一元三次方程的求根公式及其推导

一元三次方程的求根公式及其推导

由于任一个一般的一元三次方程Ax 3+Bx 2+Cx +D =0均可经过移轴

A (x +B

3A ) 3+(C -B 2

3A )(x +B

3A ) +(2B 3

公式化为27A 2-BC 3A +D ) =0即(3Ax +B ) 3+(9AC -3AB )(3Ax +B ) +(2B 3-9ABC +27A 2D ) =0, x 3+px +q =0的特殊形式, 因此，只需研究此类方程即可。

1. 实数根的判定：

设F (x ) =x 3+px +q , 则F (x ) =0即方程x 3+px +q =0, F (x ) 零点的个数即方程x 3+px +q =0实数根的个数。

(1). 若p >0, 则方程F ' (x ) =0没有实根，F (x ) 有唯一零点⇔F (x ) =0有唯一实数根。

(2). 若p =0, 则方程F ' (x ) =0有一实根，F (x ) 有唯一零点⇔F (x ) =0有唯一实数根。

(3) 若p

x p

1=α=-3x =--p

2=β3当F (α) ∙F (β) =1

81(81q 2+12p 3) >0时，F (x ) 有唯一零点⇔F (x ) =0

有唯一实数根。 当F (α) ∙F (β) =1

81(81q 2+12p 3) =0时，F (x ) 有两个零点⇔F (x ) =0

有两个实数根。

当F (α) ∙F (β) =1

81(81q 2+12p 3)

有三个实数根。

1

为研究方便，不妨设p . q 不同时为0(p . q 同时为0时方程很容易求解) ，则当p ≥0时，一定有1

81(81q 2+12p 3) >0。令∆=81q 2+12p 3，则有以下结论：

∆=81q 2+12p 3>0时，方程x 3+px +q =0有唯一实数根。

∆=81q 2+12p 3=0时，方程x 3+px +q =0有两个实数根。

∆=81q 2+12p 3

2. 求根公式的推导：

1）. 实根式的推导：

一元三次方程的求根公式由演绎推理是很难解出的，通常由归纳思维得到。通过对一元一次，一元二次以及特殊一元高次方程求根公式的归纳，我得到了一元三次方程的求根公式应为x =A +B 的形式。其中，A ，B 为两个待定的代数式。下面的工作就是设法求出A ，B 。

由于x =A +B ，

故x 3=(A +B ) 3=A 3+B 3+3AB (A +B ) =A 3+B 3+3ABx ，

即有x 3-3ABx -(A 3+B 3) =0。

对比x 3+px +q =0，

⎧3

可令⎪⎨-3AB =p ⎧

，即⎪

⎪⎨AB =-p ⎧33p

3, ⎪⎨A B =-27

⎩-(A 3+B 3) =q 。

⎪⎩A 3+B 3=-q ⎪⎩A 3+B 3=-q

易知，A ，B 3为一元二次方程a 2+qa -p 3

3

27=0的两根。

若判别式q 2-4(-p 31

27) =81(81q 2+12p 3) >0，

⎧⎪a -9q +81q 2+12p 3

则有⎪1=

⎨18

⎪-9q -23。

⎪⎩a q +12p

2=18

⎧A =a =1-108q +81q 2+12p 3

如果不考虑A ，B 顺序，则有⎪1

⎨6

⎪⎩B =a 132=6-108q -12q 2+12p 3

若判别式q 2-4(-p 31

27) =81(81q 2+12p 3) ≤0，虽然我们清楚方程有二或三个实数根，

但却又无法直接解出（等于零时只能解出一个，小于零时会出现虚数）。故由以上方法只能导出有一个实数根的方程的求根公式，为： x =1-108q +1281q 2+12p 3+1-108q -q 2+12p 3

66

2 （

当方程有二或三实数根时，我们需另辟一条求根路径。考虑到角函数三倍角公式与一元三次方程有很大的相似性，故我们可由角函数三倍角公式作线性变换，从而得到一元三次方程的求根公式。研究之初，我选择的是余弦三倍角公式。

余弦三倍角公式：cos 3α=4cos 3α-3cos α,

若将cos 3α看作已知量，cos α看作未知量x ，则上述等式可化为方程4x 3-3x -cos 3α=0。

由于cos 3α=cos(3α+2k π) ，故x =cos 3α+2k π

3=cos arccos 3α+2k π

3，(k =0，1，2) 。

对于方程x 3+px +q =0，

可令X =Ax ，另设有非零实数B ，使得q

B ≤1，

(AX ) 3p

B +(AX )

