中北大学[信号与系统]实验报告

信 号 与 系 统

实 验 报 告

班级:

姓名:

信息与通信工程学院

实验一 系统的卷积响应

实验性质：提高性 实验级别：必做 开课单位：信息与通信工程学院 学 时：2

一、实验目的：深刻理解卷积运算，利用离散卷积实现连续卷积运算；深刻理解信号与系统的关系，学习MATLAB 语言实现信号通过系统的仿真方法。 二、实验设备： 计算机，MATLAB 软件 三、实验原理： 1、 离散卷积和： 调用函数：conv （）

S =conv (f 1, f 2) =

i =-∞

∑f 1(i ) f (k -i ) 为离散卷积和，

∞

其中，f1(k), f2 (k) 为离散序列，K=…-2, -1, 0 , 1, 2, …。但是，conv 函数只给出纵轴的序列值的大小，而不能给出卷积的X 轴序号。为得到该值，进行以下分析：

对任意输入：设f 1(k ) 非零区间n1~n2，长度L1=n2-n1+1；f 2(k ) 非零区间m1~m2，长度L2=m2-m1+1。则：s (k ) =f 1(k ) *f 2(k ) 非零区间从n1+m1开始，长度为L=L1+L2-1，所以S （K ）的非零区间为：n1+m1~ n1+m1+L-1。 2、 连续卷积和离散卷积的关系：

计算机本身不能直接处理连续信号，只能由离散信号进行近似： 设一系统（LTI ）输入为P ∆(t ) ，输出为h ∆(t ) ，如图所示。

t )

P ∆(t ) →h ∆(t )

δ(t ) =lim P ∆(t ) →lim h ∆(t ) =h (t )

∆→0

∆→0

若输入为f(t):

f (t ) ≈f ∆(t ) =

得输出：

k =-∞

∑f (∆k ) P (t -k ∆) ∆

∆

∞

y ∆(t ) =

k =-∞

∑f (∆k ) h

∞

∆

(t -k ∆) ∆

∞

∞

当∆→0时：f (t ) =lim f ∆(t ) =lim

∆→0

∆→0

k =-∞

∑f (∆k ) P (t -k ∆) ∆=⎰f (τ) δ(t -τ) d τ

∆

-∞∞

y (t ) =lim y ∆(t ) =lim ∑f (∆k ) h ∆(t -k ∆) ∆=

∆→0

∆→0

k =-∞

∞

-∞

⎰f (τ) h (t -τ) d τ

所以：

s (t ) =f 1(t ) *f 2(t ) =⎰f 1(τ) f 2(t -τ) d τ

=lim

∆→0

∑f

1

(k ∆) f 2(t -k ∆) ∆

如果只求离散点上的f 值f (∆n )

f (n ∆) =

k =-∞∞

∑f

∞

1

(k ∆) f 2(n ∆-k ∆) ∆

=∆∑f 1(k ∆) f 2[(n -k ) ∆]

k =-∞

所以，可以用离散卷积和CONV （）求连续卷积，只需∆足够小以及在卷积和的基础上乘以∆。

3、 连续卷积坐标的确定：

设f 1(t ) 非零值坐标范围：t1~t2，间隔P f 2(t ) 非零值坐标范围：tt1~tt2，间隔P

s (t ) =f 1(t ) *f 2(t ) 非零值坐标：t1+tt1~t2+tt2+1

根据给定的两个连续时间信号x(t) = t[u(t)-u(t-1)]和h(t) = u(t)-u(t-1)，编写程序，完成这

两个信号的卷积运算，并绘制它们的波形图。范例程序如下：

先编写单位阶跃函数u(t) function y=u(t) y=(t>=0);

% Program1

% This program computes the convolution of two continuou-time signals clear;close all;

t0 = -2; t1 = 4; dt = 0.01; t = t0:dt:t1; x = u(t)-u(t-1); h = t.*(u(t)-u(t-1));

y = dt*conv(x,h); % Compute the convolution of x(t) and h(t) subplot(221)

plot(t,x), grid on, title('Signal x(t)'), axis([t0,t1,-0.2,1.2]) subplot(222)

plot(t,h), grid on, title('Signal h(t)'), axis([t0,t1,-0.2,1.2]) subplot(212)

t = 2*t0:dt:2*t1; % Again specify the time range to be suitable to the % convolution of x and h.

