向量的几何意义
向量的几何意义
1.已知△ABC 是边长为1的正三角形,则AB 在BC 方向上的投影为( ) A .-
1 2
B .-
3 2
C .
1 2
D .
3 2
→→→→AB AC AB AC 1→→→
2、已知非零向量AB 与AC 满足(+ ) ·BC =0且 =2, 则△ABC 为( )
→||AC→|→||AC→||AB|AB
A .三边均不相等的三角形 B .直角三角形C .等腰非等边三角形 D .等边三角形
3.设P (3,-6),Q (-5,2),R 的纵坐标为-9,且P 、Q 、R 三点共线,则R 点的横坐标为( ) A .-9 B.-6 C .9 D .6
4.已知向量m =(λ+1,1) ,n =(λ+2, 2) ,若(m +n ) ⊥(m -n ) ,则λ=( )
A .-4 B.-3 C.-2 D.-1
5.已知向量=(x -1, 2), =(2, 1) ,当a ∥b 时x 的值是 ( )A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知∆ABC , 点H , O 为∆ABC 所在平面内的点,且⋅=⋅,⋅=⋅,
OA +OB +OC =OH , 则点O 为∆ABC 的 ( )A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
7.如右图所示,D 是△ABC 的边AB 的中点,则向量CD 等于( )
1 1 1 1 A .BC +BA B.-BC -BA C.-BC +BA D.BC -BA
2222
8.已知向量a 表示“向东航行1km ”,向量b 表示“向南航行1km ”,则向量a +b 表示( )
A.
向东南航行2km C.
km D.向东北航行2km
9.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB =(2,4) , AC =(1,3),则BD 等于( )
A .(-2, -4) B.(-3, -5) C .(3,5)
D .(2,4)
10.a ,b 为平面向量,已知a =(4,3),2a +b =(3,18),则向量a ,b 夹角的余弦值等于( ).
881616
--
A .65 B.65 C.65 D.65
11.已知||=2,||=4,向量与的夹角为60°,当(+3) ⊥(k-) 时,实数k 的值是 1
( )A. 4
3 B. 4
13
C. 4
13
2
12.如图,已知AB =a , AC =b , BD =3DC ,用a , b 表示AD ,则AD =( )
3 1 3 1 1 3 1 A .a +b B .a +b C.a +b D .a +b
4444444
13. 已知点O 、A 、B 不在同一条直线上,点P 为该平面上一点,且
向延长线上 C .点P 在线段AB 的延长线上 D .点P 不在直线AB 上
14.已知A ,B ,C 三点不在同一条直线上,O 是平面ABC 内一定点,P 是△ABC 内的一动点,若
1 OP -OA =λ(AB +BC ), λ∈[0,+∞) ,则直线AP 一定过△ABC 的( )
2
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
15.已知点O 为∆ABC 所在平面内一点,且+=+=+, ∆ABC 的( ) A .外心 B .内心 C .垂心 D .重心
16.已知A ,B ,C 是平面上不共线的三点,O 为△ABC 的外心,动点P 满足
2
2
2
2
2
2
则O 一定为
OP =
→
(1-λ) OA +(1-λ) OB +(1+2λ) OC
(λ∈R , λ≠0) ,则P 点的轨迹一定过△ABC 的( )
3
B .垂心
C .重心
D .AB 边的中点
→→→
A .内心
17.如图,平面内的两条相交直线l 1, l 2将平面分割成I 、II 、III 、IV 四个
区域(不包含边界),向量OP 1, OP 2分别为l 1, l 2的一个方向向量,若 OP =λOP 且点P 落在第II 区域,则实数λ, μ满足( ) 1+μOP 2,
A. λ>0, μ>0 B. λ>0, μ0
2 2 1 2 18.平面上的向量PA , PB 满足PA +PB =4,且PA ⋅PB =0,若向量PC =PA +PB , 则|PC |
33
的最大值为 。
19.设向量a , b 满足|a |=b =(2,1),且a 与b 的方向相反,则a 的坐标为 .
20.在∆ABC 中,AB =2AC =2,AB ⋅AC =-1,若AO =x 1AB +x 2AC (O 是∆ABC 的外心),则x 1+x 2
的值为 21.已知向量a =(cos
33x x π
x , sin x ), b =(cos, -sin ), x ∈[0, ],求 22222
, |+|;(Ⅰ)⋅ (Ⅱ)若f (x ) =⋅-2λ|+|的最小值是-
3
,求实数λ的值. 2
1 1
22.在△OAB 中,OC =OA ,OD =OB ,AD 与BC 交于点M ,设OA
42
=a ,OB =b ,以a 、b 为基底表示OM .
参考答案
1.A 2.D 3.D
【解析】设出R(x,-9),利用PQ //PR 可求x=6,。
4.B
2 2
22
【解析】由(m +n ) ⊥(m -n ) ⇒|m |-|n |=0⇒(λ+1) +1-[(λ+2) +4]=0
⇒λ=-3. 故选B.
