曲线积分的计算法
曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分第一类 ( 对弧长 )
第二类 ( 对坐标 )
用参数方程
(1) 选择积分变量用直角坐标方程
用极坐标方程
⎭
转化
定积分
(2) 确定积分上下限定理
设f (x , y ) 在曲线弧L 的参数方程为
⎧x =ϕ(t ), ⎨
⎩y =ψ(t ),
β
第一类: 下小上大 第二类: 下始上终
对弧长曲线积分的计算
L 上有定义且连续(α≤t ≤β) 其中
, 且
,
ϕ(t ), ψ(t ) 在[α, β]上具有一阶连续导数
⎰
L
f (x , y ) ds =
⎰α
22
f [ϕ(t ), ψ(t )]'(t ) +ψ'(t ) dt
(α
注意:
1. 定积分的下限
α一定要小于上限β;
.
2. f (x , y ) 中x , y 不彼此独立, 而是相互有关的
特殊情形
(1) L :y =ψ(x )
a ≤x ≤b .
b
2
f [x , ψ(x )]+ψ'(x ) dx .
⎰
L
f (x , y ) ds =
⎰⎰
a
(2) L :x =ϕ(y ) c ≤y ≤d .
d
⎰
L
f (x , y ) ds =
c
f [ϕ(y ), y ]+ϕ'(y ) dy .
2
例1
解
求I =
π
⎰
L
⎧x =a cos t ,
xyds , L :椭圆⎨(第I象限).
⎩y =b sin t ,
2
2
I =
⎰
2
a cos t ⋅b sin t (-a sin t ) +(b cos t ) dt
π
=ab ⎰2sin t cos t a sin t +b cos t dt
2222
=
ab a -b
22
2
⎰
a
b
u du
2
2
(令u =
.
a sin t +b cos t )
2222
=
ab (a +ab +b )
3(a +b )
y =4x
2
例2
解
I =
求I =
⎰
L
yds ,
2
其中L :y =4x , 从(1, 2) 到(1, -2) 一段.
2
⎰
-2
y 2
y 1+() dy =0.
2
例3
解
求I =
⎰
Γ
xyzds , 其中Γ:x =a cos θ, y =a sin θ, (0≤θ≤2π)
z =k θ的一段.
I =
=-
12
⎰
⎰
2π
a cos θsin θ⋅k θ
2
a +k d θ
22
2
πka a +k .
22
例4
求I =
Γ
x ds ,
2
⎧x 2+y 2+z 2=a 2,
其中Γ为圆周⎨
⎩x +y +z =0.
解 由对称性, 知 ⎰x
Γ
2
ds =
⎰
Γ
y ds =
2
⎰
Γ
z ds .
2
故I =
1
⎰3
Γ
(x +y +z ) ds
222
=
a
2
3
⎰ds =
Γ
2πa 3
3
. (2πa =
⎰ds , 球面大圆周长
Γ
)
对坐标的曲线积分的计算
设P (x , y ), Q (x , y ) 在曲线弧L 上有定义且连
续, L 的参数方程为
⎧x =ϕ(t ),
当参数t 单调地由α变⎨
⎩y =ψ(t ),
B , 一阶连
到β时, 点M (x , y ) 从L 的起点A 沿L 运动到终点
ϕ(t ), ψ(t ) 在以α及β为端点的闭区间上具有
22
续导数, 且ϕ'(t ) +ψ'(t ) ≠0, 则曲线积分
⎰
L
P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 存在,
且⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy
L
=
⎰α{P [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) +Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t )}dt
β
特殊情形
(1) L :y =y (x )
x 起点为a ，终点为b .
则
⎰⎰
L
Pdx +Qdy =
⎰⎰
b
a
{P [x , y (x )]+Q [x , y (x )]y '(x )}dx . y 起点为c ，终点为d .
(2) L :x =x (y )
则
L
Pdx +Qdy =
d
c
{P [x (y ), y ]x '(y ) +Q [x (y ), y ]}dy .
例5 计算 ⎰(2a -y ) d x +x d y , 其中L 为摆线 x =a (t -sin t ) ,
L
y =a (1-cos t )
上对应 t 从 0 到 2π 的一段弧.
