多采样率滤波器的设计

中文译文

多采样率滤波器的设计

基于多采样的滤波器设计方法可以用来设计具有较窄过渡带或具有较窄或

较宽通带的有限脉冲响应滤波器。这些有限脉冲响应滤波器一般来说是不能作为

普通时不变有限脉冲响应滤波器来实际设计和应用，因为他们的结构非常长。下

列所示的滤波器类型可以用多采样率滤波器设计技术设计：

● 窄带低通滤波器

● 窄带带通滤波器

● 窄带高通滤波器

● 宽带高通滤波器

● 宽带低通滤波器

● 窄带带阻滤波器

用于滤波器设计的多采样信号处理：多采样率信号处理包括在一个系统中使

用不同采样速率以获得较高的计算效率，但在一个使用单一固定采样速率的系统

中是不可能获得的。

举个例子，考虑下面的低通滤波器：

这个滤波器如果用标准帕克斯-麦克莱伦算法来设计则需要681个单元。然

而，采样速率变为2500hz ，，滤波器仅需要35 组的值。这就引出了改变抽样速

率到一个较小的抽样速率（即抽取）的概念; 然后滤出这个信号改变它的抽样速

率到原来的抽样速率（即插值）。

降低采样速率需要在抽取到较低采样率前加一个抗混叠滤波器。增加采样率

需要在插值以后叠加一个镜像滤波器。这两个滤波器必须使用规范的原始低通滤

波器。为了实现计算增益的最大化，这两个滤波器必须工作在降低的采样频率上。

这篇文章将向你展示怎样获得期望的计算增益。回到我们的例子，在25至1效

率计算增益可以实现。由于通带边缘以一个固定的抽样速率趋向于零，计算效率

将趋于无穷大。

抽取

抽样速率以M 因子的减小可以由此方法获得：舍去每M-1个采样点或相似

的保持每个Mth 采样点。当每M 个输入采样点舍去M-1个点时就会使原始采样率以M

因子减小，这也将引起高于半抽取速率的输入频谱输延拓至基带到乃奎斯特频率

部分。为了减小这种影响，输入的信号必须经过低通滤波器以滤除输出频谱部分

中一些频率成分, 这部分需要在接下来的信号处理步骤中抗混叠. 抽取处理的一

个好处是，低通滤波器可被设计运行在锐减的采样率上. 而不是采用有限脉冲响

应滤波器结构工作在较高的输入频率上, 而且应当注意到的是与M-1相关联的舍

去的采样点不需要计算.

设x(m) 是输入信号, h(k), 0

是在M 因子抽取前的输出信号. 则:

z(m) = ∑h(k)x(m – k) 1-1

k =0K

现在, 设输出信号经过抽取器y(r) = z(rM)即抽样速率以M 因子的速率减小。

然后，y(r) = z(rM)如果输出信号以M 因子抽取。

y(r) = ∑h(k)x(rM – k)

k =0K 1-2

仔细观察这个等式，你会发现滤波器实际上作用于抽取后的信号。因此对下

采样和低通滤波器的操作嵌入在这样一种方式中，低通滤波器工作在减小的数据

率上且输出一个值所需要的平均计算量将以M 因子。

每一个输出样值需要K 周期累加、乘积，但是M 个采样值中只有一个需要计

算。如果减采样信号是叠加在抗混叠低通滤波器之后，则每一个输入信号样值的

周期累加、乘积次数是K*M。通过把减采样方法应用到低通滤波器中，则每M 个

输入样值的周期累加乘积次数仅为K 。每个输入样值的累加乘次数平均是K/M。

插值：

以因子L 增加采样率（即插值）可以这样获得，在每个值之间以固定的速率

插入L 个值为零的采样点。当在每个输入采样值之间加入L-1新采样值时就使采

样率以因子L 增加，这也导致输入频谱的延拓至原始奈奎斯特频率到高插值奈奎

斯特频率之间的输出频谱。为了减弱这种影响，插值后的信号必须通过低通滤波

以滤除可能在接下来信号处理步骤中引起干扰的延拓频谱。插值处理的一个好处

是低通滤波器可以设计工作在输入采样速率，而不是采用有限脉冲响应滤波器机

构工作在高的输出采样速率，并且注意到与L-1插入相关的输入值为零。

设x(n) 是原始输入序列, v(n) 是零值插入的序列，y(n)是通过低通滤波器

后的输出序列，h(0), ..., h(k-1)是低通滤波器的单位脉冲响应，则：

y(n) =∑h(k)v(n – k)

k =0K 1-3

然而，插值的结果使除了n-k 是L 的倍数的点，其余的v(n-k) = 0 。这是因

为为了得到v(n)将L-1零值插入到了序列x （n ）中。再设x （n ）是输入信号，h

（k ）是滤波器的单位脉冲响应。则输出信号y （r ）可以用一个简单的公式表示：

y(r) =∑h(r – Ln)x(n)

