坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程

第一节坐标系

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P (x ，y ) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

⎧，(λ＞0)，⎪x ′＝⎨φ：的作用下，点P (x ，y ) 对应到点P ′(x ′，y ′) ，称φ为平面直⎪y ′＝(μ＞0)⎩

角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：

如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox (及其正方向(通常取逆时针方向) ，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标：

设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. 有序数对(ρ，θ) 叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ) ．

一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化

设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y ) ，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0) ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

4.

1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置) ．

2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．

注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π) ，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z ) 表示同一点的坐标． [试一试]

1．点P 的直角坐标为(1，－3) ，则点P 的极坐标为________．

π解析：因为点P (1，－3) 在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 3π2，－⎫ 答案：⎛3⎭⎝

2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x －y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －y ＝0

1．确定极坐标方程的四要素

极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y ) 化为极坐标(ρ，θ) 的步骤 y

(1)运用ρx ＋y ，tan θ＝(x ≠0)

x

y

(2)在[0,2π) 内由tan θ＝(x ≠0) 求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．

x [练一练]

1．在极坐标系中，圆心在(2，π) 且过极点的圆的方程为________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ) ，则∠ABO ＝θ－90°， ρOB ＝22＝

sin (θ－90°)化简得ρ＝－2cos θ. 答案：ρ＝－2cos θ

π2

2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋) ＝，则极点到该直线的距离是________．

42π22

解析：极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin(θ) ＝ρθ＋cos θ＝

4222∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝π22

θ＋＝的距离为

即极点到直线ρsin ⎛⎝422答案：

2

2

12， 22

1⎧⎪x ′＝2x ，

1.(2014·佛山模拟) 设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎨则在这一坐标变换

⎪⎩y ′＝3y ，下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．

1x ＝2x ′，⎧⎧⎪x ′＝2x ，⎪

解析：∵⎨∴⎨1

y ＝y ′. ⎪⎪⎩y ′＝3y ，⎩3代入y ＝sin x 得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′

x ′＝2x ，⎧⎪π

2．函数y ＝sin(2x ＋经伸缩变换

⎨14y ′＝y ⎪2⎩

后的解析式为________．

1x ′＝2x ，⎧⎧⎪⎪x ＝2x ′，

解析：由⎨得⎨① 1

y ′＝y ，⎪⎪2⎩⎩y ＝2y ′.

π1π

将①代入y ＝sin(2x ＋，得2y ′＝x ′＋，

4241π

即y ′x ′＋) ．

241π

答案：y ′＝sin(x ′＋24

⎧⎪x ′＝3x ，y 2

⎨3．双曲线C ：x －＝1经过φ：变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．

64⎪2y ′＝y ⎩

2

1⎧⎪x ＝3′，y 22

解析：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′) ，由上述可知，将⎨代入x 64

⎪⎩y ＝2y ′，x ′24y ′2x ′2y ′2x 2y 2

＝1得1－＝1，即－1为曲线C ′的方程，可见仍是双

964916916曲线，则焦点F 1(－5,0) ，F 2(5,0)为所求．

答案：(－5,0) 或(5,0) [类题通法]

⎧x ，(λ>0)⎪x ′＝λ·

⎨平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直⎪y ′＝μ·y ，(μ>0)⎩

线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．

[典例] x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．

(1)求曲线C 1的直角坐标方程；

x 2y 2

(2)曲线C 2的方程为＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |

164的最小值．

[解] (1)曲线C 1的方程可化为3(x 2＋y 2) ＝12x －10， 2

即(x －2) 2＋y 2＝3

(2)依题意可设Q (4cos θ，2sin θ) ，由(1)知圆C 1的圆心坐标为C 1(2,0)． 故|QC 1|＝(4cos θ－2)＋4sin θ ＝12cos θ－16cos θ＋8

＝2

2

cos θ－2＋ 3⎛33⎝

266

|PQ |min ＝. 33

|QC 1|min ＝

[类题通法]

直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．

[针对训练]

(2013·安徽模拟) 在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．

解析：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，|0－1＋1|

即x 2＋(y －1) 2＝1. 圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝0

2

答案：相交

[典例]⎧⎪x ＝2＋2cos θ，⎨(θ为参数) ，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O ⎪y ＝2sin θ⎩

π

为极点，以x 轴正半轴为极轴) 中，直线l 的方程为ρsin(θ＋＝22.