plot(t,y), grid on, title('The convolution of x(t) and h(t)'), axis([2*t0,2*t1,-0.1,0.6]), xlabel('Time t sec')

在有些时候，做卷积和运算的两个序列中，可能有一个序列或者两个序列都非常长，甚至是无限长，MATLAB 处理这样的序列时，总是把它看作是一个有限长序列，具体长度由编程者确定。实际上，在信号与系统分析中所遇到的无限长序列，通常都是满足绝对可和或绝对可积条件的信号。因此，对信号采取这种截短处理尽管存在误差，但是通过选择合理的信号长度，这种误差是能够减小到可以接受的程度的。若这样的一个无限长序列可以用一个数学表达式表示的话，那么，它的长度可以由编程者通过指定时间变量n 的范围来确定。

例如，对于一个单边实指数序列x[n] = 0.5u[n]，通过指定n 的范围为0 ≤n ≤ 100，则对应的x[n]的长度为101点，虽然指定更宽的n 的范围，x[n]将与实际情况更相符合，

n

但是，注意到，当n 大于某一数时，x[n]之值已经非常接近于0了。对于序列x[n] = 0.5u[n]，当n = 7时，x[7] = 0.0078，这已经是非常小了。所以，对于这个单边实指数序列，指定更长的n 的范围是没有必要的。当然，不同的无限长序列具有不同的特殊性，在指定n 的范围时，只要能够反映序列的主要特征就可以了。 4、 系统的响应： 设微分方程：

n

∑a y

i i =0

N

(i )

(t ) =∑b j f (j ) (t )

j =0

M

a =[a N b =[b M

a N -1b M -1

a N -2b M -2

a 1b 1

a 0]b 0]

均为降幂顺序。

则：1）、冲激响应为：impulse(b,a) impulse(b,a,t) impulse(b,a,t1:p:t2) y=impulse( ) 2) 、阶跃响应为：step( )

3) 、零状态响应：lism(b,a,x,t)

例如，编写程序，计算并绘制由下面的微分方程表示的系统的单位冲激响应h(t)，单位阶跃响应s(t)。

d 2y (t ) dy (t )

+3+2y (t ) =8x (t ) 2

dt dt

MATLAB 范例程序如下：

% Program2

% This program is used to compute the impulse response h(t) and the step response s(t) of a

% continuous-time LTI system clear, close all;

num = input('Type in the right coefficient vector of differential equation：'); den = input('Type in the left coefficient vector of differential equation：'); t = 0:0.01:8;

x = input('Type in the expression of the input signal x(t)：'); subplot(221), impulse(num,den,8); subplot(222), step(num,den,8)

四、预习要求：

掌握MATLAB 的使用。 五、实验内容及步骤

实验前，必须首先阅读本实验原理，读懂所给出的全部范例程序。实验开始时，先在计算机上运行这些范例程序，观察所得到的信号的波形图。并结合范例程序应该完成的工作，进一步分析程序中各个语句的作用，从而真正理解这些程序。

实验前，一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作，包括事先编写好相应的实验程序等事项。

1、根据示例程序的编程方法，编写一个MATLAB 程序，，由给定信号 x(t) = e-0.5t u(t) 求信号y(t) = x(1.5t+3)，并绘制出x(t) 和y(t)的图形。

编写的程序如下：

信号x(t)的波形图 和 信号y(t) = x(1.5t+3) 的波形图

此处粘贴图形 此处粘贴图形

2、计算并用MATLAB 实现下列信号的卷积

编写的程序如下：

信号x1(t)、x2(t)和x1(t)*x2(t)的波形图

此处粘贴图形

3、给定两个离散时间序列

x[n] = 0.5n {u[n]-u[n-8]} h[n] = u[n]-u[n-8]

