几何概型教材及有关高考试题的错误分析

・４２・中学数学研究２０１５第１期有９项，其中戈，ｙ，ｚ每个字母都出现６次）故（戈＋ｙ＋．这说明不存在一组戈，ｙ，彳∈（Ｏ，１），满足戈＋ｙ＋

ｚ）８一戈“展开共有（３８—１）项，应用（３“一１）维均值ｚ＜１．即对满足条件的一切ｚ，ｙ，ｚ，都有戈＋ｙ＋石≥＂擎邛一，・譬Ｊ，专一不等式，可得（菇＋ｙ＋ｚ）８一戈“≥（３“一１）‘１．故原命题成立．

说明：用以上方法可得更一般的结论．

半＞堕生掣＞（３ｎ一１）．哮．对正实数口。，ｎ：，…，％（ｎ≥３）及正整数ｍ（ｍ

ｎ一”

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同理｛一１：掣＞堕盟掣＞／＼Ｊ１／‘≥２）’有荟丽葡ｉ丧亏赢≥ｎ—ｌ

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），ｙ），（以上等号当且仅当口。＝口：＝…＝ｎ。时成立）

垃生掣＞（３ｎ一１）．毕，以上三式（３ｎ一１）．晖，｛一ｌ：粤＞ｖ石ｉｚ石参考文献

ｎ・３ｎ—ｌ

［１］赵元翔．一道猜想不等式的极限证明［Ｊ］．中学数学研究

石ｚ而（江西），２０１４．３．

相乘，可得（｛一１）（｛一１）（｛一１）＞（３ｎ一１），．［２］张小丹，汤强．对一道猜想不等式的证明［Ｊ］．中学数学

ｘ，ｚ研究（江西），２０１４．３．

筑＝（３”＿１）３．蚓专＿１）（古＿１）（专一［３］刘宜兵，杨晓琴．一道猜想不等式的初等证明［Ｊ］．中学

数学研究（江西），２０１４．９

ｌ菇懈）３“Ｉ“Ｊ。

１）＝（３“一１）３矛盾．

●｝１｝１｝・Ｉ—｝●｝・‘ｃ１｝—三（●｝・Ｉ●∈（１｝●｝—｝＇Ｅｃ—Ｅ（１｝・ｔｃ●三（１｝１Ｅ（＇１１｝＇Ｅ（１｝—｝—Ｅ（—｝・ｔｃｌＥ（１｝●∈（１Ｅ（—Ｅ（—Ｅ（—｝１｝●｝１｝＇三（—Ｅ（・‘ｃ—Ｅ（１｝１｝

几何概型教材及有关高考试题的错误分析

浙江省绍兴市稽山中学（３１２０００）许钦彪

关于几何概型，教育部制订的《普通高中数学

课程标准》（人民教育出版社２００３年４月版，以下简显然甲获胜的概率是÷事

称《课标》）第２６页要求是：“能运用模拟方法估计实上，甲获胜的概率与字母日所

概率，初步体会几何概型的意义（参见例３）”，并用在扇形区域弧长有关，而与Ｂ所

第３０页的例子进行了具体的体例说明．按照该要在区域的位置无关…Ｐ（甲“获

求，结合中学生和中学数学的实际情况，以及概率内３

容本身的特点，这部分内容在中学数学教学中不必胜，，）＝｝＝÷．图１再延伸或拓展，否则就会造成阐述不清甚至于错误然后引入了几何概型的概念．

而使中学生难以接受．下面就以按《课标》要求编写这个引入介绍是不够准确的，因为没有搞清楚的现行普通高中数学教材中有关这部分内容的一些事件的本质．事实上，转盘游戏中确定能否获胜的是错误问题进行分析．指针的方向，而不能理解为指针所在的区域面积或

人民教育出版社Ａ版数学必修３（２００７年２月对应的弧长，否则，把转盘改成椭圆（或矩形），则无版）第１３５页的介绍是：论用区域面积还是对应的弧长都不能计算出获胜的

问题甲乙两人玩如图１的转盘游戏，规定当概率．而应用指针方向对应的角度范围来考虑，则能指针指向日区域时，甲获胜，否则乙获胜．正确解决．设获胜这一事件看作Ｂ，则曰对应的指针的角度范围有２１６０，而所有角度范围有３６００，所以