4

(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．

[解] (1)由已知得，曲线C 的普通方程为(x －2) 2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ. (2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，

22⎧⎪x ＋y －4x ＝0，由⎨得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为22.

⎪x ＋y ＝4，⎩

解：由曲线C ，C 1极坐标方程联立33π

∴cos 2θ＝，cos θ＝，又ρ≥0，θ∈[0，) ．

422∴cos θ＝

π3π

2，. ，θ＝ρ＝23，故交点极坐标为⎛6⎝26

[类题通法]

求曲线的极坐标方程的步骤

(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ) 是曲线上任意一点；

(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练]

(2013·荆州模拟) 在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．

解析：ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3.

答案：ρcos θ＝3

第二节参数方程

1．参数方程和普通方程的互化

(1)参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t ) ，把它代入普通方程，求出

⎧x ＝f (t )，⎪另一个变数与参数的关系y ＝g (t ) ，那么，⎨就是曲线的参数方程．

⎪y ＝g (t )⎩

2．常见曲线的参数方程和普通方程

⎧⎪x ＝x 0＋t cos α，

1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎨

⎪y ＝y 0＋t sin α. ⎩

(t 为参数)

注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．

2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． [练一练]

⎧⎪x ＝1＋2t ，

1．若直线的参数方程为⎨(t 为参数) ，则直线的斜率为________．

⎪y ＝2－3t ⎩

2

A. 33C. 2

y －2－3t 33

解析：tan α＝－.

22x －12t 3

答案：2

2B ．－

33D ．－

2

⎧x ＝3t 2＋2⎪

2．参数方程为⎨(0≤t ≤5) 的曲线为__________(填“线段”、“双曲线”、“圆2

⎪y ＝t －1⎩

弧”或“射线”) ．

解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1) ＋2， 即x －3y －5＝0，

由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段． 答案：线段

1．化参数方程为普通方程的方法

消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．

2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法

⎧⎪x ＝x 0＋t cos α，

经过点P (x 0，y 0) ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎨(t 为参数) ．若A ，

⎪⎩y ＝y 0＋t sin α

B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：

(1)t 0＝

t 1＋t 2

2

t 1＋t 2

2

(2)|PM |＝|t 0|＝

(3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. [练一练]

1．已知P 1，P 2

⎧是直线⎨y ＝－2＋⎩2

1x ＝1＋，

2

(t 为参数) 上的两点，它们所对应的参数分别为

t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2) 的距离是________．

t 1＋t 2

解析：由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为P 对应的参数为t ＝0，

2|t ＋t |

∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为.

2|t 1＋t 2|答案：2

⎧

2．已知直线⎨1

y ＝－1⎩2

________．

1x ＝2－t ，

2

(t 为参数) 与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为

2

＝2－′，⎧x ＝2－122

解析：∵⎨

12

y ＝－1＋t ＝－1t ′，⎩22

⎛t ′＝2⎫代入x 2＋y 2＝4，得⎛22t ′⎫2＋

2⎭2⎝⎝⎭

⎛－12′⎫2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′－t ′|＝(t ′＋t ′)－4t ′t ′＝121212

2⎝⎭

(2)2－4×1＝14.

答案：14

⎧x ＝23cos θ1. 曲线⎨(θ为参数) 中两焦点间的距离是________．

y ＝2sin θ⎩

y 2x 2

解析：曲线化为普通方程为＝1，∴c ＝6，故焦距为26.

