函数的单调奇偶及周期性_附答案
三、函数的性质 1.函数的单调性
(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)
(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1) >f (x 2) ,那么就说函数f (x ) 在区间D 上是减函数.
(3)若函数f (x ) 在某个区间上总是递增(或递减)的,则该区间是函数的一个单调增(或减)区间.若函数f (x ) 在整个定义域上总是递增(或递减)的,则称该函数为单调增(或减)函数.
2.函数的奇偶性
(1)若一个函数具有奇偶性,则它的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件,即这个函数既不是奇函数也不是偶函数.
(2)若奇函数y =f (x ) 的定义域内有零,则由奇函数定义知f (-0) =-f (0),即f (0)=-f (0),所以f (0)=0.
(3)奇、偶性图象的特点
如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形;反之,如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数.
例4.设定义在R 上的函数y = f(x )是偶函数, 且f (x )在(-∞,0)为增函数.若对于x 1
x 1+x 2>0,则有 ( )
A .f (|x 1|)f (-x 1) C .f (x 1) f (x 2) 【答案】D
举一反三:
【变式1】(1)已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x -4) =-f (x ) ,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A .f (-25)
(2)定义在R 上的偶函数f (x),对任意x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有
f (x 2) -f (x 1)
x 2-x 1
A .f (3)
【解析】(1)由函数f (x ) 是奇函数且f (x ) 在[0,2]上是增函数可以推知f (x ) 在[-2,2]上递增,又
f (x -4) =-f (x ) ⇒f (x -8) =-f (x -4) =f (x ) ,故函数f (x ) 以8为周期,f (-25) =f (-1) ,f (11)=f (3)=-f (3-4) =f (1),f (80)=f (0),故f (-25)
(2)由题知,f (x ) 为偶函数,故f (2)=f (-2) ,又知x ∈[0,+∞)时,f (x ) 为减函数,且3>2>1,∴f (3)
例5.设偶函数f (x ) 满足f (x ) =x 3-8(x ≥0) ,则{x |f (x -2) >0}=( ) A .{x|x<-2或x >4} B .{x|x<0或x >4} C .{x|x<0或x >6} D .{x|x<-2或x >2}
3⎧⎪x -8, x ≥0
【思路点拨】先求f (x ) 的解析式,即f (x ) =⎨3,然后再去解f (x -2) >0这个不等式。
⎪⎩-x -8, x
【解析】 当x <0时,-x >0,∴f (-x ) =(-x ) 3-8=-x 3-8,又f (x ) 是偶函数,
3
⎧⎪x -8, x ≥0
∴f (x ) =f (-x ) =-x -8,∴f (x ) =⎨3,
⎪⎩-x -8, x
3
3
⎧⎧x
∴f (x -2) =⎨,⎨或⎨. 333
(x -2) -8>0-(x -2) -8>0⎪⎩⎩-(x -2) -8, x
解得x >4或x <0,故选B . 例8. 已知函数f (x ) =x +
2
a
(x ≠0,常数a ∈R ). x
(1)讨论函数f (x ) 的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f (x ) 在x ∈[2,+∞)上为增函数,求a 的取值范围.
【思路点拨】(1)对a 进行分类讨论,然后利用奇函数的定义去证明即可。(2)由题意知,任取2≤x 1
<x 2,则有f (x 1) -f (x 2)
【答案】(1)当a=0时,为偶函数;当a ≠0时,既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)(-∞,16].
【解析】 (1)当a=0时,f (x ) =x 2,对任意x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),f (-x ) =(-x ) 2=x 2=f (x ) ,∴f (x ) 为偶函数.当a ≠0时,f (x ) =x +
2
a
(a ≠0,x ≠0),取x=±1,得f (-1) +f (1)=2≠0, x
∴f (-1) ≠-f (1),f (-1) ≠f (1),∴函数f (-1) ≠f (1)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)解法一:设2≤x 1<x 2,
f (x 1) -f (x 2) =x 12+
a a x -x 2
-x 2-=12⋅[x 1x 2(x 1+x 2) -a ],要使函数f (x ) 在x ∈[2,+∞)上为增x 1x 2x 1x 2
函数,必须f (x 1) -f (x 2)
又∵x 1+ x2>4,∴x 1x2(x1+ x2) >16.∴a 的取值范围是(-∞,16]. 解法二:当a=0时,f (x ) =x 2,显然在[2,+∞)上为增函数. 当a <0时,反比例函数当a >0时,同解法一.
