反比例函数教案
授课时间: 年 月 日 第 周 星 期 撰稿; 审稿: 课时序号
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【学习过程】
一、课前导学:预习课本第1页至第3页,完成下列问题:
1.我们形如 的函数叫做一次函数,当 时,又叫做正比例函数.
2. 探究:反比例函数的意义
问题1:(1)京沪线铁路全长1 463km,某次列车的平均速度vkm/h•随此次列车的全程运行问题th 的变化而变化,其关系可用函数式表示为:
2
(2)某住宅小区要种植一个面积为1 000m矩形草坪,草坪的长ym 随宽xm•的变化而变化,
42
可用函数式表示为 (3)已知北京市的总面积为1.68×10km ,人均占有
2
的土地面积Skm /人,随全市总人口n 人的变化而变化,其关系可用函数式表示为 问题2上述问题中的函数关系式都有什么共同的特征?
答: . 4. 反比例函数的意义:一般的,形如 的函数,叫做反比例函数,其中x 是自变量, y 是函数学.自变量的取值范围是 的一切实数. 5. 下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数?
0. 4x 5
(1)y =; (2)y =; (3)y =; (4)xy =2.
x x 2
(5)y =-6x +3; (6)xy =-7; (7)y =
51
(); 8y =x . x 25
6. 已知y 是x 的反比例函数,当x=2时,y=6.写出y 与x 的函数关系式; 求当x=4时,y
的值.
7. 若y 与x 成正比例,z 与y 成反比例,则x 与z 之间成______________关系.
8. 已知y 与(2x+1)成反比例,且x=1时,y=2,那么当x=0时,y 的值是 二、 合作、交流、展示:
1. 比例函数的意义:反比例函数的解析式 ,y=
k x
反比例函数的变形形式:(1)xy=k (2)y =kx -1 2. 例题1. 下列等式中,哪些是反比例函数? (1)y =
x 52
(2)y =- (3)xy =21 (4)y = 3x +2x 31
(6)y =+3 (7)y =x -4 2x x
2
(5)y =-
例题2. 当m 取什么值时,函数y =(m -2) x 3-m 是反比例函数?
例题3(拓展提升) .已知函数y =y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 成反比例,且当x =1时,
y =4;当x =2时,y =5.(1)求y 与x 的函数关系式; (2)当x =-2时,求函数y 的值 三、巩固与应用:
||-
1已知函数y=(m+2)xm 3是反比例函数, 则m 的值是 ..
2. 已知y=y1-y 2,y 1与x 成反比例,y 2与x -2成正比例,并且当x=3时,y=5; 当x=1时,y=-1. 求y 与x 之间的函数关系式. 3. 下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有( )
①当路程s 一定时, 汽车行驶的平均速度v 与行驶时间t 之间的关系; ②当电压U 一定时, 电路中的电阻R 与通过的电流强度I 之间的函数关系; ③当矩形面积S 一定时, 矩形的两边a 与b 之间的函数关系;
④当受力F 一定时, 物体所受到的压强p 与受力面积S 之间的函数关系. A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
4.一张一百元的新版人民币把它换成50元的人民币,可得几张?换成10元的人民币可得几张?依次换成5元,2元,1元的人民币,各可得几张?换得的张数y 与面值x 之间有怎样的关系呢?请同学们填表:
(1)用含有x 的代数式表示y.
(2)换成的面值x 会怎样变化呢?变量y 是x 的什么函数?为什么? 四、小结: 1. 反比例函数的意义;2. 列出实际问题中反比例关系式 五、作业:必做:课本第3页; 选做:配套练习相应练习 六、反思:
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一、课前导学:学生自学课本第4-6 页内容,并完成下列问题 1. 【温故知新】:
(1)正比例函数y =kx (k ≠0)的图象是什么?其性质有哪些?一次函数y =kx+b(k ≠0)呢?
(2)用描点法作函数图象的步骤: , , .. 2. 【探究】分别在下列两个坐标系中作出y =6
6
和y =-的图象.
3. 【观察思考】反比例函数y =
66
和y =-的图象有哪些特征?与小伙伴交流!
x x
二、合作、交流、展示: 1.【交流】请同学们观察y=
66
和y=-的图象,思考下列问题: x x
(1)你能发现它们的共同特点吗?
(2)每个函数的图象分别位于哪几个象限?图象所在象限由谁决定?
(3)在每个象限内,y 随x 的变化如何变化?说说你的理由. 如果把“在每个象限内”这几个字去掉,你同意吗?为什么?
(4)每个函数的双曲线会与坐标轴相交吗?为什么?