+a (t -sin t ) ⋅a sin t d t
提示: (2a -y ) d x +x d y =a (1+cos t ) ⋅a (1-cos t ) d t
=a t sin t d t
2
∴原式=a
2
⎰0
2π
t sin t d t
=a
2
[-t cos
2
t -sin
2π]t 0
=-2πa
例 6 计算 ⎰Γx y z d z , 其中Γ 由平面 y = z 截球面
x +y +z =1所得,
2
2
2
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
提示: 因在 Γ 上有 x
2
+2y 2
=1,
故
x =cos t
Γ:
y =12
sin t
(0≤t ≤2π)
z =12
sin t
原式 = 22⎰
2π
cos 2t sin 2
t d t
=⋅4⎰
2
2
-cos 2
22
cos t (1t ) d t
=
2⎛ 1⋅π-3⋅1⋅π⎫⎪=
2π⎝22
422⎭16
曲面积分的计算法 1. 基本方法 曲面积分
⎧
⎨第一类( 对面积 ) ⎩
第二类( 对坐标 )
⎭
转化
(1) 选择积分变量 — 代入曲面方程
(2) 积分元素投影 ⎧
第一类: 始终非负 ⎨⎩
第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
二重积分
对面积的曲面积分的计算法 定理: 设有光滑曲面
∑:z =z (x , y ), (x , y ) ∈D x y
f (x, y, z) 在 ∑ 上连续, 则曲面积分 ⎰⎰∑存在, 且有 ⎰⎰∑f (x , y , z ) d S
2
2
=
f (x , y , z ) d S
⎰⎰
D x y
f (x , y , z (x , y ) )
1+z x (x , y ) +z y (x , y ) d x d y
例7 计算⎰⎰(x +y +z ) ds
∑
平面
, 其中
∑
为
y +z =5被柱面x
积分曲面
2
+y
2
=25
所截得的
部分.
解
∑：z =5-y ,
xy
投影域 ：D ={(x , y ) |x
2
2
+y
2
≤25}
dS =+z 'x +z 'y dxdy
=
故
2
+0+(-1) dxdy =2dxdy ,
2
⎰⎰(x +y +z ) ds
=
2⎰⎰(x +y +5-y ) dxdy
D xy
=
2⎰⎰(5+x ) dxdy
D xy
=
2⎰
2π
d θ⎰(5+r cos θ) rdr
5
=1252π.
对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号
例8. 计算曲面积分 ⎰⎰
+y +z =1
22
2
∑
xyz d x d y ,
其中 ∑ 为球面
外侧在第一和第五卦限部分.
解: 把 ∑ 分为上下两部分
x ++y +z
=1
22
∑1:z =-
1-x
2
-y
2
∑2:z =
1-x -y
22
(x , y ) ∈D x y
∴ =
⎧x 2+y 2≤1
:⎨
⎩x ≥0, y ≥0
⎰⎰
∑
x y z d x d y
⎰⎰∑
1
x y z d x d y +
⎰⎰
∑2
x y z d x d y
22 =2x y -x -y d x d y ⎰⎰D
x y
=2⎰⎰D =
π
r sin θcos θ
x y
2
1-r
2
r d r d θ
⎰
2
sin 2θd θ
⎰
10
r
3
1-r d r
2
=2
例9
计算
⎰⎰
∑
(z
2
+x ) dydz -zdxdy
z =
12(x
2
2
,
其中Σ是旋转抛物面
+y ) 介于
平面
z =0及
z =2之间的部分的下侧.
⎰⎰
∑
解
(z +x ) dydz =
2
2
⎰⎰
∑
(z +x ) cos αds
2
=
⎰⎰
∑
(z +x )
cos αcos γx
2
dxdy 在曲面∑上, 有
cos α=∴=
⎰⎰
∑∑
+x +y
(z +x ) dydz -zdxdy
2
2
, cos γ=
-1+x +y
2
2
.
⎰⎰[(z +x )(-x ) -z ]dxdy
1
(x +y ) +x ]⋅(-x ) -
2
2
421222
=⎰⎰[x +(x +y )]dxdy
2D xy
2π21222
=⎰d θ⎰(r cos θ+r ) rdr =8π. 002
D xy
=-⎰⎰{[
1
(x +y )}dxdy
22