举一反三:【变式1】已知函数f (x ) =kx -(1)求实数k 的值及函数的定义域;
(2)判断函数在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明. 【答案】(1)2 (-∞,0)【解析】(1)
(2)单调递增 (0, +∞);
a a 2
在[2,+∞)上为增函数,∴f (x ) =x +在[2,+∞)上为增函数. x x
1
,且f (1)=1. x
1
f (1)=1, ∴k -1=1, ∴k =2,∴f (x ) =2x -,定义域为:(-∞,0)
x
(0, +∞).
(2)在(0,+∞)上任取x 1, x 2, 且x 1
f (x 1) -f (x 2) =2x 1-
111-2x 2+ =(x 1-x 2)(2+) x 1x 2x 1x 2
1
>0∴f (x 1)
x 1
所以函数f (2)=2x -
1
在(0, +∞)上单调递增. x
2
类型四:函数的综合问题
例10.(1)已知函数f (x ) =ax +2ax +1在区间[-1,2]上最大值为4,求实数a 的值;
2
(2)已知函数f (x ) =x -2ax +2,x ∈[-1,1],求函数f (x ) 的最小值.
【思路点拨】第(1)小题中应对二次项系数进行全面讨论,即按a=0,a >0,a <0三种情况分析; 第(2)小题中的抛物线开口方向确定,对称轴不稳定.
【答案】(1)-3或
3
;(2)略 8
(1)f (x ) =a (x +1) 2+1-a .
①当a=0时,函数f (x ) 在区间[-1,2]上的值为常数1,不合题意;
②当a >0时,函数f (x ) 在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f (2)=8a +1=4,a =
3; 8
③当a <0时,函数f (x ) 在区间[―1,2]上是减函数,最大值为f (-1) =1-a =4,a=―3. 综上,a 的值为-3或
3. 8
(2)f (x ) =x 2-2ax +2=(x -a ) 2+2-a 2,对称轴为直线x=a,且抛物线的开口向上,如下图所示:
当a ≥1时,函数f (x ) 在区间[―1,1]上是减函数,最小值为f (1)=3-2a ; 当―1<a <1时,函数f (x ) 在区间[-1,1]上是先减后增,最小值为f (a ) =2-a 2; 当a ≤―1时,函数f (x ) 在区间[―1,1]上是增函数,最小值为f (-1) =3+2a . 【变式1】设函数f (x ) =x 2-2x +2,x ∈[t,t+1],t ∈R ,求函数f (x ) 的最小值.
⎧t 2-2t +2, t >1
⎪
【答案】f (x ) =⎨1,0≤t ≤1
⎪t 2+1, t
【解析】 二次函数是确定的,但定义域是变化的,依t 的大小情况作出对应的图象(抛物线的一段),从中发现规律.
f (x ) =x 2-2x +2=(x -1) 2+1,x ∈[t,t+1],t ∈R ,对称轴为x=1,作出其图象如下图所示:
2
当t+1<1,即t <0时,如上图①,函数f (x ) 在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为f (t +1) =t +1;
当1≤t+1≤2,即0≤t ≤1时,如上图②,最小值为f (1)=1;
当t >1时,如上图③,函数f (x ) 在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f (t ) =t 2-2t +2.
