高一数学 必修一基础知识试题

一、选择题

1．已知全集U ＝{0，1，2}且U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( ) ．

A ．3个

D ．6个

2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{ x|x ＜a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( ) ．

A ．{a |a ≥1} B ．{a |a ≤1} C．{a |a ≥2}

D ．{a |a ＞2}

3．A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A B =A ，则m 的取值集合是( ) ．

11⎫11⎫⎧

， －0， －， A ．⎧ B ．⎨⎬⎨⎬

⎩3

2⎭

⎩

3

2⎭

11⎫ ⎬ D ．⎧⎨，

⎩32⎭

B ．4个 C ．5个

C ．

1⎫⎧1

， ⎬ ⎨0，

2⎭⎩3

4．设I 为全集，集合M ，N ，P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( ) ．

A ．M ∩(N ∪P ) B ．M ∩(P ∩I N )

C ．P ∩

(I N ∩I M ) D ．(M ∩N ) ∪(M ∩P )

y －3⎫

5．设全集U ＝{(x ，y ) | x∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎧ ＝1⎬，⎨(x ，y ) |

⎩

x －2

⎭

(第4题)

P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么U (M ∪P ) 等于( ) ．

A ．

B ．{(2，3)}

D ．{(x ，y )| y＝x ＋1}

C ．(2，3)

6．下列四组中的f (x ) ，g (x ) ，表示同一个函数的是( ) ． A ．f (x ) ＝1，g (x ) ＝x 0 g (x ) ＝

x 2

x

B ．f (x ) ＝x －1，

－1

x )

4

C ．f (x ) ＝x 2，g (x ) ＝(＝x 9

D ．f (x ) ＝x 3，g (x )

7．函数f (x ) ＝1－x 的图象关于( ) ．

x

A ．y 轴对称 对称

B ．直线y ＝－x

C ．坐标原点对称 对称

D ．直线y ＝x

1

8．函数f (x ) ＝x ∈R ) 的值域是( ) ．

1＋x A ．(0，1) B ．(0，1] C ．[0，1)

D ．[0，1]

9．已知f (x ) 在R 上是奇函数，f (x ＋4) ＝f (x ) ，当x ∈(0，2) 时，f (x ) ＝2x 2，则f (7) ＝( ) ．

A ．－2

D ．98

10．定义在区间(－∞，＋∞) 的奇函数f (x ) 为增函数；偶函数g (x ) 在区间[0，＋∞)的图象与f (x ) 的图象重合．设a ＞b

B ．2 C ．－98

＞0，给出下列不等式：

①f (b ) －f (－a ) ＞g (a ) －g (－b ) ；②f (b ) －f (－a ) ＜g (a ) －g (－b ) ；

③f (a ) －f (－b ) ＞g (b ) －g (－a ) ；④f (a ) －f (－b ) ＜g (b ) －g (－a ) .

其中成立的是( ) ．

A ．①与④ B．②与③ C ．①与③

D ．②与④ 二、填空题 11．函数y =

x -1+x 的定义域是

12．若f (x ) ＝ax ＋b (a ＞0) ，且f (f (x )) ＝4x ＋1，则f (3) ＝ ．

13．已知函数f (x ) ＝ax ＋2a －1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a 的取值范围是 ．

14．已知I ＝{不大于15的正奇数}，集合M ∩N ＝{5，15}，

(I M ) ∩

(I N ) ＝{3，13}，M ∩

(I N ) ＝{1，7}，则M ＝，N ＝ ．

15．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是_________．

16．设f (x ) 是R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞) 时，f (x ) ＝x (1＋x 3) ，那么当x ∈(－∞，0]时，f (x ) ＝ ．

三、解答题

17．已知A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{ x|x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，且∅(A ∩B ) ，A ∩C ＝∅，求a 的值．

18．设A 是实数集，满足若a ∈A ，则

1

，a ≠11－a

且1 A ．

(1) 若2∈A ，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素． (2) A 能否为单元素集合？请说明理由． (3) 若a ∈A ，证明：1－1∈A ．

a

19．求函数f (x ) ＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上的最小值．

20．已知定义域为R 的函数f (x ) ＝(1) 求a ，b 的值；

－2x ＋b

2＋a

是奇函数．

(2) 若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t ) ＋f (2t 2－k ) ＜0恒成立，求k 的取值范围．

参考答案

一、选择题 1．A

解析：条件U A ＝{2}决定了集合A ＝{0，1}，所以A 的真子集有∅，{0}，{1}，故正确选项为A ．

2．D

解析：在数轴上画出集合A ，B 的示意图，极易否定A ，B ．当a ＝2时，2 B ，故不满足条件A ⊆B ，所以，正确选项为D ．

3．C

解析：据条件A ∪B ＝A ，得B ⊆A ，而A ＝{－3，2}，所以B 只可能是集合∅，{－3}，{2}，所以，m 的取值集合是C ．

4．B

解析：阴影部分在集合N 外，可否A ，D ，阴影部分在集合M 内，可否C ，所以，正确选项为B ．

5．B

解析：集合M 是由直线y ＝x ＋1上除去点(2，3) 之后，其余点组成的集合．集合P 是坐标平面上不在直线y ＝x ＋1上的点组成的集合，那么M P 就是坐标平面上除去点(2，3) 外的所有点组成的集合．由此U (M P ) 就是点(2，3) 的集合，即U (M P ) ＝{(2，3)}．故正确选项为B ．

6．D

解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A ，B ，C 中，两函数的定义域不同，正确选项为D ．

7．C

解析：函数f (x ) 显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C ．取特殊值不难否定其它选项．如取x ＝1，－1，函数值不等，故否A ；点(1，0) 在函数图象上，而点(0，1) 不在图象上，否选项D ，点(0，－1) 也不在图象上，否选项B ．

