高数第五版答案1-7
习题 17
223 1. 当x0时 2xx 与xx相比 哪一个是高阶无穷小?
解 因为limxx
2xx232limx0xx2x02x0,
所以当x0时 x2x3是高阶无穷小, 即x2x3o(2xx2).
2. 当x1时 无穷小1x和(1)1x3, (2)(1x2)是否同阶?是否等价? 21
解 (1)因为lim1x3
x11xlim
x1(1x)(1xx)1x2lim(1xx)3
x12,
所以当x1时, 1x和1x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.
1
(2)因为lim2
x1(1x)1x
1212lim(1x)1, x1所以当x1时, 1x和(1x2)是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 2
3. 证明: 当x0时 有:
(1) arctanx~x;
(2)secx1~x2
2.
arctanx
xlim
y0 证明 (1)因为limytanyx01(提示: 令yarctan x, 则当x0时, y 0),
所以当x0时 arctanx~x.
secx1
1
2x2 (2)因为lim2limx01cosxxcosx22sinlimx02x2limx0x0x22sinx
2x221, 2
x2
所以当x0时, secx1~2.
4. 利用等价无穷小的性质 求下列极限:
(1)limtan3x
2x
nx0;
(2)limsin(x)
(sinx)mx0(n, m为正整数);
(3)limtanxsinx
sin3x0x;
. (4)limsinxtanx
(x32x01)(sinx1)
解 (1)limtan3xlim3x3. x02xx02x2
1 nmxn (2) limlim0 nm. x0(sinx)mx0xm nmsin(xn)
(3)limtanx
3sinxlimx0sinx(sinxx01121)x1cosx1limlim. x0cosxsin2xx0x2cosxsin3x2
(4)因为
2 sinxtanxtanx(cosx1)2tanxsinx213~2x()x(x0), 222x
x21
22x2~2132x(x0),
(1x)x
sinx
sinx11 sinx1~sinx~x(x0),
1
2x
23所以 limx0sinxtanx(x2limx01)(sinx1)1
33. xx
5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质:
(1) ~ 自反性);
(2)若~, 则~对称性);
(3)若~, ~, 则~传递性).
证明 (1)lim
1, 所以~ ;
1, (2)若~, 则lim
从而lim
lim
1. 1. 因此~;因此~. (3)若~, ~, lim
lim