三、巩固与应用:
k
上,则k =______________. x 6
2.已知反比例函数y =-的图象经过点P (2, a ) ,则a =__________.
x
1.点(1, 6) 在双曲线y =3. 已知反比例函数y =
4-k
. 若图象位于第一、三象限,则k 的取值范围是x
1
上, 比较a ,b ,c 的大小. x
在每一象限内,y 随x 的增大而增大,则k 取值的范围是
.
4.
已知点A(-3,a),B(-2,b),C(4, c)在反比例函数y =
5. 函数y=kx-k 与 y=
k
在同一条直角坐标系中的 图象可能是( ) x
(A) (B) (C) (D)
四、小结: 1. 反比例函数的图象和性质;2. 类比思想、数形结合思想. 五、作业:必做:课本P8 习题T2,3,4; 选做:配套练习相应练习. 六、课后反思:
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一、课前导学:学生自学课本第 7—8 页内容,并完成下列问题 1. 【回忆】:比较正比例函数和反比例函数的图象和性质
2. 【探究】问题1:如图,点A 是反比例函数y =
图像上一点,过点A 作AB ⊥x 轴于点
y x
A
O
B
x
B ,连结AO ,⑴若A 点的横坐标为3,则S D AOB =____________;
⑵思考:若点A 在函数图像上运动,△AOB 的面积是否发生变化? 问题2:如图,点A 是反比例函数y =-AO ,
⑴若A 点的横坐标为-3,则S D AOB =____________;
⑵思考:若点A 在函数图像上运动,△AOB 的面积是否会否发生变化? 归纳:1. 若点A 在反比例函数y =以得到S D AOB =____________.
6
图像上一点,过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,连结
y x
A B
O
x
k
的图像上,过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,连结AO ,可x
2. 从反比例函数y =
k
(k ≠0)的图象上任一点P (x ,y )向x 轴、y 轴作垂线段,与x 轴、x
y 轴所围成的矩形面积S = . 二、合作、交流、展示:
1.已知反比例函数的图象经过点A (2,6).
(1)这个函数的图象位于哪些象限?y 随x 的增大如何变化? (2)点B (3,4),C (-21, -44),D (2,5)是否在这个函数的图像上?
2
5
解:
【反思】判断点是否在图像上,只要 .
3. 如图,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =
的图象交于A (-2,1)、x
B (1,n )两点. (1)分别求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围; (3)求△AOB 的面积. 三、巩固与应用:
k 2+1
1. 已知点(-1,y 1)、(2,y 2)、(π,y 3)在双曲线y =-上,则下列关
x
系式正确的是( )
(A )y 1>y 2>y 3 (B )y 1>y 3>y 2 (C )y 2>y 1>y 3 (D )y 3>y 1>y 2 2. 如图,A 、B 是函数y =
2
的图象上关于原点对称的任意两点,BC ∥x 轴,AC ∥y 轴, x
△ABC 的面积记为S ,则( ) . (A)S =2 (B)S =4 (C)2<S <4 (D)S >4 3. 如图,在平面直角坐标系中,
反比例函数y =
k
(x>0)的图象和矩形ABCD 的x
第一象限,AD 平行于x 轴,且AB =2,AD =4,点A 的坐标为(2,6) . (1)直接写出B 、C 、D 三点的坐标; (2)若将矩形向下平移,矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两个点,并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式. 四、小结: 1. 理解反比例函数k 的几何含义;2. 综合运用知识解题. 五、作业:必做:课本P9习题T5,8,9; 选做:配套练习相应练习. 六、课后反思:
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【学习过程】
二、课前导学:预习课本第12页至第13页,完成下列问题:
1、三角形中,当面积S 一定时,高h 与相应的底边长a 关系 已知一个三角形的面积是6,它的底边是x ,底边上的高是y ,则y 与x 的函数关系式是_________;若x=3,则y=_________,若y=6则x=___________。 2、矩形中,当面积S 一定时,长a 与宽b 关系 。
一个矩形的面积为20cm ,相邻的两条边长分别为xcm 和ycm 。那么变量y 是变量x 的函数关系式是 。
3、长方体中当体积V 一定时,高h 与底面积S 的关系 。
43
某自来水公司计划新建一个容积为4×10m 的长方体蓄水池。
3
⑴蓄水池的底面积S (m )与其深度h (m )有怎样的函数关系? ⑵若深度设计为5m ,则底面积应为_______m. 二、合作、交流、展示:
例1、市煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室.(图见课本P12) (1)储存室的底面积S(单位:m ) 与其深度d(单位:m ) 有怎样的函数关系?
