解对数不等式·教案

解对数不等式·教案 北京市五中 李欣

教学目标

1．熟练掌握解对数不等式的基本方法．

2．培养学生根据不等式的性质及对数函数的性质将对数不等式转化成与之等价的不等式（组）的能力．

3．强化等价转化是解不等式的基本数学思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力．

教学重点与难点

对数不等式的同解变形． 教学过程设计

（一）简单对数不等式的解法

师：请同学们观察例1中不等式的特征是什么？

师：要想求得不等式的解集，同学们准备怎么做？

生：把原不等式化为log

（x 2-2x-2）＞log

1．因为y=log

x 是减函数，所以得到x 2-2x-2＜1．一元二次不等式我们是会解的．

师：刚才同学把对数不等式转化成了会解的不等式，这种把未知转化成已知的做法是数学的基本思想方法之一．你是怎么想到把0变成log

1？

生：我联想到解对数方程的“同底法”．

师：解方程的理论依据是方程的同解原理不等式的转化是否也要考虑同解的因素呢？

生：刚才的解法有漏洞．对数函数的定义域是x ∈（0，+∞）．因此应先考虑x 2-2x-2＞0再与x 2-2x-2＜1取交集，才能得到不等式的解集．

师：他说得很好！凡是研究函数问题，都要首先考虑函数的定义域． 由于一元一次方程和一元二次方程的解集都是有限集，通过检验就可以判定是否有增根，而不等式的解集常常是无限集，不等价变形有可能使解集扩大，然而又无法检验．因此，把对数不等式转化为代数不等式的变换必须是等价变换．

在具体运算时，应严格按照步骤和格式书写． 板书如下： 解：原不等式

师：例1提供了解对数不等式的基本方法．

例2 解不等式：log 3（x ＋2）＋log

（6-x ＋x 2）＋1＞0． 师：请同学观察例2中不等式的特征，提出解题意见．

生：不等式中的对数底数不同．可以用换底公式把不等式左侧化成同底的对数．再按例1的方法求解．

生：化为以3为底的对数，这样1可以化成log 33，在使用对数运算法则时更加简便一些．

师：考虑的很好．这样原不等式可以化为log 3（x ＋2）-log 3（6-x ＋x 2）＋log 33＞0，下一步怎么办？

生乙：原不等式可以化为log 33（x ＋2）＞log 3（6-x ＋x 2）在后面的运算中可以避免解分式不等式．

师：考虑的很周密．为了保证不等式解集的准确性，同学们在把对数不等式转化成代数不等式的时候，一定要采取适当的方法使后面的运算顺畅，解不等式的过程愈简捷，准确率就愈高．

解题过程如下： 解：原不等式可分为

log 3（x ＋2）＋log 33＞log 3（6-x ＋x 2）

所以原不等式的解集为（3，4）．

师：解对数不等式的关键步骤是考虑对数函数的定义域． （二）运用数学思想方法解对数不等式

师：如果把例1中的对数的底数换成a （a ＞0且a ≠1）请同学思考，不等式该怎样求解？

生：根据对数函数的性质，分别对a ＞1或0＜a ＜1来进行讨论． 例3 解不等式：log a （x 2-4）＞log a （x ＋2）（a ＞0且a ≠1）． 解：当a ＞1时，

当0＜a ＜1时，

因此当a ＞1时，原不等式解集为（3，＋∞）；当0＜a ＜1时，原不等式解集为（2，3）．

师：例3中运用了分类讨论的数学思想方法．注意由于a 的取值范围不同，所以最后的解集不能写成并集的形式．

例4 解不等式log

x ＋4log x 2＞0．

师：要解例4显然需先把不等式左侧化为同底的对数，请同学考虑对哪个对数使用换底公式？

师：在解不等式时，换元法是很常用的数学方法．符合使运算简便易行的原则．同学们不妨一试．

解法如下：

令u=log

x ，则原不等式化为

（三）本课小结

1．解对数不等式的关键是正确地进行等价转化．要熟练掌握解一般对数不等式的基本方法．如：

2．等价转化的理论根据是对数的定义，以及对数函数的单调性．

3．要注意数学思想方法的运用，如：分类讨论、换元、化归转化等等，提高解题速度和解题的准确率．

（四）补充作业： 1．解下列不等式：

（1）lg （x 2-3x-4）≥lg （2x ＋10）； （2）log 0.1（x 2-2x-2）＞0；

（3）log a （x 2-x ）≥log a （x ＋1），（a 为常数且a ＞1）； （4）lo

g （x ＋1）＋log

（6-x ）≥log

12；

（5）2（log

x ）2＋7log

x ＋3≤0；

2．*解关于x 的不等式：

* 可根据生实际情况，酌情处理． 作业的答案或提示 （1）原不等式

（2）原不等式

（3）当a ＞1时，原不等式

（4）原不等式

（5）令u=log

x ，则原不等式化为2u 2+7u＋3≤

（6）原不等式

（7）当a ＞1时，原不等式

由0＜a ＜1知，原不等式

当a ＞1时，

当0＜a ＜1时，

因此当a ＞1时，解集为（4，+∞）；当0＜a ＜1时，解集为（2，4）． 课堂教学设计说明

1．因势利导，由“误”到悟

解对数不等式的关键是合理进行等价转化，但学生的思维不会一步到位，需要有一个循序渐进的过程．因此，我在例1的提问中，没有做过多的启发，而是由学生自己发现错误，产生认知冲突，从而得到启悟，正确地解决了问题．例4的处理也是这样，学生出现的错误是很常见的，由此引起学生的争论，教师及时地进行正确引导，使学生在辩悟中留下深刻的印象．

2．层层深入，引发兴趣

数学的灵感来自于分析、思考的过程，掌握解对数不等式的基本方法，对学生来说并不困难，因而在例题的配备上一定要有梯度，让学生有步步登高的感觉，这样才能引导学生的学习兴趣，从而产生积极的思维．在分析思考的过程中产生顿悟．

不同地区和学校的教师可根据学生的实际情况，调整例题，也可以从补充作业中挑选题目，重新组合本课的例题和练习题．

3．渗透“思想”，提高能力

解对数不等式的过程，始终贯穿着等价转化及函数的思想，而分类讨论和换元法的使用会使复杂问题简单化，在教学过程中，注意总结和渗透数学思想方法的作用及使用规律，可以使学生的思维水平及运算能力不断提高．