⎧t 2-2t +2, t >1⎪
综上有f (x ) =⎨1,0≤t ≤1
⎪t 2+1, t
函数的单调性、奇偶性及周期性综合训练卷
一、选择题(每题5分,共60分)
1.若奇函数f (x )在[a,b]上是增函数,且最小值为1,则f (x )在[-b,-a]上是( ) A. 增函数且最小值是-1 B. 增函数且最大值是-1 C. 减函数且最小值是-1 D. 减函数且最大值是-1
ax +1
在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a 的取值范围是( ) x +211
A. 0 C.a1 D.a>-2
22
2.函数f (x ) =
3.已知0
C. M =a b , m =b a D. M =b a , m =a b
a
b
a
b
4.函数f (x ) =|2x -1|,af(c )>f(b ),则必有( ) A.a
B.a0,c>0
C. 2
-a
D. 2+2
a c
5.若f (x )是奇函数,那么y=f(x )反函数一定是( )
A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 无法确定其奇偶性 6.设f (x ) =(m -1) x 2+2mx +3为偶函数,则f (x )在区间(-5,-2)上是( ) A. 增函数 B. 减函数
C. 不具有单调性 D. 单调性由m 确定
7.函数f (x ) =log a |x -1|在(0,1)上递减,那么f (x )在(1,+∞)上是( )
A. 递减且无最小值 B. 递增且无最大值 C. 递减且有最小值 D. 递增且有最大值 8.已知函数f (x )的最小正周期是8,且等式f (4+x)=f(4-x )对一切实数x 成立,则 f (x )( )
A. 是偶函数不是奇函数 B. 是奇函数不是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 不是奇函数,也不是偶函数 9.如果f (x )对一切实数x 均有f (a+x)=f(b+x),则f (x )是( )
a +b |a -b |
的函数 B. 对称轴为x =的函数 22
a +b |a -b |
C. 以T =为周期的函数 D. 以T =为周期的函数
22
A. 对称轴为x =10.函数y =
4x 2-1的单调性
1
4
B. 在[, +∞) 上单调递减,在(-∞, ]上单调递增
A. 在[, +∞) 上单调递增,在(-∞, -]上单调递减
141414
C. 在[, +∞) 上单调递增,在(-∞, -]上单调递减
1212
D. 在[, +∞) 上单调递减,在(-∞, -]上单调递增
1212
11.已知函数y=f(x )是定义在R 上的偶函数,则下列各点中,不在函数y=f(x )图象上的点是( ) A. (-a ,f (a )) B. (-a ,f (-a )) C. (-a ,-f (-a )) D. (a ,f (-a )) 12. 已知函数f (x ) =a n x n +a n -1x n -1+ +a 1x +a 0是奇函数,则a 0等于( ) A.-1 B.0 二、填空题(每题4分,共16分)
C.1
D. 不能确定
13.定义在[-1,1]上的函数y=f(x )是减函数,且是奇函数,若f (a 2-a -1) +f (4a -5) >0,则实数a 的取值范围是_______。
1
+a 是奇函数,则常数a=_________。 3x -1x x
+(a>0且a ≠1)的奇偶性是________。 15.函数y =x
a -12
14.已知f (x ) =
16.已知函数f (x )在(0,+∞)上有意义,且单调递增,并且满足:对任意的x 、y ∈(0,+∞),都有f (xy )=f(x )+f(y ),则不等式f (x )
三、解答题(74分)
17.若f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,它们有相同的定义域,且f (x ) +g (x ) =(x )的表达式。(12分)
18.已知函数f (x ) =x 3+x , x ∈R
(1)指出f (x )在定义域R 的奇偶性与单调性;(只须写出结论,无须证明)
(2)若a ,b ,c ∈R ,且a+b>0,b+c>0,c+a>0, 证明:f (a )+f(b )+f(c )>0。(12分)
19.设函数f (x )的定义域关于原点对称,且对于定义域内任意的x 1≠x 2,有
1
,求f (x ),g x -1
f (x 1-x 2) =
1+f (x 1) ⋅f (x 2)
,试判断f (x )的奇偶性,并证明你的结论。(12分)
f (x 2) -f (x 1)
x y
20.设f (x )的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)是递增的,f () =f (x ) -f (y ) (1)求证:f (1)=0,f (xy )=f(x )+f(y ); (2)设f (2)=1,解不等式f (x ) -f (