(2)公司决定把储存室的底面积S 定10m 为500m ,施工队施工时应该向下挖进多深? (3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m 时,碰上了坚硬的岩石,为了节约建设资金,公司临时改变计划把储存室的深改为15m ,相应的,储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数) .
4
3
2
2
2
2
例2. 已知三角形的面积为24cm , 任一边a(cm)与这边上的高h(cm)之间的函数关系式, 并写出自变量的取值范围, 画出图象
例3.面积为4的矩形一边为x ,另一边为y ,则y 与x 的变化规律用图象大致表示为 ( )
三、巩固与应用: 1、(09湖北恩施)一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案,如图所示,设小矩形的长和宽分别为x 、y ,剪去部分的面积为20,若2≤x ≤10,则y 与x 的函数图象是( )
2
2、(山东烟台)如图,点A(m,6),B(n ,1) 在反比例函数图象上。AD ⊥x 轴于点D,BC ⊥x 轴于点C,DC=5。
(1)求m,n 的值并写出反比例函数的表达式;
(2)连接AB, 在线段DC 上是否存在一点E, 使△ABE 的面积等于5, 若存在,求出E 点坐标; 若不存在. 请说明理由
3、如图,已知直线y =1x 与双曲线y =k (k >0) 交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为4.
2
x
(1)求k 的值;
(2)根据图象写出正比例函数的值大于反比例函数的值时,x 的取值范围. (3)若双曲线y =k (k >0) 上一点C 的纵坐标为8,求△AOC 的面积.
x
(4)过原点O 的另一条直线l 交双曲线y =k (k >0) 于P ,Q 两点(P 点在第一象限),
x
若由点A ,B ,P ,Q 为顶点组成的四边形面积为24,求点P 的坐标。
四、小结: 把实际问题转化为数学问题, 建立数学模型解决问题 五、作业:必做:课本第15页T1; 选做:配套练习相应练习 六、反思:
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【学习过程】
三、课前导学:预习课本第13页,完成下列问题:
1、在行程问题中,当与 汽车在相距80千米的两地间行驶,则速度v 和时间t 的函数关系式为 。 2、在工程问题中,当与成反比例,即 某厂现有800吨煤,这些煤能烧的天数y 与平均每天烧的吨数x 之间的函数关系是 。 3、某电厂有5 000吨电煤.(1)这些电煤能够使用的天数x (天)与该厂平均每天用煤吨数y (吨)之间的 函数关系是(2)若平均每天用煤200吨,这批电煤能用(3)若该电厂前10天每天用200吨,后因各地用电紧张,每天用煤300吨,这批电煤共可用 天
二、合作、交流、展示:
例1、码头工人以每天30吨的速度往一轮船上装载货物,装载完毕恰好用了8天时间。 (1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v 与卸货时间t 之间函数关系?
(2)由于遇到紧急情况,船上货物必须在不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物?
例2、某粮食公司需要把2400吨大米调往四川灾区救灾. (1)调动所需时间t (天),与调动速度V (吨/天)有怎么样的函数关系(不必写出自变
量V 的取值范围)?
(2)该公司有20辆汽车,每辆汽车每天可装6吨,预计这批大米最快在几天内全部运往四川灾区?
(3)该公司所有汽车工作了4天后,上级部门指示必须在4天内把剩下的大米全部运往 四川灾区需要增派多少辆汽车才能完成任务?
(2)记S =S △OEF -S △ECF ,求当k 为何值时,S 有最大值,最大值为多少? (3)请探索:是否存在这样的点F ,使得将△CEF 沿EF 对折后,C 点恰好落在OB 上?若存在,求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由。
三、巩固与应用:
1、完成某项任务可获得500元报酬,考虑由x 人完成这项任务,试写出人均报酬y (元)与人数x (人)之间的函数关系式
2、学校锅炉旁建有一个储煤库,开学初购进一批煤,现在知道:按每天用煤0.6吨计算,一学期(按150天计算)刚好用完. 若每天的耗煤量为x 吨,那么这批煤能维持y 天 (1)则y 与x 之间有怎样的函数关系?(2)画函数图象 (3)若每天节约0.1吨,则这批煤能维持多少天?
