高中数学导数知识点归纳
高中数学选修2----2知识点
第一章 导数及其应用
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数y =f (x ) 在x =x 0处的瞬时变化率是
∆x →0
lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
,
∆x
我们称它为函数y =f (x ) 在x =x 0处的导数,记作f '(x 0) 或y '|x =x 0, 即f '(x 0) =lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
2. 导数的几何意义:曲线的切线. 通过图像, 我们可以看出当点P n 趋近于P 时,直线PT 与曲线相切。容易
知道,割线PP n 的斜率是k n =
f (x n ) -f (x 0)
,当点P n 趋近于P 时,函数y =f (x ) 在x =x 0处的导
x n -x 0
f (x n ) -f (x 0)
=f '(x 0)
x n -x 0
数就是切线PT 的斜率k ,即k =lim
∆x →0
3. 导函数:当x 变化时,f '(x ) 便是x 的一个函数,我们称它为f (x ) 的导函数. y =f (x ) 的导函数有
时也记作y ', 即f '(x ) =lim
∆x →0
f (x +∆x ) -f (x )
∆x
二. 导数的计算
1)基本初等函数的导数公式: 2 若f (x ) =x , 则f '(x ) =αx
α
α-1
;
3 若f (x ) =sin x , 则f '(x ) =cos x 4 若f (x ) =cos x , 则f '(x ) =-sin x ; 5 若f (x ) =a , 则f '(x ) =a ln a 6 若f (x ) =e , 则f '(x ) =e
x
x
x x
1 x ln a 1
8 若f (x ) =ln x , 则f '(x ) =
x
x
7 若f (x ) =log a , 则f '(x ) =
2)导数的运算法则
2. [f (x ) ∙g (x )]'=f '(x ) ∙g (x ) +f (x ) ∙g '(x )
3. [
f (x ) f '(x ) ∙g (x ) -f (x ) ∙g '(x )
]'=
g (x ) [g (x )]2
3)复合函数求导
y =f (u ) 和u =g (x ) , 称则y 可以表示成为x 的函数, 即y =f (g (x )) 为一个复合函数 y '=f '(g (x )) ∙g '(x )
三. 导数在研究函数中的应用 1. 函数的单调性与导数:
一般的, 函数的单调性与其导数的正负有如下'关系:
在某个区间(a , b ) 内,如果f '(x ) >0,那么函数y =f (x ) 在这个区间单调递增; 如果f '(x )
2. 函数的极值(局部概念)与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数y =f (x ) 的极值的方法是:
(1) 如果在x 0附近的左侧f '(x ) >0, 右侧f '(x ) 0, 那么f (x 0) 是极小值;
(3) 若f '(x )=0,则在该点函数不增不减,可能为极值,也可能就为一过渡点。 4. 函数的最大(小) 值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数y =f (x ) 在[a , b ]上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数y =f (x ) 在(a , b ) 内的极值;
(2) 将函数y =f (x ) 的各极值与端点处的函数值f (a ) ,f (b ) 比较,其中最大的是一个最大值,最
小的是最小值.
可导奇函数的导函数的是偶函数 可导偶函数的导函数的是奇函数
III. 求导的常见方法:
① 常用结论:(ln|x |)' =
1. x
②形如y =(x -a 1)(x -a 2)...(x -a n ) 或y =形式.
(x -a 1)(x -a 2)...(x -a n )
两边同取自然对数,可转化求代数和
(x -b 1)(x -b 2)...(x -b n )
③无理函数或形如y =x x 这类函数,如y =x x 取自然对数之后可变形为ln y =x ln x ,对两边求导可得
y ' 1
=ln x +x ⋅⇒y ' =y ln x +y ⇒y ' =x x ln x +x x . y x
导数中的切线问题
1:已知切点,求曲线的切线方程 2:已知斜率,求曲线的切线方程 3:已知过曲线上一点,求切线方程
过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法. 4:已知过曲线外一点,求切线方程
1. 函数f (x ) 的定义域为开区间(-
y =
f '(x )
3
,3) ,导函数f '(x ) 在2
3
(-,3) 内的图象如图所示,则函数f (x ) 的单调增区间是2
_____________
2. 如图为函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d 的图象,f '(x ) 为函数f (x ) 的导
函数,则不等式x ⋅f '(x )
3. 若函数f (x ) =x +bx +c 的图象的顶点在第四象限,则其导函数
2
f '(x ) 的图象是( )
4. 函数y =f (x ) 的图象过原点且它的导函数f '(x ) 的图象是如图所示的一条直
线,则y =f (x ) 图象的顶点在( )
A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
y =f '(x )
5. 定义在R 上的函数f (x ) 满足f (4)=1.f '(x ) 为f (x ) 的导函
已知函数y =f '(x ) 的图象如右图所示. 若两正数a , b 满足
数,
A .(, ) B .(-∞, ) (3, +∞) C .(, 3)
3222
D .(-∞, -3)
5. (2008年福建卷12) 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )
6. 函数f (x ) =ln x -
12
x 的图象大致是 ( ) 2
A . C . D .
7. 设f ' (x ) 是函数f (x ) 的导函数,将y =f (x ) 和y =f ' (x ) 的图像画在同一个直角坐标系中,不可能
正确的是( )
A . B . C . D .
8. 如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h
随时间t 变化的可能图象是( )
正视图侧视图
俯视图