1
) ≤2。(12分) x -3
21.如图1-3-1由A 城运物到B 城,先走一段水路AD ,再走一段公路DB ,已知水路运费是公路运费的一半,AC=40公里,BC=30公里,问码头D 建在何处才能使运费最省?(12分)
22.已知f (x ) =x 2+c ,且f [f (x )]=f (x 2+1) 。 (1)设g (x )=f[f(x )],求g (x )的解析式;
(2)设ϕ(x ) =g (x ) -λf (x ) ,试问是否存在实数λ,使ϕ(x ) 在(-∞,-1)递减,且在(-1,0)上递增?(14分)
参考答案
1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.C 11.C 12.B 二、13.1≤a ≤
1-3+14.15.偶函数16.(0,1)
22
11①,∴f (-x ) +g (-x ) =①′, x -1-x -1
三、17.解:∵f (x ) +g (x ) =
∵f (x )是偶函数⇒f (-x ) =f (x ) ,g (x )是奇函数⇒g (-x ) =-g (x ) , ∴①′⇒f (x ) -g (x ) =
11x ②,①+②得:f (x ) =2,①-②得:g (x ) =2。
-x -1x -1x -1
18.解:(1)f (x )是定义域R 上的奇函数且为增函数。
(2)由a+b>0得a>-b,由增函数f(a)>f(-b),且奇函数f (-b )=-f(b ),得f (a )+f(b )>0。同理可得f (b )+f(c )>0,f (c )+f(a )>0。相加得:f (a )+f(b )+f(c )>0。
19.解:∵f (x 1-x 2) =
1+f (x 1) f (x 2)
⇒f (x 2-x 1)
f (x 2) -f (x 1)
=
1+f (x 1) f (x 2) 1+f (x 1) f (x 2)
=-=-f (x 1-x 2) ,设x =x 1-x 2,则-x =x 2-x 1,∴f (-x )=-f
f (x 1) -f (x 2) f (x 2) -f (x 1)
(x );又∵f (x )的定义域关于原点对称,∴f (x )为奇函数。
20.(1)证明:f () =f (x ) -f (y ) ,令x=y=1,则有:f (1)=f(1)-f (1)=0,
x
y
x 1
f (xy ) =f () =f (x ) -f () =f (x ) -[f (1) -f (y )]=f (x ) +f (y ) 。
1y y
(2)解:∵f (x ) -f (
1
) =f (x ) -[f (1) -f (x -3)] x -3
, =f (x ) +f (x -3) =f (x 2-3x ) ,∵2=2×1=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4)∴f (x ) -f (
1
) ≤2等价于:f (x 2-3x ) ≤f (4) ①, x -3
且x>0,x-3>0[由f (x )定义域为(0,+∞)可得]。
∵x (x -3) =x 2-3x >0,4>0,又f (x )在(0,+∞)上为增函数, ∴①⇔x -3x ≤4⇒-1≤x ≤4。又x>3,∴原不等式解集为:{x|3
2
(40-x ) 2+302公里。设每公里的水路费用m ,则
22
每公里的路费为2m ,由A 城到B 城的货物的总运费为:M =mx +2m (40-x ) +30①。令y =
M 显m
然要求M 最小值,只要求y 最小值即可。把①整理得:3x 2-2(160-y ) x +(10000-y 2) =0①′,对方程①′∆≥0⇒4(16-y ) 2-12(10000-y ) 2≥0⇒y ≥40+3或y ≤40-
答:将码头建在离A 城约23公里处,运费最省。
22.解:(1)∵f (x ) =x 2+c ,∴f (x 2+1) =(x 2+1) 2+c , ∴g (x ) =f [f (x )]=f (x 2+c ) =(x 2+c ) 2+c 。
又f [f (x )]=f (x 2+1) ⇒(x 2+1) 2+c =(x 2+c ) 2+c ⇒c =1,∴g (x ) =(x 2+1) 2+1。 (2)ϕ(x ) =g (x ) -λf (x ) =(x 2+1) 2+1-λ(x 2+c ) =x 4+(2-λ) x 2+2-λ, 任取x 1>x 2,
44222
则ϕ(x 1) -ϕ(x 2) =x 1+(2-λ) x 12-x 2-(2-λ) x 2=(x 12-x 2)(x 12+x 2+2-λ) ①。
22ϕ(x ) 在(-∞, -1) 上递减⇒x 2x 2且ϕ(x ) 递减⇒①0恒成立⇔λ
22
x 24⇒λ≤4①′。
22ϕ(x ) 在(-1,0)上递增⇒-1x 2且ϕ(x ) 递增⇒①>0,又x 12-x 2x 12+x 2+2, -1
②′,由①′、②′知λ=4。