1812答案：6

⎧⎪x ＝1＋cos θ，

2．(2014·西安质检) 若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎨(θ为参数) 相切，则实数m

⎪y ＝－2＋sin θ⎩

的值是________．

⎧⎪x ＝1＋cos θ，

解析：圆⎨消去参数θ，化为普通方程是(x －1) 2＋(y ＋2) 2＝1. 因为直线与

⎪y ＝－2＋sin θ⎩

|3＋4×(－2)＋m |

圆相切，所以圆心(1，－2) 到直线的距离等于半径，即＝1，解得m ＝0或m

5＝10.

答案：0或10

3．(2014·武汉调研) 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极

⎧x ＝－t ，坐标系．已知直线⎨(t 为参数，t ∈R ) 与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，

⎩y t

与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.

解析：由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2) 2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1) 2＝1， 1画图可得，|AB |＝4cos 30°×

2

答案：3 [类题通法]

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．

⎧⎧⎪x ＝1＋t cos α，⎪x ＝cos θ，⎨⎨[典例] (2013·郑州模拟) 已知直线C 1：(t 为参数) ，曲线C 2：⎪y ＝t sin α⎪y ＝sin θ⎩⎩

(θ为参数) ．

π

(1)当α＝C 1与C 2的交点坐标；

3

(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

π

[解] (1)当α＝时，C 1的普通方程为y 3(x －1) ，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，

3

⎧y ＝3(x －1)，13

联立方程⎨22解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎛.

2⎝2⎩x ＋y ＝1，

(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin2α，－sin αcos

α) ，

故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为

⎧⎨1

⎩y ＝－2αcos α

1

x 2α，2

(α为参数) ，

11

∴点P 轨迹的普通方程为(x －2＋y 2＝41611

故点P 的轨迹是圆心为(，0) ，半径为的圆．

44

a 3＝－1，故a ＝

[类题通法]

1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．

⎧x ＝x 0＋at ，⎪

2．对于形如⎨(t 为参数)

⎪y ＝y ＋bt ⎩0

3

. 3

当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [针对训练]

⎧⎪x ＝2cos t ，

(2013·新课标卷Ⅱ) 已知动点P ，Q 在曲线C ：⎨(t 为参数) 上，对应参数分别

⎪⎩y ＝2sin t

为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π) ，M 为PQ 的中点．

(1)求M 的轨迹的参数方程；

(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α) ，Q (2cos 2α，2sin 2α), 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α) ．

⎧⎪x ＝cos α＋cos 2α，

M 的轨迹的参数方程为⎨(α为参数，0＜α＜2π) ．

⎪y ＝sin α＋sin 2α⎩

(2)M 点到坐标原点的距离

d ＝x ＋y ＝2＋2cos α(0＜α＜2π) ． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．

[ππ2，，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎛θ－＝a ，且轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎛4⎝⎝4点A 在直线l 上．

(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；

⎧x ＝1＋cos α，⎪(2)圆C 的参数方程为⎨(α为参数) ，试判断直线l 与圆C 的位置关系． ⎪y ＝sin α⎩

ππ2，⎫在直线ρcos ⎛θ－⎫＝a 上， [解] (1)由点A ⎛4⎭⎝⎝4⎭

可得a 2.

所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，

从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.

(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1) 2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，

因为圆心C 到直线l 的距离d ＝

所以直线l 与圆C 相交．

[类题通法]

涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

[针对训练]

⎧⎪x ＝cos θ，(2013·石家庄质检) 已知P 为半圆C ：⎨(θ为参数，0≤θ≤π) 上的点，点A 的⎪y ＝sin θ⎩12＝

π坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为3

(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；

(2)求直线AM 的参数方程．

ππππ解：(1)由已知，点M 的极角为，且|OM |＝M 的极坐标为． 3333

π3π(2)由(1)可得点M 的直角坐标为(，，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为66

⎧⎨⎩y ＝

πx ＝1＋(－1)t ，63π6 (t 为参数) ． 11

12