n =0K/ L 1-4

对于一个简单的输入信号，产生L 个输出样值。如果抗影像滤波器没有加到

插值处理过程中，则L 个输出样值的周期累加、乘积次数是L*K. 然而将L-1零值

插入输出流的好处是抗影像滤波器仅含有K/L个非零值。因此，叠加了抗影像滤

波器的插值处理中对于L 个输出样值其乘积/周期累加次数仅为K 。每个输出值的

平均乘积、累加次数是K/L。

多采样率滤波器设计：

多采样滤波器设计在滤波器的应用中利用了抽取和插值的基本性质。

使用抽取和插值：所有的多采样率滤波器设计使用抽取的基本方法来实施理

想滤波器，然后使用插值处理来恢复到原来的速率。使用抽取器叠加在插值器之

后，这两者都应用到工作在低数据率的滤波器上，可以导致相对于直接用滤波器

的单位脉冲响应与输入信号卷积来说计算量明显减少。

调制：

除了低通滤波器外其他滤波器设计在实施过程中都要用到调制的概念。举个

例子，一个带通滤波器是通过调制基带信号来起作用，使基带信号通过低通滤波

器并调制基带信号回到带通滤波器的中心频率处。

窄带低通滤波器：

窄带低通滤波器定义为一个具有窄通带的低通滤波器。为了设计一个窄带的

多速率低通有限脉冲响应滤波器，时不变经典有限脉冲响应滤波器被抗混叠低通

滤波器、级联在插值器之后的抽取器、抗影像低通滤波器代替。抽取器和插值器

使多采样率系统等效为一个时变线性相位滤波器。

这个过程可以用如下框图2代替框图1

来表示。

图

1-1

图1-2

在这个系统中，抽取因子和插值因子是相等的。因此，对于这个系统的输入

和输出，其采样速率不会改变，但是在模型内部是会改变的。一个如此设计的低

通滤波器是线性相位的，但周期时变。 低通滤波器由两个多相滤波器，一个用于抽取器，一个用于插值器。每一个

多相滤波器都工作在减小的采样率Fs/M上,M 是抽取器（插值器）的因子，Fs 是原

始滤波器的采样速率。该模型的效率增益为M / 2。如果M=1或2，则没有任何效

率增益且需使用严格的有限冲击响应滤波器。如果M 是几个因素的结果，则多阶

设计和计算量的减少将成为可能。

滤波器的单位脉冲响应可以这样如下计算：设N 是滤波器的阶数，Hi(ω) (i

= 0, ..., N-1)是对应于每一阶的频率响应，Di 是每一阶的乘积因子，设Xi(ω)

是对应于i(i = 0 to N-1)阶抽取的输入信号，Xi+1(ω) 是对应于i 阶抽取的输出

信号也是i+1阶的抽取输入信号。这就会导出下面的式子：

Xi + 1(ω)=∑H （w-2πn/D）X(w-2πn/D)

n =0D -11-5

设Yi+1(ω) 是对应于i 阶插值的输入，Yi(ω) 是i 阶的输出，则我们有如下公

式表示输出:

Yi(ω) = Hi (ω) Yi + 1(ωDi )

列是按顺序反转）设Pi 是D0到D1的结果，我们得到如下公式： 1-6 因为XN(ω) = YN(ω) ，最后抽取的输出是第一个插入的值（注意插值的序

Y 0(ω) =∏Hi (ωPi ) XN(ωPN )

N - 1i = 01-7

如果抽取的阶数为2，我们能把最后一阶抽取和第一阶插值结合在一起。设

M=N-1则我们可以得到：

Y 0(ω) =∏Hi (ωPi ) HM(ωPM ) XM (ωPM )

N - 1i = 01-8

在别的情况下，我们有这样的关系Y0(ω) = H(ω) X0(ω). 复合滤波器的频

率响应是随时间而变化的，因此给定一个X0(ω), 我们可以计算出分段的H(ω) 。

窄带带通滤波器：

窄带带通滤波器定义为一个拥有较窄带宽的带通滤波器。窄带带通滤

波器采用调制技术设计。因此下面的带通滤波器被这个相同功能的框图代替。

图1-3

图1-4

调制所要设计的带通滤波器的通带以使由ω0表示的通带中心转换为原点。这当然需要同时有上边带和下边带两部分。因此这儿有两个低通滤波器，一个作用在调制信号的上边带部分，另一个作用在调制信号的下边带部分。每一个低通滤波器都可以由多速率低通滤波器来实现。通过多速率低通滤波器处理后的两个信号再经过解调和过滤相结合，形成所产生的输出信号。解调信号并使结果相加可以使频谱转换到原始位置。因此，一个带通滤波器可以用两个多速率低通滤波器来实施。这种调制信号到基带、低通滤波、解调已滤波信号是构建多速率滤波器的基本技术之一。这样的设计一般不会产生固定的群延时，但它可能随多阶低通滤波器改变滤波器长度，这样作为一种余弦调制结果实施的带通滤波器具有恒定的群延迟。窄带带通滤波器的总公式如下：

Y 0(ω) = (H (ω – ω0) + H (ω + ω0)) X 0(ω) 1-9

这里的H （ω）是滤波器的频率响应函数。请注意，两个低通滤波器是必需的，因为每个低通滤波器是一种多速率低通滤波器，带通滤波器必须有一个窄带宽以得到任何计算增益。设B 是带宽的宽度而Fs 是采样率。为了获得计算效率增益，以下必须成立：

B

因为调制和解调都包含信号与cos ω0nT 或sin ω0nT 得乘积，所以ω0的选择可以很大程度上影响滤波器的设计效率。

在一般情况下，要选择ω0避免一个正弦或余弦实际计算，而是依赖于一些实时的n 值的正弦和余弦值直接查表就可以直接得到的类型来代替。

总之，采用多速率设计方法可以设计非常有效的有限脉冲响应滤波器。唯一真正的缺点是实施和设计的复杂性，除非使用一个自动化的设计方案。这些滤波器本身具有较长的延时，在要求延时较小的环境不合适。然而，用这种方法获得的计算增益显著高于标准有限脉冲响应滤波器设计方法。