_不动点法_与数列通项问题_郝亚宁
中学生数学·2高中)016年1月上·第529期(
)首都师范大学数学科学学院(100048 郝亚宁
由递推公式推导数列通项的问题千姿百态,其方法也不拘一格,在做题时经常会碰到一类递推数列,它满足的是分式递推关系,对大家一般想到的方法是“构造于这种题型,
,法”那么除了这种方法还有没有别的方法呢?笔者在这里给大家介绍一种新的方法“不动点,然后分别用这两种方法解一道高考题,让法”
大家可以体会到这两种方法的优劣.
首先先给大家介绍“不动点法”.,定义 一般地,对于递推数列{若an}
=x叫做特征方程,x)=x的根叫做函数ff(
(的不动点.这种求数列通项公式的方法通x)
1]常称为不动点法[.
了解了什么是“不动点法”后,下面给大家介绍具体的解题原理.
数
苑纵
横
(n,设f(x)=ar≠0,nn+1=
srasrx+n+,数列{满足分式递推关系aa∈N*)n}n+1=
(),设f(的不动点是t则有an≥1x)tf(n)1、2,
(下转第28页)
,,那么把方程f(x)=aax)f(f(n+1=n)
cx+d
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
(上接第26页)
总结 圆锥曲线焦点弦被焦点分成的两条线段长度的倒数和是定值,且该定值等于通径长度倒数的4倍.
在上述性质的基础上,可进一步探究两条得到下列结论
.垂直的焦点弦的性质,
推广1 如图3,
图4
图5
2
推广3 如图5,已知F是抛物线C:y=
已知F是椭圆C2
a
2
2
的+2=1(a>b>0)b
图3
焦点,过点F作直线
且lllC和B、D,l1、2分别与椭圆交于A、1⊥2,
22
则+=2.ACBDab||||2
2
推广2 如图4,已知F是双曲线C2-a
的焦点,过点F作直线l2x(lpp>0)1、2分别与抛物线交于A、且l则C和B、D,l1⊥2,
AC||+=.BD||2p推广1、读2、3也可用性质1的方法证明,而且对于推广1和2,可以同时者可自行证明.
过两个焦点作相互垂直的弦,结论仍成立.
总结 过圆锥曲线的焦点作两条相互垂直的弦,其长度倒数的和(或差)为定值.
圆锥曲线中有很多性质都和焦点有关,在平时的解题中,如果能够细心观察和总结,一定会得到很多奇妙的性质.
(责审 曹付生)
(的焦点,过点F作直线l1a>0,b>0)1、2=b
其中llC两点,l2,1与同一支交于A、2与双曲且l则线两支分别交于B、D两点,l1⊥2,
AC||
22
-=2
.BDab||2
2
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数
苑纵
横
中学生数学·2016年1月上·第529期(
高中)(上接第27页)
((1)若ta(n+1-t1=
p-·n1)1
rt1an-t1
*)
1≠t2,
则数列n-1a是等比数n-t2
}
由于t1=t2,
方程①的两根满足列,且公比q=-rt1
p-rtt1+t2=
2
.
r
,(2)若t则数列所以2rt1=-s+1=t2,p p-rt1=s+rt1,a是等差数
n-t1
}
(*)
变型为列,且公差d=an+1-t1=p-rt1+an-t1.p-rt1
.证明 an+1-t=
a+那么
nraa}
为等差数列,其公差为
n-t1
n+s-t=(p-rt1
.)nan+ran+s=(p-rt
)·ran+
s①
所以an-t1=a)·1-t1+(n-1
p-rt1
.令-t=p-rt,即rt2
+(s-p)t-q=0②
下面分别用“构造法”和“不动点法”解一道高考题,并比较其优劣.
①式化为an+1-
t=(p-rt)·an-tra③
例题n+s (2012年全国卷22题)函数f(x)
而特征方程为x=x2
定义数列{如下:=-2x-3,xn}x1=2.xn+1
rx+s
,是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn
化简为rx2
+(s-p)x-q=0.
与x轴交点的横坐标.
由题有特征方程的根为t1、t2,那么t1、t2
(1)证明:2≤xn<xn+1<3;符合②,从而符合③.