3、在反比例函数 y =10(x >0)的图象上,有一系列点A 1、A 2、A 3、... 、A n 、A n +1,若A 1的
x 横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2现分别过点构成若干个矩形如图所示,将图中阴影部分A 1、A 2、A 3、... 、A n 、A n +1作x 轴与y 轴的垂线段,的面积从左到右依次记为S 1、S 2、S 3、... 、S n ,求S 1和S 1、S 2、S 3、... 、S n
(用n 的代数式表示)
四、小结: 把实际问题转化为数学问题, 建立数学模型解决问题
五、作业:必做:课本第15页T3,第22页T11; 选做:配套练习相应练习 六、反思:
授课时间: 年 月 日 第 周 星 期 撰稿; 审稿: 课时序号
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四、课前导学:预习课本第14页至第15页,完成下列问题: 1、函数y =-
8
,当x >0时,y ,相应的图象在第象限内,y 随x 的增大而. x
2、杠杆定律: × = × 。 3、用电器的输出功率P (瓦)、两端电压U (伏)及用电器的电阻R (欧姆)的关系: 或 或
二、合作、交流、展示:
【例1】小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂不变,分别为1200牛和0.5米(1)动力F 是动力臂l 的什么函数关系?动力臂为1.5米时,撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F 不超过题(1)中所用力的一半, 则动力臂至少要加长多少? 解:(1)根据“杠杆定律”,有F l =
∴ F与l 的函数解析式为:F= ,当l =1.5时,F=
∴撬动石头至少需要 牛顿的力
(2)当F= = 时, l = = ∴ -1.5=
答:若想用力不超过400牛顿的一半,则动力臂至少要加长 米。
【例2】一个用电器的电阻是可以调节的,其范围为110~220欧姆,已知电压为220伏 (1)输出功率P 与电阻R 有怎样的函数关系? (2)这个用电器输出功率的范围多大? 解:(1)根据电学知识,当U=220时,有P= ∴ 输出功率P 是电阻R 的反比例函数,解析式为:P= (2)从①式可以看出,电阻越大,功率越小。当R=110时,P=
当R=220时,P= ∴ 用电器的输出功率在 瓦到 瓦之间。
三、巩固与应用:
1.物理学知识告诉我们,一个物体所受到的压强p 与所受压力F 及受力面积S 之间的计算F
,当一个物体所受压力为定值时,则该物体所受压强p 与受力面积S 间的关系S
ρ用图像表示大致可为 ( ).
公式为P
3
2. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单位:kg/m)是体积V (单位:m )的反比例函数,它的图像如上图所示,当V=10m时,气体的密度是( ).
3
3
3
3
3
3
3
A .5kg/m B.2kg/m C.100kg/m D.1kg/m 3、 如图所示,悦悦设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一根匀质的木杆中点O 左侧固定位置B 处悬挂重物A ,在中点O 右侧用一个弹簧秤向下拉,改变弹簧秤与点O 的距离x (cm ),观察弹簧秤的示数(N )的变化情况。实验数据记录如下:
(1)把上表中,的各组对应值作为点的坐标,在坐标系中 描出相应的点,用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象,
猜测y (N )与x (cm )之间的函数关系,并求出函数关系式; (第3题图) (2)当弹簧秤的示数为24N 时,弹簧秤与O 点的距离是多少cm ?
随着弹簧秤与O 点的距离不断减小,弹簧秤上的示数将发生怎样的变化?
四、小结: 把实际问题转化为数学问题, 建立数学模型解决问题;
五、作业:必做:课本第15页练习T1、2、3; 选做:配套练习相应练习。 六、反思:
授课时间: 年 月 日 第 周 星 期 撰稿; 审稿: 课时序号
【学习过程】
2. 在下列函数中,y 是x 的反比例函数的是( ) (A )y =
3. 若y=(5+m)x2+n是反比例函数,则m 、n 的取值是________________。
832 (B )y =+7 (C )xy = 5 (D )y =2
x x +5x
4. 已知反比例函数y =
k
(k
y 1-y 2的值是( ) A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 不能确定
k
5. 在同一坐标系中,函数y =和y =kx +3的图像大致是 ( )
A B C D
二.合作、交流、展示: 探究点一 反比例函数的意义
例1.(1)近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (米)成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米,则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函
数关系式为 .(2).在对物体做功一定的情况下,力F (牛) 与此物体在力的方向上移动的距离s (米) 成反比例函数关系,其图象如图所示,P (5,1) 在图象上,则当力达到10牛时,物体在力的方向上移动的距离是 米.
探究点二、反比例函数图像及其性质
例2. (1)已知一个函数具有以下条件:⑴该图象经过第四象限;⑵当x >0时, y 随x 的增大而增大;⑶该函数图象不经过原点。请写出一个符合上述条件的函数关系式: 。
(2). 已知点A (-2,y 1)、B (-1,y 2)、C (3,y 3)都在反比例函数y =
4
的图象上,则( ) x
(A )y 1
3m -2
,当其图象的两个分支在第一、三象限内; x
当m 时,其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大。 探究点三、反比例函数的解析式 例3(1)、若反比例函数y =是 .
