二次函数图像一般式
精 品 教 案
教师: 刁婧
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知识点1 二次函数y =ax 2+bx +c 的顶点坐标公式
b 24ac -b 2
由配方法,得y =ax +bx +c =a (x +. ) +2a 4a 2
因此我们可以用公式来求二次函数y =ax +bx +c 的对称轴和顶点坐标。即对称轴是直线x =-2b ,顶2a 点坐标是⎛ -b 4ac -b 2⎫ 2a , 4a ⎪⎪.
⎝⎭
例、已知二次函数y =1
2x 2+6x +10. 试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
要点归纳
要点1 同一坐标系中两种不同的图象的判断
例
1. 在同一坐标系中,一次函数
y =ax
+b 与二次函数y =ax 2+bx 的图像大致是( )
A. B. C. D.
变式:在同一坐标系中,一次函数
y =ax
+
b 与二次函数y =ax 2+bx +c 的图像大致是( )
A. B. C. D.
要点2 与抛物线有关的平移变换
例2. 二次函数y =-2x 2+4x +1的图象如何移动才能得到y =-2x 2的图象( )
A. 向左移动1个单位,向上移动3个单位 B.向右移动1个单位,向上移动3个单位
C. 向左移动1个单位,向下移动3个单位 D.向右移动1个单位,向下移动3个单位
变式:把抛物线y =-x 2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后的抛物线的解析式为(
A. y =-(x -1) 2-3 B.y =-(x +1) 2-3 C.y =-(x -1) 2+3 D.y =-(x +1) 2+3
1
)
要点3 二次函数的图象与系数的关系
例3. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc >0;②b <a +c ;③4a +2b +c >0;④2c <3b ;⑤a +b >m (am +b )(m ≠1) . 其中正确的结论有
_____________.
2变式:如图所示的抛物线是二次函数y=ax+bx+c(a ≠0)的图象,则下列结论:
①abc >0;②b+2a=0;③抛物线与x 轴的另一个交点为(4,0);④a+c>b ;⑤3a+c<0.
其中正确的结论有_______________.
要点4 求二次函数的关系式
例4. 已知抛物线的顶点是(2,-4),它与y 轴的一个交点的纵坐标为4,求函数的关系式。
变式:如图,某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成,最大高度为6米,底部宽度为12米.现以O 点为原点,OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标;
(2)求出这条抛物线的函数解析式;
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB ,使C 、D 点在抛物线上,A 、B 点在地面OM 上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
例5. 已知抛物线y =ax +bx +c 与直线y =2x -3交于A(1,b) 、B(d,-b) 两点,求该抛物线的关系式。
2
2
随堂练习
1、把二次函数的图象y =-125再向右平移4个单位,则两次平移后的函数x -3x -向上平移3个单位,22
图象的关系式是______________________________.
2(3, 2) 为顶点的一条抛物线,这个二次函数的表达式为y =x +p x +q 2、函数的图象是以
____________________.
3、二次函数y =ax +bx +c 的图象如图,那么abc 、2a+b、a+b+c、a-b+c这四个代数式中,值为正数的有( )A .4个 B.3个 C.2个 D.1个
4、如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y 轴于A 点,交x 轴于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧). 已知A 点坐标为(0,3).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D , 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切,请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点P 是抛物线上的一个动点,且位于A ,C 两点之间,问:当点P 运动到什么位置时,∆PAC 的面积最大?并求出此时P 点的坐标和∆PAC 的最大面积.
(备用图) (第25题)
2x x
3