【考点定位】向量的坐标运算 5.C
试题分析:因为,向量a =(x -1, 2), b =(2, 1) ,且∥, 所以,(x-1)×1-2×2=0,x=5,故选C 。 考点:平面向量的坐标运算,向量的平行。
点评:简单题,两向量平行,对应坐标成比例(坐标不为0). 6.B
试题分析: AH ⋅AB =AH ⋅AC ∴AH BC =0 BH ⋅BA =BH ⋅BC ∴BH AC =0,
∴H 是∆ABC 的垂心, OA +OB +OC =OH ∴OA +OB =CH , 所以O 在AB 的中垂线
上,同理O 在AC,BC 的中垂线上,O 为∆ABC 的外心 考点:向量运算及三角形性质
点评:外心:中垂线交点;内心:角平分线交点;重心:中线交点;垂心:高的交点 7.C
1 1 1 1
【解析】 CD =(CA +CB ) =-BC +(BA -BC ) =-BC +BA ,选C.
2222
8.A
试题分析:本题充分体现向量的大小和方向两个元素,根据实际意义知道两个向量的和向量方向是东南方向,大小可以用勾股定理做向量a 表示“向东航行1km”,向量b 表示“向南航行1km ”,
km ,故选A . 考点:向量的加法几何意义
点评:本题考查向量的几何意义,大小和方向是向量的两个要素,
几何特征,借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化. 9.B
如图,平行四边形ABCD , AD =BC =AC -AB =(1,3)-(2, B D =A D -A =(B 1-, -1) -(2, 4=) -故选(-B
10.C
试题分析:设b =(x , y ) ,由2a +b =(3,18)得,8+x =3, 6+y =1,8故
a ⋅b -20+3616
,=x =-5, y =12b , =(-5, ,所以12a ,b 夹角的余弦值cos θ==
6565|a ||b |
选C.
考点:平面向量数量积. 11.C 12.B
3 3 1 3
【解析】AD =AB +BD =AB +BC =AB +(AC -AB ) =a +b
4444
13.B
【解析】根据2OP =2OA +BA ,利用向量减法的三角形法则得到2AP =BA ,然后根据
向量的定义和共线向量定理即可求得答案.
解:∵2OP =2OA +BA ,
∴2OP -2OA =BA ,即2AP =BA ,
∴点P 在线段AB 的反向延长线上, 故选B .
考查共线向量定理以及向量加减法的三角形法则,对2OP =2OA +BA 变形是解决此题的
关键,属基础题. 14.A
1
试题分析:取BC 的中点D ,连接AD ,因为OP -OA =λ(AB +BC ), λ∈[0,+∞) ,所以
2
1
AP =λ(AB +BC )=λAD , 又λ∈[0,+∞),所以P 点在射线AD 上,故P 的轨迹过△ABC
2
的重心。故选A 。
考点:向量的运算;共线向量;三角形的五心。
点评:本题主要考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、三角形的重心定义。设出BC 的中点D ,利用向量的运算法则化简 AB +
1
BC =AD , 据向量共线的充要条件得到P 在三2
角形的中线上是做此题的关键。三角形的重心定义:三条中线的交点。
15.C 16.D
17.D. 【解析】显然,λ0才能保证P 在第二象限. 18.
4 3
19.(-4, -2) 20.
13 6
21.解:(Ⅰ)(5分) a ·b=cos
3x 3x
x ⋅cos -sin x ⋅sin =cos 2x , -------------2分 2222
| a+b|=(cos
3x 3x
x +cos ) 2+(sinx -sin ) 2=2+2cos 2x =2cos 2x -----2分 2222
∵x ∈[0,
π
2
], ∴cos x ≥0,
∴| a+b|=2cosx .------------- ---------------------1分 (Ⅱ)(5分) f (x ) =cos 2x -4λcos x ,
即f (x ) =2(cosx -λ) -1-2λ. ---------------------------------2分 ∵x ∈[0,
2
2
π
2
], ∴0≤cos x ≤1.
1'、当λ
由已知得-1-2λ=-
2
31
,解得λ=. 22
1'''、当λ>1时,当且仅当cos x =1时, f (x ) 取得最小值1-4λ,
由已知得1-4λ=-
35
,解得λ=,这与λ>1相矛盾. 28
综上所述,λ=
1
为所求.----------------3分 2
1322.OM =a +b .
77
【解析】显然a 、b 不共线,故可设OM =ma +nb ,由A 、M 、D 三点共线及B 、M 、C 三
点共线利用向量共线条件求解设OM =ma +nb (m ,n ∈R) ,
则AM =OM -OA =(m -1) a +nb ,
1
AD =OD -OA =b -a
2
因为A 、M 、D 三点共线,所以
m -1n
=,即m +2n =1 1-1
2
⎛1⎫
又CM =OM -OC = m -⎪a +nb ,
4⎭⎝ 1
CB =OB -OC =-a +b ,
4
1
=n , 因为C 、M 、B 三点共线,所以
1-4
m -
即4m +n =1,
1⎧m =⎪⎧m +2n =1⎪7
由⎨,解得⎨,
4m +n =13⎩⎪n =
⎪7⎩
13
所以OM =a +b
.
77