/
令g(x)=……7分 ⇒g(x)==22
x+1(x+1)(x+1)
令h(x)=1-x-lnx⇒h'(x)=-1-
1x
0)，故h(x)在区间(0,+∞)上是减函数，故
当0h(1)=0，当x>1时，h(x)0，当x>1时，g/(x)
⇒g(x)在(0,1)是增函数，在(1,+∞)是减函数，故g(x)max=g(1)=1……………11分
要使
2x-xlnxx+1
1 ………………12分
22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明： AE=
23AB
，∴BE=
13AC
13
AB
.
在正△ABC中，AD=
，∴AD=BE，
又 AB=BC，∠BAD=∠CBE，
∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC
，
即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F，D四点共圆. …………………………（5分）
（Ⅱ）解：取AE的中点G，连结GD，则AG=GE=
AE= AD=∴△AGD
2313AB
12
AE
.
，∴AG=GE=
23
13
AB=
23
，
AC=
，∠DAE=60︒，
为正三角形，
23
∴GD=AG=AD=
，即GA=GE=GD=
23
，
23
所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为.
23
由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
.…（10分）
π解：（I）当α＝时，C1的普通方程为y3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
3
yx－1)与 x2＋y2＝1联立解得C1与C2的交点为(1,0)，（II）C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.
12．…（5分） 2
A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 1⎧x＝α，⎪2⎨1
⎪y＝－2sinαcosα，⎩
2
11
(α为参数)． P点轨迹的普通方程为(x)2＋y2＝.
416
11
故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为 …………（10分）
4424．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（I） |2m+n|+|2m-n|≥|2m+n+2m-n|=4|m|对于任意非零实数m和n恒成立，
当且仅当(2m+n)(2m-n)≥0时取等号， ∴
|2m+n|+|2m-n|
|m|
的最小值等于4． |m+2n|+|m-n|
|m|
|m+2n|+|m-n|
|m|nm|+|1-
nm
…………5分
（II） |2+x|-|2-x|≤恒成立，
故|2+x|-|2-x|不大于|m+2n|+|m-n|
|m|
的最小值．
32
…………7分
因=|1+2|的最小值等于，
实数x的取值范围即为不等式|2+x|-|2-x|≤
解不等式得x≤
34
32
的解．
⎛⎝
3⎤
…………10分 ⎥4⎦
所以实数x的取值范围 -∞,