编写程序、，计算它们的卷积，并分别绘制x[n]、h[n]和它们的卷积y[n]的图形。

编写的程序、如下：

信号x[n]、h[n]和y[n]的波形图

此处粘贴图形

4 、仿照范例程序Program2，编写程序，计算并绘制由如下微分方程表示的系统在输入信号为x(t) = (e-2t - e-3t )u(t)时的零状态响应和你手工计算得到的系统零状态响应曲线。

d 2y (t ) dy (t )

+3+2y (t ) =8x (t ) 2

dt dt

手工计算得到的系统零状态响应的数学表达式是：y (t ) =4e 编写的程序如下：

(

-t

-8te -2t -4e -3t u (t )

)

用MATLAB 绘制的手工计算的系统响应 粘帖用MA TLAB 绘制的手工计算的系统响应

执行程序得到的系统响应 此处粘帖执行程序得到的系统响应

思考题：MATLAB 是如何表示一个由微分方程描述的连续时间LTI 系统的？求解连续时间LTI 系统的单位冲激响应、单位阶跃响应以及系统在某一个输入信号作用下的零状态响应的MATLAB 函数有哪些？

本实验完成时间： 年 月 日

实验二 谐波特征及重构

实验性质：设计性 实验级别：必做 开课单位：信息与通信工程学院 学 时：2 一、 实验目的

1、利用示波器和信号与系统实验箱分析三角波和方波的谐波结构； 2、掌握信号时域波形结构和谐波结构的关系。 二、实验设备

1、信号与系统实验箱；

2、双踪示波器。 三、实验原理

1、一个非正弦周期函数可以用一系列频率成整数倍的正弦函数来表示，其中与非正弦具有相同频率的成分称为基波或一次谐波，其它成分则根据其频率为基波频率的2、3、4、„、n 等倍数分别称二次、三次、四次、„、n 次谐波，其幅度将随谐波次数的增加而减小，直至无穷小。

2、不同频率的谐波可以合成一个非正弦周期波，反过来，一个非正弦周期波也可以分解为无限个不同频率的谐波成分。

3、一个非正弦周期函数可用傅里叶级数来表示，级数各项系数之间的关系可用一各个频谱来表示，不同的非正弦周期函数具有不同的频谱图，各种不同波形及其傅氏级数表达式见表2-1，方波频谱图如图2-1表示

图2-1 方波频谱图

表2-1 各种不同波形的傅里叶级数表达式

实验装置的结构如图2-2所示

图2-2信号分解于合成实验装置结构框图，

图2-2中LPF 为低通滤波器，可分解出非正弦周期函数的直流分量。BPF 1~BPF 6为调谐在基波和各次谐波上的带通滤波器，加法器用于信号的合成。 四、预习要求

在做实验前必须认真复习教材中关于周期性信号傅利叶级数分解的有关内容。 五、实验内容及步骤

1、调节函数信号发生器，使其输出50Hz 的方波信号，并将其接至信号分解实验模块BPF 的输入端，然后细调函数信号发生器的输出频率，使该模块的基波50Hz 成分BPF 的输出幅度为最大。

2、将各带通滤波器的输出分别接至示波器，观测各次谐波的频率和幅值，并列表记录之。（根椐实验测量所得的数据，在同一坐标上绘制方波及其分解后所得的基波和各次谐波的波形。）

3、将方波分解所得的基波和三次谐波分量接至加法器的相应输入端，观测加法器的输出波形，并记录之。（将所得的基波和三次谐波及其合成波形一同绘制在同一坐标纸上，并且观察到的合成波形也绘制在同一坐标上）

4、在3的基础上，再将五次谐波分量加到加法器的输入端，观测相加后的波形，记录之。（将所得的基波、三次谐波、五次谐波及三者合成的波形一同绘画在同一坐标纸上，并把实验4中所观测到的合成波形也绘制在同一坐标纸上，便于比较。）