２０１５年第１期中学数学研究・４３・咖）＝筹＝÷．等于鲁需”这一条件的．

北师大出版社数学必修３（２００６那么，如何描述几何概型和模拟方法呢？还是应年１月版）第１８１页§３模拟方法４按《课标》第３０页的例３为好．湖北教育出版社数学一一概率的应用中关于几何概型的必修３（２００５年９月版）第７３页例ｌ，人民教育出版介绍是：社数学必修３（２００４年５月版）第１２２页例３都采用

如图２所示的正方形中随机地了这个例子．

撒１００粒芝麻，则大约有２５粒落在图２在所示的图３中随机撒一大把

区域４内，因此有豆子，计算落在圆中的豆子数与落

落在区域Ａ内的芝麻数一区域Ａ的面积在正方形中的豆子数之比，由此估

落在正方形内的芝麻数正方形的面积‘计圆周率的值．

从而抽象概括为：向平面上有限区域Ｇ内随机这个问题与以上的“向正方形

地投掷点Ｍ，若点Ｍ落在子区域Ｇ，ｃＧ的概率与Ｇ，撒１００粒芝麻……”的意义和解法图３在Ｇ。）＝鲁篇，则称这种模型为几何概型．的面积成正比，而与Ｇ的形状、位置无关，即Ｐ（点落是一样的，但是它们的描述是不同

的．这里是先撒一大把豆子，可以落在正方形内外，

然后去数正方形内的豆子数，外面的不算．这样就保

人民教育出版社Ａ版数学必修３（２００７年２月证了撒豆子的随机性和等可能性，避免了１００粒芝版）第１３６页和召版数学必修３（２００４年５月版）第麻都要有目标地撒在正方形内的问题．

１１９页也给出了类似定义．湖北教育出版社数学必修３（２００５年９月版）第“如果概率与面积成正比且等于鲁器”，才能称这类定义是不够明确的．因为定义的意思是７０页—７１页关于几何概型的引入问题和介绍是：

如果在５００１００克ｍ２的海域里有一个表面积达４０

后ｍ２的大陆架贮藏石油．假如在这海域里随意选定

其为几何概型．而在实际问题中，我们的目的是求概一个点钻探，钻到石油的概率是多少？

率，在求概率之前，很难根据条件认定概率是“与面积成正比且等于鲁需”，除非题目中已知说明，这个问题是在给定区域上选点，同样避免了向

给定区域撒点带来的随机性和等可能性的问题．

也就是说按该定义判断某个问题是否几何概型是很此例中，由于选点的随机性，可以认为该海域中困难的，所以这三本教材也没有类似的判断题．各点被选中的可能性是一样的，所求概率也自然地

另外，北师大版教材中所举的引入问题也是不认为等于贮油海域与整个海域面积之比为品焉丽２严格的，因为它的前提是要把１００粒芝麻随机地都

撒在正方形内，这里既要“随机”又要“在正方形面’１

内”（限制区域），本身就有矛盾．问题是怎么撒？如上述问题中，随机试验具有两个共同点：

果没有围框，就不能保证不落在正方形外．如果有围（１）随机试验的所有可能结果有无限多，它们框，而且要保证把芝麻撒在框内，这就难以做到随机构成一个几何区域ｎ，这个区域可以是一维（直线）和等可能了．假如把正方形分成９个小方格，Ａ是中的，也可以是二维（平面图形）的．我们所关心的事部的一个（实质与该问题一样），这个模拟方法更难件所包含的可能结果也是无限的，它们构成的点集实践．为Ｑ的一个子区域．

于是，由此引入的“投一个点刚好在Ａ处的概（２）由问题的叙述可知，每个可能结果的发生率”，就难以认定这个概率是不是几何概型，因为这具有等可能性，但是这里不能照搬古典概型的情况．个点可能会在正方形外．如果是“向正方形投一个在这里，等可能性的描述为：在区域门中任选一点，点”，这种投法就有目标性，那么以正方形内的那个该点落在ｎ的子集ｇ中的概率，只与ｇ的度量有关，点为目标呢？这种有限制条件（目标）的投点与随机而与ｇ的位置及形状无关．