2m x
m 2-24
的图象经过第二、四象限,则函数的解析式
3) ,则此函数图象也经过点( ) (2).某反比例函数的图象经过点(-2,
-3) B .(-3,-3) A .(2,
3) C .(2,
6) D .(-4,
(3).已知y =y 1-y 2,y 1与x 2成正比例,y 2与x +3成反比例,当x =0时,y =2;当x =3时,y =0,求y 与x 的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
探究点四、图像与图形的面积
k
(k ≠0) 的图象上, x
AM ⊥x 轴于点M ,△AMO 的面积为3,则k =.m
(2)如图,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =的
x
1) ,B (1,n ) 两点.图象交于A (-2,
例4(1)如右图,若点A 在反比例函数y =
(1)m= ,n= ;k= ,b= . (2)△AOB 的面积= . (3) kx +b >的解集为
x
探究点五、实际问题与反比例函数
例5. 人的视觉机能受运动速度的影响很大,行驶中司机在驾驶室内
m
观察前方物体时是动态的,车速增加,视野变窄,当车速为50km/h时视野为80度,如果视野f (度)•是车速v (•km/h)的反比例函数,求f ,•v •之间的关系式,并计算当车速为100km/h时视野的度数.
例6 .某商场出售一批进价为2元的贺卡,在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售量y 之间有如下关系: (1)猜测并确定y 与x 之间的函数关系式,并画出图象;
(2)设经营此贺卡的销售利润为W 元,试求出w 与x 之间的函数关系式,若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个,请你求出当日销售单价x 定为多少元时,才能获得最大日销售利润? 四、巩固与应用:
m 2+2m -1
1. 若点(3,4) 是反比例函数y =图象上一点,则此函数图象必经过点( )
x
A.(2,6) B.(2,-6) C.(4,-3) D.(3,-4) 2. 已知函数y =
k
(k <0) ,又x 1,x 2对应的函数值分别是y 1,y 2,若x 2>x 1>0对,则有( ) x
A. y 1>y 2>0 B. y 2>y 1>0 C. y 1<y 2<0 D. y 2<y 1<0 3. 如图,反比例函数y =
5
的图象与直线y =kx (k >0) 相交于B 两点,x
AC ∥y 轴,BC ∥x 轴,则△ABC 的面积等于. A.4 B.5 C.10 D.20 4. 如图2是三个反比例函数y =
k k 1k
,y =2,y =3在x 轴上方 x x x
的图象,由此观察k 1、 k 2、k 3得到的大小关系为( )
A. k 1>k 2>k 3 B. k 2>k 3>k 1 C. k 3>k 2>k 1 D. k 3>k 1>k 2
5. 如果点A (x 1,y 1)和点B (x 2,y 2)是直线y=kx-b上的两点,且当x 1
k
的图象大致是( )
x
A B C D 6. 已知反比例函数y =7. 已知反比例函数y =的图像不经过第
k
(k ≠0)与一次函数y =x 的图象有交点,则k 的范围是______. x
k
(k ≠0),当x >0时,y 随x 的增大而增大,那么一次函数y =kx -k x
象限.
8. 已知函数y = y1-y 2,y 1与x 成反比例,y 2与x -2成正比例,且当x = 1时,y =-1;当x = 3时,y = 5.求当x =5时y 的值。 9. 已知点P ,Q 在y =-
3
的图象上. (1)若P (1,a ),Q (2,b ),比较a ,b 的大小; x
(2)若P (1,a ),Q (-2,b ),比较a ,b 的大小;
(3)若P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),x 1<x 2,你能比较y 1与y 2的大小吗? 10. 平行于直线y =x 的直线l 不经过第四象限,且与函数
3
(x >0) 和图象交于点A ,过点A 作AB ⊥y 轴于点B ,x
AC ⊥x 轴于点C ,四边形ABOC 的周长为8.求直线l 的解析式. y =
11. 为了预防疾病,某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米
空气中的含药量y(毫克) 与时间x(分钟) 成为正比例, 药物燃烧后,y 与x 成反比例(如图) ,
现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量6毫克, 请根据题中所提供的信息,解答下列问题:
(1)药物燃烧时,y 关于x 的函数关系式为自变量x 的取值范为 ;药物燃烧后,y 关于x 的函数关系式为 . (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,员工才能回到办公室;
(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效? 为什么?
四、小结: 1. 反比例函数的意义和性质;2. 用反比例函数解决实际问题 五、作业:必做:课本第21页; 选做:配套练习相应练习 六、反思: