系统的滞后频域校正法

《自动控制原理》

课程设计

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2014年3月

目录

一、设计目的··································································1

二、设计任务··································································1

三、具体要求··································································1

四、设计原理概述····························································1

五、设计内容··································································2

六、设计方案及分析·························································2

1、观察原系统性能指标··············································2

2、手动计算设计·······················································6

3、校正方案确定·······················································8

七、课程设计总结··························································14

模拟随动控制系统的串联校正设计

一、设计目的

1、通过课程设计熟悉频域法分析系统的方法原理。

2、通过课程设计掌握滞后-超前校正作用与原理。

3、通过在实际电路中校正设计的运用，理解系统校正在实际中的意义。

二、设计任务 控制系统为单位负反馈系统，开环传递函数为G (s ) =K , s (0. 1s +1)(0. 025s +1)

设计校正装置，使系统满足下列性能指标：开环增益K ≥100；超调量σp

调节时间ts

三、具体要求

1、使用MATLAB 进行系统仿真分析与设计，并给出系统校正前后的

MATLAB 仿真结果，同时使用Simulink 仿真验证；

2、使用EDA 工具EWB 搭建系统的模拟实现电路，分别演示并验证校正前

和校正后的效果。

四、设计原理概述

校正方式的选择：按照校正装置在系统中的链接方式，控制系统校正方式分

为串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正4种。串联校正是最常用的一种校

正方式，这种方式经济，且设计简单，易于实现，在实际应用中多采用这种校正

方式。串联校正方式是校正器与受控对象进行串联链接的。本设计按照要求将采

用串联校正方式进行校正。

校正方法的选择：根据控制系统的性能指标表达方式可以进行校正方法的确

定。本设计要求以频域指标的形式给出，因此采用基于Bode 图的频域法进行校

正。

几种串联校正简述：串联校正可分为串联超前校正、串联滞后校正和滞后-

超前校正等。

超前校正的目的是改善系统的动态性能，实现在系统静态性能不受损的前提

下，提高系统的动态性能。通过加入超前校正环节，利用其相位超前特性来增大系统的相位裕度，改变系统的开环频率特性。一般使校正环节的最大相位超前角出现在系统新的穿越频率点。

滞后校正通过加入滞后校正环节，使系统的开环增益有较大幅度增加，同时又使校正后的系统动态指标保持原系统的良好状态。它利用滞后校正环节的低通滤波特性，在不影响校正后系统低频特性的情况下，使校正后系统中高频段增益降低，从而使其穿越频率前移，达到增加系统相位裕度的目的。

滞后-超前校正适用于对校正后系统的动态和静态性能有更多更高要求的场合。施加滞后-超前校正环节，主要是利用其超前部分增大系统的相位裕度，以改善系统的动态性能；利用其滞后部分改善系统的静态性能。

五、设计内容

1、分别通过手工计算和计算机编程计算，求取校正前系统的频率特性指标，并与设计要求进行比较；

2、通过手工计算和计算机编程方法，确定校正后期望的穿越频率，具体值的选取与所选择的校正方式相适应。

3、根据待设计的校正环节的形式和转折频率，计算相关参数，进而确定校正环节。

4、得出校正后系统。检验系统满足设计要求。如不满足则从第二步重新开始。

在MATLAB 中基于Bode 图进行系统设计的基本思路是通过比较校正后的频率特性。尝试选定合适的校正环节，根据不同的设计原理，确定校正环节参数。最后对校正后的系统进行检验，并反复设计直至满足要求。

六、设计方案及分析

1、观察原系统性能指标

（1）使用MATLAB 编写程序观察原系统的频率特性及阶跃响应。

程序如下：

s=tf('s');

G0=100/(s*(0.1*s+1)*(0.025*s+1)); %原系统开环传递函数

[Gm,Pm]=margin(G0); %返回系统相对稳定参数

figure(1)

margin(G0) %系统Bode 图

figure(2)

step(feedback(G0,0.1)) %系统单位阶跃响应

Fs=G(s)/(1+G(s)); %闭环传递函数

figure(3)

margin(Fs) %闭环系统Bode 图

程序运行结果得到系统Bode 图、阶跃响应和闭环Bode 图，分别如图1、图2和图3所示：

图1校正前系统Bode 图

从图1看出，原系统的幅值裕度为Gm=-6.02dB（at 20rad/s)，相角裕度Pm=-15(at 27.8rad/s)。

(a)系统阶跃响应曲线 (b)系统阶跃响应曲线（局部放大）

图2 校正前系统的单位阶跃响应

图3 系统闭环Bode 图

（2）使用Simulink 观察系统性能

在Simulink 新建系统模型，如图4所示：

图4 原系统模型

选中并单击示波器模块，可查看系统阶跃响应，如图5所示：

图5 系统Simulink 仿真结果

如图2和图5所示，原系统阶跃响应为发散。

（3）使用EWB 工具建立模拟实际电路

EWB 是Electronics Workbench 软件的缩写，是一种在电子技术工程与电子技术教学中广泛应用的优秀计算机仿真软件，专门用于电子线路仿真实验与设计的“虚拟电子工作平台”。该软件的主要特点是：电子计算机图形界面操作，使用它可以实现大部分模拟电子线路与数字电子线路实验的功能，易学、易用、真实、准确、快捷和方便。

未校正系统的传递函数 100/[s(0.1s+1)(0.025s+1)]

可分解为以下三级传函级联形式： 10/[0.1s(0.1s+1)(0.025s+1)]

其中，10/(0.1s+1)惯性环节、1/0.1s积分环节和1/(0.025s+1)惯性-比例环节可分别用以下有源校正装置表示，如图6所示。

(a)惯性环节 （b ）积分环节 （c ）惯性-比例环节

图6 系统各环节表示

使用EWB 工具建立模拟实际电路如图7所示：

图7 使用EWB 搭建的模拟实际电路图

在系统的仿真中，用键盘上的空格键控制开关的打开、关闭，这样就可以得到一个阶跃信号。由此得出如图8所示的模拟实际电路图的仿真运行结果。

图8 模拟实际电路的仿真运行结果

（4）对原系统的性能分析

由以上各图中对校正前系统的分析结果可知，系统的幅值裕度Gm=-27.1dB(at20rad/s)和相角裕度Pm=-15度（at27.8rad/s）, 系统不稳定，远且系统相角裕度小于0度，截止频率较大。从系统阶跃响应结果和模拟系统搭建的电路仿真结果看，结果是一致的。因此，系统需要进行校正。

2、手动计算设计

（1）由设计要求，K ≥100，取K=100。

（2）绘制未校正系统的开环对数幅频曲线，确定截止频率和相角裕度。 ωc0⨯100=31. 6

γ0=90︒-arctan 31. 631. 6-arctan =-20. 8︒ 1040

（3）根据设计要求σ%≤30%，t s ≤0. 5s ，求出截止频率ωc *和相角裕度γ*。 取σ%=30%，t s =0. 5s 根据高阶系统工程中动态性能的估算公式:

1-1)]⨯100%sin γ

2π11t s =[2+1. 5(-1) +2. 5(-1) ωc s i n γs i n γσ%=[0. 16+0. 4(

计算出截止频率ωc *=17.79，相角裕度γ*>47.79。

原系统不稳定；原开环系统在ωc *=17.79处相交储备量γc (ωc *)=5.36︒。该系统单独用超前或滞后校正都难以达到目标，所以确定采用滞后-超前校正。

（4）选择校正后系统的截止频率ωc =ωc *=17. 79，超前部分应提供的最大超前角为

ϕm =γ*-γc (ωc *)+6︒=47. 79-5. 36+6=48. 43

则 a =1+sin ϕm =6. 94 1-sin ϕm =6. 94=2. 63

在ωc =17.79处作直线，与L 0(ω) 交于点A ，确定点A 关于0dB 线的镜像点B ；以点B 为中心作斜率为+20dB/dec的直线，分别与过ω=a ωc =46. 79，ω=ω/a =6. 76的两条直线交于点C 和点D ，则

C 点频率： ωC =a ωc *=2. 63⨯17. 79=46. 79

ωc *316.4841==6. 76 D 点频率： ωD =ωC 46.79

从点C 向右作水平线，从点D 向左作水平线，在过点D 的水平线上确定2ωE =0. 1ωc 的点E ；过点E 作斜率为-20dB/dec的直线交0dB 线于点F ，相应频率为ωF ，则

E 点频率： ωE =0. 1ωc *=0. 1⨯17. 79=1. 779

DC 延长线与0dB 线交点处的频率：

ωc 0231. 62

==56. 13 ω0=ωc 17. 79

F 点频率： ωF =ωD ωE 6. 76⨯1. 779==0. 214 ω056. 13

s 故可写出校正装置传递函数 s s (+1)(+1) E D G c (s ) = =+1+1(+1+1) ωF ωC 0. 21446. 79+1+1

（5）验算。校正后系统开环传递函数 s

s s 100(+1)(+1) G (s ) =G c (s ) G 0(s ) = s (+1)(+1)(+1)(+1) 10400. 21446. 79

校正后系统的超调量σ%=15. 9%，调节时间t s =1. 16s ，不满足设计要求；

（6）调整第（3）步中期望的截止频率ωc *和相角裕度γ*的取值，重新进行计算。当取值ωc*=45，γ*=50. 83时，校正后的系统超调量σ%=25%，调节时间t s =0. 392s ，满足设计要求。

此时的校正装置传递函数为：

s s +1)(+1) D G c (s ) =E =s s s s +1+1(+1)(+1) ωF ωC 1. 27323. 93+1+1(

系统开环传递函数 s s

s s +1)(+1) G (s ) =G c (s ) G 0(s ) = s (+1)(+1)(+1)(+1) 10401. 27323. 93100(

3、校正方案确定于校正结果分析

根据需要，拟首先尝试采用较为简单的串联超前网络或滞后网络进行校正。如果均无法达到设计要求，再使用滞后-超前网络校正。

（1）采用串联超前网络进行系统校正

串联超前校正的MATLAB 程序如下：

s=tf('s');

G0=100/(s*(0.1*s+1)*(0.025*s+1)); %原系统开环传递函数

[mag,phase,w]=bode(G0); %返回原系统Bode 图参数

[Gm,Pm]=margin(G0); %返回稳定裕度值

expPm=45; %期望相位裕度

phim=expPm-Pm+6; %需要对系统增加的相位超前量 phim=phim*pi/180;

alfa=(1-sin(phim))/(1+sin(phim)); %相位超前量的单位转换 adb=20*log10(mag); %超前校正网络的参数alfa

am=10*log10(alfa); %幅值的单位转换

wc=spline(adb,w,am); %找出校正器在最大超前相位处的增益 T=1/(wc*sqrt(alfa)); %得到最大超前相位处的频率 alfat=alfa*T; %求出校正器参数alfat

Gc1=tf([T 1],[alfat 1]); %求出校正器传递函数

figure(1)

margin(G0*Gc1) %返回校正后系统Bode 图

figure(2)

step(feedback(G0*Gc1,1)) %返回校正后系统的阶跃响应曲线

程序运行结果如图9所示：

(a)超前校正后的系统Bode 图 (b)超前校正后的系统阶跃响应曲线

图9系统经超前校正后的仿真结果

超前校正仿真结果的分析：

由仿真结果看，校正为达到要求。若采用超前校正系统使待校正系统的相角裕度提高到不低于45度，至少需要选用两级串联超前网络。这将导致校正后的截止频率过大。从理论上说，截止频率越大，则系统的响应速度越快。以伺服电机为例，将出现速度饱和，这是因为超前校正系统要求伺服机构输出的变化速率超过了伺服电机的最大输出转速。此外，由于系统带宽过大，造成输出噪声电平过高；在实际设计中还需要附加前置放大器，从而使系统结构复杂化。

（2）采用串联滞后网络进行系统校正

串联滞后校正的MATLAB 仿真程序如下：

s=tf('s' );

G0=100/(s*(0.1*s+1)*(0.025*s+1)); %原系统开环传函

[mag,phase,w]=bode(G0); %返回Bode 图参数

[Gm,Pm]=margin(G0); %返回稳定裕度参数

p0=45; %期望相位裕度

fic=-180+p0+5; %期望相位裕度处的相位

[mu,pu,w]=bode(G0); %返回频域参数

wc2=spline(pu,w,fic); %利用插值函数，返回穿越频率

d1=conv(conv([1 0],[0.1 1]),[0.025 1]); %开环传函分母

K=100; %开环传函分子

na=polyval(K,j*wc2);

da=polyval(d1,j*wc2);

G=na/da;

g1=abs(G); %求系统传递函数幅值

L=20*log10(g1); %幅值单位转换

beta=10^(L/20);T=1/(0.1*wc2); %求滞后校正环节参数

bebat=beta*T;

Gc2=tf([T 1],[bebat 1]) %得到滞后校正环节传递函数

figure(1)

G3=G0*Gc2; %校正后系统

margin(G3) %绘制校正后系统Bode 图

figure(2)

step(feedback(G3,1)) %绘制校正后系统的阶跃响应曲线

程序运行结果：

由程序可得出滞后校正环节的传递函数为

Transfer function:

1.642 s + 1

-----------

22.76 s + 1

校正后系统的Bode 图和阶跃响应曲线如图10所示：

(a)滞后校正后的系统Bode 图 (b)滞后校正后的系统阶跃响应曲线

图10系统经滞后校正的仿真结果

滞后校正仿真结果的分析：

若采用串联滞后校正，可以使系统的相角裕度提高到45度左右。但是对于该系统，有两个主要缺点：一是滞后网络时间常数太大，实际上无法实现；二是响应速度指标不满足，即由于滞后校正极大地减小了系统截止频率，使系统的响应速度变慢。由图10（b ）可见，调节时间为2.35s ，远大于性能指标的要求值。