性和等可能性是矛盾的，更不能说是几何概型了．无我们把这种具有如上两个特点的概率模型称为论怎样，都是难以解释满足“概率与面积成正比且几何概型（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｍｏｄｅｌ），对应的试

・４４・中学数学研究２０１５第１期验称为几何概型试验．例２可以看出，几何概型中事扔到该圆内，用Ａ表示事件“豆子落在正方形ＥＦ伽件发生的概率的计算可用如下公式进行：若以Ａ。表则Ａ。的概率为Ｐ（以）＝告篙薏｛专勰．内”，召表示事件“豆子落在扇形Ｄ脚（阴影部分）示在力中任取一点、，且该点落在子集ｇ中这一事件，内”，则（１）Ｐ（Ａ）＝——；（２）Ｐ（Ｂ）＝

这三个问题都出现了既要

对于几何概型，以上介绍是比较准确的，可以在随机地，又要向指定目标区域投

教学时参考采用．点的矛盾，既有投掷的目标，就

数学是非常严谨的学科，这种严谨包括了其知不能满足随机和等可能性的前

识的真实、思维的缜密和教学的严肃，同时也必须在提，也很难认定是几何概型．好

数学问题和解决上体现其严谨，更不能在高考试题在考生都是默认为是几何概型

中出现错误．由于教材中对几何概型的模糊不清，从图４

（事实上默认为是平面几何问

而导致了高考试题中有关几何概型试题的一些失题）来做，所以也没有出现大的失误，但对数学的严误，下面选择几例近年各地高考试题中几何概型的肃性是不利的．而同样的问题，如果把随机地投点改问题予以说明．为随机地取点，可以避免这个疑问．

（２００８江苏卷６）在平面直角坐标系戈以中，若（２０１１年福建卷理４）如图

Ｄ表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于２的点构５，矩形Ａ曰ＣＤ中，点Ｅ为边ＣＤ的

成的区域，Ｅ表示到原点的距离不大于１的点构成中点，若在矩形Ａ曰∞内部随机

的区域，向Ｄ内随机地投一点，则落在Ｅ中的概率为取一个点Ｑ，则点Ｑ取自△ＡＢＥ

内部的概率等于（）．

（２０１１年江西卷理科１２）小波通过做游戏的方图ｓ

式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，Ａ．÷曰．÷Ｇ．丢ｐ．手

１

若此点到圆心的距离大于÷，则周末去看电影；若此还有２０１２年的辽宁理１０，湖北理８，福建理６，

二北京理２等都采用了“取点”的描述．

１

点到圆心的距离小于÷，则去打篮球；否则，在家看事实上，高考中的所谓几何概型的试题，基本上

叶

书，则小波周末不在家看书的概率为就是平面几何问题，无非是想出现几何概型的这一

．

（２０１１年湖南卷理科１５）如图，ＥＦ伽是以０为知识点，但如果试题阐述不当，容易产生对几何概型圆心，半径为１的圆内接正方形．将一颗豆子随机地的模糊认识．是否有这个必要，可以进一步研讨．

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一个猜想的否定及改进

江苏省苏州市工业园区新馨花园１７幢４０９室（２１５０００）袁金奇

有名辉老师在文１１Ｊ中对“一道第４９届删０赛

题（第２题）的类比”后提出猜想：Ｌ｝垒时，对于戈充分大，ｙ，ｚ足够趋于。的情况，不都不等于一１，且彬＝１，则南＋南设实数Ａ，髫，ｙ，ｚ满足：一ｌ＜Ａ＜１，Ａ髫，Ａｙ，Ａｚ等式恒不成立”．进而提出并证明了两个“正确命

．．２．．２题”．其中

＋商≥南‘（１）正确命题１设实数Ａ，菇，），，ｚ满足０＜Ａ＜１，

Ａ戈，Ａ），，Ａ彳都不等于一１，且戈弘ｉ

赵元翔老师在文ｆ２］中指出：“当一１＜Ａ＜矗斋＋—斋≥格．ｌ，则南＋

几何概型教材及有关高考试题的错误分析作者：

作者单位：

刊名：

英文刊名：

年，卷(期)：许钦彪浙江省绍兴市稽山中学,312000中学数学研究Studies in Middle School Math Guangdong2015(1)

引用本文格式：许钦彪 几何概型教材及有关高考试题的错误分析[期刊论文]-中学数学研究 2015(1)