8．B

解析：当x ＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A ，C ；当x 的绝对值取

值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D ．故正确选项为B ．

9．A

解析：利用条件f (x ＋4) ＝f (x ) 可得，f (7) ＝f (3＋4) ＝f (3) ＝f (－1＋4) ＝f (－1) ，再根据f (x ) 在R 上是奇函数得，f (7) ＝－f (1) ＝－2×12＝－2，故正确选项为A ．

10．C

解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，函数f (x ) ，g (x ) 在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C ．

二、填空题

11．参考答案：{x | x≥1}．

解析：由x －1≥0且x ≥0，得函数定义域是{x |x ≥1}． 12．参考答案：

19． 3

解析：由f (f (x )) ＝af (x ) ＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，所以a 2＝4，ab ＋b ＝1(a ＞0) ，解得

1911

a ＝2，b ＝，所以f (x ) ＝2x ＋，于是f (3) ＝．

333

⎛1⎫ 13．参考答案： ，＋∞ ⎪． ⎝2⎭

解析：a ＝0时不满足条件，所以a ≠0． (1) 当a ＞0时，只需f (0) ＝2a －1＞0； (2) 当a ＜0时，只需f (1) ＝3a －1＞0． ⎛1⎫

综上得实数a 的取值范围是 ，＋∞ ⎪ ． 2⎝⎭

14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．

解析：根据条件I ＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M ∩N ＝{5，15}，M ∩(I N ) ＝{1，7}，得集合M ＝{1，5，7，15}，再根据条件(I M ) ∩(I N ) ＝{3，13}，得N ＝{5，9，11，15}．

15．参考答案：(2，4]．

－2⎧m ＋1≥

⎪

解析：据题意得－2≤m ＋1＜2m －1≤7，转化为不等式组⎨m ＋1＜2m －1，解得m 的取

⎪2m －1≤ 7⎩

值范围是(2，4]．

16．参考答案：x (1－x 3) ．

解析：∵任取x ∈(－∞，0]，有－x ∈[0，＋∞) ， ∴ f (－x ) ＝－x ［1＋(－x ) 3］＝－x (1－x 3) ， ∵ f (x ) 是奇函数，∴ f (－x ) ＝－f (x ) ． ∴ f (x ) ＝－f (－x ) ＝x (1－x 3) ，

即当x ∈(－∞，0]时，f (x ) 的表达式为f (x ) ＝x (1－x 3) ． 三、解答题

17．参考答案：∵B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}， C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4，2}， ∴由A ∩C ＝∅知，－4 A ，2 A ； 由∅(A ∩B ) 知，3∈A ．

∴32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2．

当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝B ，与A ∩C ＝∅矛盾． 当a ＝－2时，经检验，符合题意． 18．参考答案：(1) ∵ 2∈A ，

11

＝＝－1∈A ； 1－a 1－2111∴＝＝∈A ； 1－a 1＋12∴∴

11＝＝2∈A ． 1－a 1－2

因此，A 中至少还有两个元素：－1和(2) 如果A 为单元素集合，则a ＝实数范围内，A 不可能是单元素集．

(3) 证明： a ∈A ⇒

1． 2

1

，整理得a 2－a ＋1＝0，该方程无实数解，故在1－a

1－a 111

∈A ⇒ ∈A ⇒∈A ，即1－∈A ．

1a 1－a 1－a ＋11－

1－a

2

a 2a ⎫⎛

19．参考答案： f (x ) ＝2 x －⎪＋3－．

22⎭⎝

(1) 当

a

＜－1，即a ＜－2时，f (x ) 的最小值为f (－1) ＝5＋2a ； 2

a ⎛a ⎫

f ⎪＝3－；

22⎝⎭

2

a

(2) 当－1≤≤1，即－2≤a ≤2时，f (x ) 的最小值为

2(3) 当

a

＞1，即a ＞2时，f (x ) 的最小值为f (1) ＝5－2a ． 2

a ＜－2，⎧5＋2a ，

⎪⎪⎪a 2

综上可知，f (x ) 的最小值为⎨3－， －2≤a ≤2，

2⎪

⎪5－2a ， a ＞2．⎪⎩

20．参考答案：(1) ∵函数f (x ) 为R 上的奇函数， ∴ f (0) ＝0，即

－1＋b

＝0，解得b ＝1，a ≠－2， 2＋a

．

从而有f (x ) ＝

－2x ＋12x ＋1＋a

1－＋1

－2＋1

又由f (1) ＝－f (－1) 知＝－，解得a ＝2．

1＋a 4＋a

(2) 先讨论函数f (x ) ＝

－2x ＋12x ＋1＋2

＝－

11

＋x 的增减性．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，22＋1

，

f (x 2) －f (x 1) ＝

12＋1

2

－

12＋1

1

＝

2x 1－2x 2

(2＋1)(2＋1)

x 2

x 1

∵指数函数2x 为增函数，∴2x 1－2x 2＜0，∴ f (x 2) ＜f (x 1) ， ∴函数f (x ) ＝

－2x ＋12x ＋1＋2

是定义域R 上的减函数．

由f (t 2－2t ) ＋f (2t 2－k ) ＜0得f (t 2－2t ) ＜－f (2t 2－k ) ， ∴ f (t 2－2t ) ＜f (－2t 2＋k ) ，∴ t 2－2t ＞－2t 2＋k (*) ． 由(*) 式得k ＜3t 2－2t ．

1⎫1111⎛

－⎪．又3t 2－2t ＝3(t －) 2－≥－，∴只需k ＜－，即得k 的取值范围是 －∞， 33333⎝⎭