5、分别将50Hz 单相正弦半波、全波、矩形波和三角波的输出信号接至50HZ 电信号分解与合成模块输入端、观测基波及各次谐波的频率和幅度，记录之。

6、将50Hz 单相正弦半波、全波、矩形波、三角波的基波和谐波分量别接至加法器的相应的输入端，观测求和器的输出波形，并记录之。

六、思考题

1、什么样的周期性函数没有直流分量和余弦项。

2、分析理论合成的波形与实验观测到的合成波形之间误差产生的原因。 七、注意事项

由于元器件量值精度及信号串扰，噪声等因素影响，在做实验时，要注意调节信号的频率及幅值。

本实验完成时间： 年 月 日

实验三： 抽样定理（2学时）

实验性质：验证性 实验级别：必做 开课单位：电子信息工程系实验中心 学 时：2 一、 实验目的

1、了解信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。 2、验证抽样定理。 二、实验设备

1、信号与系统实验箱。

2、双踪示波器。 三、原理说明

1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。抽样信号f s (t)可以看成连续信号f(t)和一组开关函数s(t)的乘积。s(t)是一组周期性窄脉冲，见实验图3-1，T S 称为抽样周期，其倒数f s ＝1／T S 称抽样频率。

图3-1 矩形抽样脉冲

对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的原信号频率。平移的频率等于抽样频率f s 及其谐波频率2 f s 、3 f s ······。当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度按（sinx ）/x规律衰减。抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。

2、正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n 的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。

3、但原信号得以恢复的条件是f s ≥2B ，其中f s 为抽样频率，B 为原信号占有的频带宽度。而f min ＝2B 为最低抽样频率又称“奈奎斯特抽样率”。当f s ＜2B 时，抽样信号的频谱会

发生混迭，从发生混迭后的频谱中我们无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的，因此即使f s ＝2B ，恢复后的信号失真还是难免的。图3-2画出了当抽样频率f s ﹥2B （不混叠时）及f s ＜2B （混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。

(a)连续信号的频谱

(b)高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）

(c)低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）

图3-2 冲激抽样信号的频谱

实验中选用f s ＜2B 、f s ＝2B 、f s ＞2B 三种抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理——要使信号采样后能不失真地还原，抽样频率f s 必须大于信号频率中最高频率的两倍。

4、为了实现对连续信号的抽样和抽样信号的复原，可用实验原理框图3-3的方案。除选用足够高的抽样频率外，常采用前置低通滤波器来防止原信号频谱过宽而造成抽样后信号频谱的混迭。但这也会造成失真。如实验选用的信号频带较窄，则可不设前置低通滤波器。本实验就是如此。

图3-3 抽样定理实验方框图

四、预习要求

1、若连续时间信号为50Hz 的正弦波，开关函数为T S ＝0.5ms 的窄脉冲，试求抽样后信号f s （t ）。

2、设计一个二阶RC 低通滤波器，截止频率为5KHz 。

3、若连续时间信号取频率为200Hz ～300Hz 的正弦波，计算其有效的频带宽度。该信号经频率为f s 的周期脉冲抽样后，若希望通过低通滤波后的信号失真较小，则抽样频率和低通滤波器的截止频率应取多大，试设计一满足上述要求的低通滤波器。 五、实验内容及步骤

1、按预习要求练习3的计算结果将f （t ）和s （t ）送入抽样器，观察正弦波经抽样后的方波或三角波信号。整理并绘出原信号、抽样信号以及复原信号的波形

2、改变抽样频率为f s ≥2B 和f s ﹤2B ，观察复原后的信号，比较其失真程度。 六、注意事项

若原信号为方波或三角波，可用示波器观察离散的抽样信号，但由于本装置难以实现一个理想低通示波器，以及高频窄脉冲（既冲激函数），所以方波或三角波的离散信号经低通示波器后只能观测到它的基波分量，无法恢复原信号。