B +q

B =1，

即A 3pA

B ∙X 3+B ∙X +q

B =0。

对比4x 3-3x -cos 3α=0，

⎧

可令⎪A 3⎧

⎪=4

⎨B ，得⎪⎪A =2-3p ⎧⎪A =-2-3p

⎪pA ⎨3⎪3

⎪⎪

⎩B =-3⎪B =-2p -3p 或⎨⎪2p -3p 。

⎩9⎪⎩B =9

不妨取第一组解（当然，取第二组也未尝不可），

则cos 3α=-q 9q

B =2p -3p ，

因此，X =cos arccos 3α+2k π

3=cos ⎡⎢1⎛ 9q ⎫⎤

⎢+2k π⎪

⎣3 ⎝2p -3p ⎪⎥

⎭⎥，

⎦

x =AX =2

3-3p cos ⎡⎢1⎛

⎢9q +2⎫⎤(k =0, 1, 2)

⎣3 ⎝2p -3p k π⎪⎪⎥，

⎭⎥⎦

⎧

上式成立的条件为⎪p

⎨9q

⎪≤，解得81q 2+12p 3≤0！

⎩2p -3p 1

也正是当方程有二或三个实数根时上式成立。

因此，得到方程有二或三个实数根时的求根公式：

x 2⎡1⎛

i =3-3p cos ⎢ 9q ⎫⎤

⎢(k =0, 1, 2，i =k +1)

⎣3 +2k π⎪

⎝2p -3p ⎪⎥，

⎭⎥⎦

3

作进一步研究可知，∆=0时，x 2=x 3。

(2). 卡丹公式的推导:

由前面的论证可知，若设方程的一根为x 1=A +B ，则方程可化为

x 3-3ABx -(A 3+B 3) =0的形式。

由韦达定理可知，

⎧⎪x 1+x 2+x 3=0

⎨x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=-3AB ，

⎪⎩x 1x 2x 3=A 3+B 3

将x 1=A +B 代回上式，得：

⎧⎨x 2+x 3=-(A +B )

⎩x 2x 3=A 2-AB +B 2。

易知，x 2，x 3为方程t 2+(A +B )t +(A 2-AB +B 2)=0的两个根。

判别式为(A +B )2-4(A 2-AB +B 2)=-3(A -B )2=[±3i (A -B )]2

故t =-(A +B )±3i (A -B )

2，

即x -(A +B )+3i (A -B )-1+i -1-i

2=t 1=2=2A +2B =ωA +B ，

x -(A +B )-i (A -B )-1-3i -1+3i

3=t 2=2=2A +2B =A +ωB 。

其中，ω，为1的虚立方根。

将A ，B 的值代回，即可得卡丹公式：

x =A +B =1-108q +q 2+12p 3+13

166-108q -q 2+12p

x ω3

2=ωA +B =3

6-108q +q 2+12p +3

6-108q -1281q 2+12p 3

x ω

3=A +ωB =-108q +q 2+12p 3+ω66-108q -1281q 2+12p 3

3. 求根公式的推广:

由于对任一个一元三次方程Ax 3+Bx 2+Cx +D =0均可化为

(3Ax +B )3+(9AC -3AB )(3Ax +B )+(2B 3-9ABC +27A 2D )=0的形式，故可设t =3Ax +B ，p =9AC -3AB ，q =2B 3-3ABC +27A 2D , 则可得到一元三次方程一般式的判别式和求根公式，结果如下：

判别式：∆=81A 4D 2-54A 3BCD +12A 3C 3+12A 2B 3D -3A 2B 2C 2， 实数根求根公式：

4

∆>0时，

11B x =-108A 2D +36ABC -8B 3+12∆+-108A 2D +36ABC -8B 3-∆-6A 6A 3A ∆≤0时，

⎡1⎛⎫⎤B 227A 2D -9ABC +2B 3

2 (k =0, 1, 2，i =k +1)x i =B -3AC cos ⎢+2k π⎪⎥-，32 ⎪3A 33A ⎢6AC -2B B -3AC ⎭⎥⎣⎝⎦

卡丹公式：

11B x =-108A 2D +36ABC -8B 3+12∆+-108A 2D +36ABC -8B 3-∆-6A 6A 3A ωB x =-108A 2D +36ABC -8B 3+12∆+-108A 2D +36ABC -8B 3-∆-6A 6A 3A ωωB x =-108A 2D +36ABC -8B 3+12∆+-108A 2D +36ABC -8B 3-∆-6A 6A 3A 至此，完成一元三次方程求根公式的推导。

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