(2)求数列{xn}
的通项公式.(1)若t1≠t2,将t1、t2代入③得
(1)证明略.n(2)“构造法”.
n+1-t1=(p-rt11
ra,n+
s分析 我们由题目很容易把xn+1的递推
n+1-tan2=(p-rt2-t2
ran+s,关系表示出来,xn+1=
3+4xn
2+xn
①
两式相除得an+1-t1-rt1单看上面这个递推关系at=p-rt·an-t1
at,①,不经过变型我n+2-22n-2们是求不出数列所以
a{xn}
的通项公式的,但若是形n-t1
an-t是首项为112
}
a-,公比为
1t2如bbn
n+1=
2+b②这种形式的话,根据其结构n1
-rt的等比数列特点对②两边分别取倒数可得2b2
.bn+1=+n
bn=1
所以an-t1a-t-rt1a)n-1
n-t2=11a1-t2p-rt2
.+(b对于n
③,
③乍一看,和等比数列比较相像,2)若t1=t2,将t1代入③得但是多出常数项1,那么我们要利用“构造法”an+1-t1=(p-rtn11ran+
s.把③变成等比数列考虑其结构特点,两边取倒数得
bn+1
+1=2bn+1)
,
此时b+1}
是等比数列,从而求出{bn}
的通项公n
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np
中学生数学·2高中)016年1月上·第529期(
式.
所以本题关键还是怎样把①变成形如②的结构,此时就构造使得等式两边分式的分子
了.
下面利用“不动点法”来解本题.3+4xn
,解 根据题意解得xn+1=
2+xn,设f(x)=
2+x
,n相同,即x进一步利用已知求a=n+1+
xn+2
然后再利用上面的思路,接下来的过程出a,
就迎刃而解了.
解 直线PQn的方程为
x-5((n)),x-4y-5=x4n-
3+4xn
令y=0,解得x==xn+1.
2+xn
构造数列使其出现xa和xn+a,n+1+
,n设xa=n+1+
xn+2(1-a)xa3+4xn-n
,则x=n+1=
xn+2xn+2
所以a=-3.
x3,n-从而 x3=n+1-
x2n+
nn求倒数得==
x3x3x3n+1-n-n-
,
=1+
x3n-
再利用构造法把上式变成等比数列,设++c,c=5x3x3n-n+1-
利用待定系数法解得c=.
4
从而是首项为-,公比为+
x344n-
5的等比数列.
n-1
,因此+=-·5
x344n-
解得x3-n-1.n=
35+1
进一步思考 利用“构造法”解完本题以
则特征方程为=x,
2+x
2
化简得x-2x-3=0.
数
苑纵
横
它的两根为t那么t3,t1,t1=2=-1≠2.利用“不动点法”中的第一种情况有:数列
n是等比数列,且首项是-
x1n+
}
,公比为q=,
35
-3·那么n=-
35x1n+解得x3-·n-1.n=
35+1
())
n-1
,
总结 通过上面两种方法的对比,可以看不动点法”没有“构造法”那样有技巧性,过到“
程也比较简单,大家只要了解“不动点法”的解题原理,这种方法就很容易掌握,但是“不动点法”是针对这种满足分式递推关系an+1=求数列通项问题的,这样“不动点法”就af(n)
有一定的局限性.
而“构造法”是高中阶段求数列通项需要掌握的一种方法,这种解法属于常规解法,它应用范围在数列的类型要求上没有那么严格,就广泛一些,但是这种方法重在思考.所谓“构,造法”关键就在“怎样构造”怎样通过一些变型得到我们熟悉的结构,一般最后都归结到等差、等比模型从而使问题得到解决.大家在掌握这两种方法的基础上要多思考,学会灵活变具体的解法就题而定.通,
参考文献
[]方志平.递推数列[中山大学出版社,1M].2012,5
(责审 周春荔)
)
}
n
后,大家再仔细观察x这种递推关n+1=
2+xn
系,发现他和“不动点法”中的分式递推关系很像,那么到底“不动点法”能不能解此题呢?我们可以先用特征方程把不动点求出来,然后利不动点法”的解题原理,这道题就迎刃而解用“
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