实验完成时间： 年 月 日

实验四 无源和有源滤波器

实验性质：验证性 实验级别：必做 开课单位：信息与通信工程学院 学 时：2 一、 实验目的

1、 了解RC 无源和有源滤波器的种类、基本结构及其特性 2、 分析和对比无源和有源滤波器的滤波特性 二、仪器设备

1、 信号与系统实验箱 2、 双踪示波器。 三、原理说明

1、 滤波器是对输入信号的频率具有选择性的一个二端口网络，它允许某些频率（通常是某个频带范围）的信号通过，而其它频率的信号受到衰减或抑制，这些网络可以由RLC 元件或RC 元件构成的无源滤波器，也可以由RC 元件和有源器件构成的有源滤波器。

2、 根据幅频特性所表示的通过或阻止信号频率范围的不同，滤波器可分为低通滤波器（LPF ）、高通滤波器（HPF ）、带通滤波器（BPF ）和带阻滤波器（BEF ）四种。把能够通过的信号频率范围定义为通带，把阻止通过或衰减的信号频率范围定义为阻带。而通带与阻带的分界点的频率ωc 称为截止频率或称转折频率。图4-1中的|H(jω)|为通带的电压放大倍数，ω0为中心频率，ωcL 和ωcH 分别为低端和高端截止频率。

图4-1 各种滤波器的理想频幅特性

四种滤波器的实验线路如图4-2所示：

(a)无源低通滤波器 (b)有源低通滤波器

(c) 无源高通滤波器 (d)有源高通滤波器

(e)无源带通滤波器 (f)有源带通滤波器

(g)无源带阻滤波器 (h)有源带阻滤波器

图4-2 各种滤波器的实验线路图

3、图4－3所示，滤波器的频率特性H （jω）（又称为传递函数），它用下式表示

H (j ω) =

u 2

=A (ω) ∠θ(ω) （4－1） u 1

式中A （ω）为滤波器的幅频特性，θ(ω)为滤波器的相频特性。它们都可以通过实验的方法来测量。

＋

U

.

1

U

.

2

－ 图4-3 滤波器 四、预习要求

1、 为使实验能顺利进行，做到心中有数，课前对教材的相关内容和实验原理、目的与要求、步骤和方法要作充分的预习（并预期实验的结果）。

2、 推导各类无源和有源滤波器的频率特性，并据此分别画出滤波器的幅频特性曲线 3、在方波激励下，预测各类滤波器的响应情况。 五、 实验内容及步骤

1、滤波器的输入端接正弦信号发生器或扫频电源，滤波器的输出端接示波器或交流数字毫伏表，

2、测试无源和有源低通滤波器的幅频特性。 （1）测试RC 无源低通滤波器的幅频特性。

用图4-2-1（a ）所示的电路，测试RC 无源低通滤波器的特性。实验时，必须在保持正弦波信号输入电压（U 1）幅值不变的情况下，逐渐改变其频率，用实验箱提供的数字式真有效值交流电压表（10Hz

表一：

（2）测试RC 有源低通滤器的幅频特性 实验电路如图4-2-1（b ）所示。

取R ＝1K 、C ＝0.01uF 、放大系数K ＝1。测试方法用（1）中相同的方法进行实验操作，并将实验数据记入表二中。

表二：

3、分别测试无源、有源HPF 、BPF 、BEF 的幅频特性。实验步骤、数据记录表格及实验内容，自行拟定。（根据实验测量所得的数据，绘制各类滤波器的幅频特性。对于同类型的无源和有源滤波器幅频特性，要求绘制在同一坐标纸上。以便比较，计算出各自特征频率、截止频率和通频带。）

4、研究各滤波器对方波信号或其它非正弦信号输入的响应（选做，实验步骤自拟）。 六、思考题

1、试比较有源滤波器和无源滤波器各自的优缺点。

2、各类滤波器参数的改变，对滤波器特性有何影响。

七、注意事项

1、在实验测量过程中，必须始终保持正弦波信号源的输出（即滤波器的输入）电压U 1幅值不变，且输入信号幅度不宜过大。

2、在进行有源滤波器实验时，输出端不可短路，以免损坏运算放大器。

实验完成时间： 年 月 日