以上实验表明，单纯使用超前校正或滞后校正都无法达到要求。因此进一步尝试采用滞后-超前校正。

（3）采用串联滞后-超前网络校正

MATLAB 仿真程序如下：

s=tf('s' );

G0=100/(s*(0.1*s+1)*(0.025*s+1)); % 原系统开环传递函数

[mag,phase,w]=bode(G0); %返回Bode 图参数

[Gm,Pm]=margin(G0); %返回系统稳定裕量参数

wc1=16; %试凑频率值

d1=conv(conv([1 0],[0.1 1]),[0.025 1]);%系统分母

K=100; %系统分子

na=polyval(K,j*wc1); %计算分子多项式

da=polyval(d1,j*wc1); %计算分母多项式

G=na/da; %计算G 的值

g1=abs(G); %求取幅值

L=20*log10(g1); %进行幅值单位的换算

beta=10^(L/20); %求滞后部分参数beta

T=1/(0.1*wc1); %滞后参数T

betat=beta*T;

Gc1=tf([T 1],[betat 1]); %滞后部分传递函数

expPm=47.79; %期望的相位裕度

phim=expPm-Pm+5; %达到期望相位裕度应补偿的相位值

phim=phim*pi/180;

alfa=(1-sin(phim))/(1+sin(phim)); %超前参数alfat

wc2=45; %试凑频率值

T=1/(wc2*sqrt(alfa)); %求超前部分参数T

alfat=alfa*T;

Gc2=tf([T 1],[alfat 1]); %超前部分传递函数

figure(1)

G3=G0*Gc2*Gc1 %求取校正后系统开环传递函数

margin(G3),grid %求取稳定裕度Bode 图

figure(2)

step(feedback(G3,1)) %求取系统时域响应

程序运行结果如下：

由程序可得出滞后校正环节的传递函数为：

>> Gc1 %滞后部分传递函数

Transfer function:

0.625 s + 1

-----------

1.922 s + 1

>> Gc2 %超前部分传递函数

Transfer function:

0.1133 s + 1

-------------

0.00436 s + 1

>>G3 %校正后系统开环传递函数

Transfer function:

7.08 s^2 + 73.83 s + 100

----------------------------------------------------------

2.095e-005 s^5 + 0.005864 s^4 + 0.2517 s^3 + 2.052 s^2 + s

校正后系统的Bode 图、时域响应曲线及闭环Bode 图分别如图11、图12和图13所示。

图11 经滞后-超前校正的系统Bode 图

图12 经滞后-超前校正的系统阶跃响应

图13 校正后系统闭环Bode 图

校正后系统在Simulink 中的仿真模型如图14所示。

图14 校正后的Simulink 仿真模型

由Simulink 仿真模型得到的系统阶跃响应如图15所示。

图15 由Simulink 仿真模型得到的系统阶跃响应

使用EWB 搭建的模拟实际电路如图16所示。

图16 使用EWB 搭建的模拟实际电路图

这里仍然使用键盘上的空格键控制开关的打开、关闭，以得到一个阶跃信号。模拟实际电路仿真结果如图17所示。

图17 模拟实际电路的仿真结果

采用串联滞后-超前网络校正系统，可知校正后系统的穿越频率为95.9rad/s，幅值裕度为17.3dB ，截止频率为29.2rad/s，相角裕度为46.6度，其阶跃响应为振荡收敛，超调量小于30%，且调节时间小于0.5s 。从系统阶跃响应结果和模拟系统搭建的电路仿真结果看，结果基本一致。因此，校正结果满足校正要求。

七、课程设计总结

课程设计给出的系统稳态性能和动态性能均不满足要求。本报告分析比较了各种校正方法原理后，选用工程常用的串联校正法。首先使用手工计算，得到相应的指标要求，然后采用单一的超前和滞后校正方法校正，但这两种方法均不能很好地达到要求。之后，尝试串联滞后-超前校正方法。经过试凑参数，得到符合要求的校正环节。此外，还基于系统的传递函数，通过EWB 软件模拟了实际

电路。实验结果表明，采用滞后-超前校正方法是合理的，能够满足设计要求。

在课程设计中，遇到许多注意点：

1、手动计算得到的值并不一定符合要求，因为计算得到的ωc *与γ*只是范围值，需要在一定范围内进行取值，多次选取，得到符合要求的值；

2、编程仿真的出的结果可能会与Simulink 方框图，以及实际电路连接得到的结果存在一定差异，通过调整内部的细小结构，可以将误差控制在一定范围内；

3、EWB 软件得到的结果，在进行分析时，对横纵坐标的合理取值可以更方便的看出结果，而不合理的取值将影响结果分析；

4、手动设计中，调整参数，可能会出现超调量σ%和调节时间t s 达到要求，但截止频率过大的情况，应对参数继续进行修改，以达到合理设计要求。