材料力学第五版课后题答案
[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示,杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2,试做木桩的后力图。
解:由题意可得:
∫
l
1
fdx=F,有kl3=F,k=3F/l3
3
l0
FN(x1)=∫3Fx2/l3dx=F(x1/l)3
[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高l=10m,其横截面面尺寸如图所示。荷载F=1000kN,材料的密度ρ=2.35kg/m3,试求墩身底部横截面上的压应力。
解:墩身底面的轴力为:
N=−(F+G)=−F−Alρg 2-3图 =−1000−(3×2+3.14×12)×10×358=−3104.942(kN)
9.14(m2)
kPa≈−0.34
MPa[
2-7图
解:取长度为dx截离体(微元体)。则微元体的伸长量为:
d(∆l)=
lFdxFFldx
,∆l=∫dx=∫
00EA(x)EA(x)EA(x)
r−rd−d1dr−r1x
x+1, =,r=21⋅x+r1=2
l2l2
r2−r1l
d−d1dd−d1dd−d1
x+1=du=2dx A(x)=π2x+1=π⋅u2,d(2
2l22l22l2l
d−ddxdu2l2l
⋅(−2) dx=du,=221du=
A(x)d2−d1π(d1−d2)uπ⋅u
因此,
2
∆l=∫
lFFldx2Fldu
dx=∫=(−)
0EA(x)E0A(x)πE(d1−d2)∫0u2l
l
l
2Fl2Fl11
==ddd−πE(d1−d2)u0πE(d1−d2)21
x+1
2l202Fl=π
E(d1−d2)=
2FlπE(d1−d2)[习题2-10] 受轴向拉力F性常数为E,ν,试求C与D两点间的距离改变
解:
ε'=−νε=−ν
F/AνF
=−
EEA
Fν
4Eaδ
式中,A=(a+δ)2−(a−δ)2=4aδ,故:ε'=−
∆aFνFν'
=ε'=− , ∆a=a−a=−a4Eaδ4Eδa'=a−
Fν22,CD=(a)+(a)=a 34
4Eδ12
223
C'D'=(2a')+(a')=
a' 12
∆(CD)=C'D'−CD=
'FνFν
(a−a)=−⋅=−1.003⋅ 12124Eδ4Eδ
[习题2-11] 图示结构中,AB为水平放置的刚性杆,杆1,2,3材料相同,其弹性模量
E=210GPa,已知l=1m,A1=A2=100mm2,A3=150mm2,F=20kN。试求C
点的水平
位移和铅垂位移。
2-11图
解:(1)求各杆的轴力
以AB杆为研究对象
kN)
0.476mm =0.476mm 1、2、3杆的变形协(谐)调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协(谐)调条件,并且考虑到AB为刚性杆,可以得到
C点的水平位移:∆CH=∆AH=∆BH=∆l1⋅tan45o=0.476(mm) C点的铅垂位移:∆C=∆l1=0.476(mm)
[习题2-12] 图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接,在A点作用有铅垂向下的力
F=35kN。已知杆AB和AC的直径分别为d1=12mm和d2=15mm,钢的弹性模量
E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。
解:(1)求AB、AC杆的轴力
以节点A为研究对象,其受力图如图所示。 由平衡条件得出:
∑X=0:N∑Y=0:N
AC
sin30o−NABsin45o=0
2NAB………………………(a)
NAC=
AC
cos30o+NABcos45o−35=0
3NAC+2NAB=70………………(b)
(a) (b)联立解得:
NAB=N1=18.117kN;NAC=N2=25.621kN (2)由变形能原理求A点的铅垂方向的位移
2
N12l1N2l21
+ F∆A=
22EA12EA22
l21N12l1N2
∆A=(+
FEA1EA2
2=800/sin30=1600(mm) 2;A2=0.25×3.14×152=177mm2
oo
256212×1600
)=1.366(mm)
210000×177
[向的一根直径d=1mm的钢丝,在钢丝的中点
Cε=0.0035,其材料的弹性模量E=210GPa, 拉,在断裂前可认为符合胡克定律); 解:(1)求钢丝横截面上的应力 σ=Eε=210000×0.0035=735(MPa) (2)求钢丝在C点下降的距离∆
Nll2000
=σ⋅=735×=7(mm)。其中,AC和BC各3.5mm。 EAE2100001000
cosα==0.996512207
1003.5
∆l=
α=1000
)=4.7867339o
1003.5
∆=1000tan4.7867339o=83.7(mm)
(3)求荷载F的值
以C结点为研究对象,由其平稀衡条件可得:
∑Y=0:2Nsina−P=0
P=2Nsina=2σAsinα
=2×735×0.25×3.14×12×sin4.7870=96.239(N)
[习题2-15]水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑,如图,在杆的A端承F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米,A2=6平方毫米,,杆的弹性模量E=210Gpa,求:
(1) 端点A的水平和铅垂位移。
(2) 应用功能原理求端点A的铅垂位移。 解:(1)
13
=有fdxF,kl=F∫0
3
k=3F/l3
l
FN(x1)=∫3Fx2/l3dx=F(x1/l)3
l
Fcos45o00KN,3.87
4.76
y21(2)
Vε=F×∆Ay−F1×∆l1+F2×∆l2=0∆Ay=20.33(↓)
[习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示,水平杆BC的长度l保持不变,斜杆AB的长度
可随夹角θ的变化而改变。两杆由同一种材料制造,且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力,且结构的总重量为最小时,试求: (1)两杆的夹角;
(2)两杆横截面面积的比值。 解:(1)求轴力
取节点B为研究对象,由其平衡条件得:
∑Y=0
F
sinθ
NABsinθ−F=0 NAB=
∑X=0
F
⋅cosθ=Fcotθ sinθ
−NABcosθ−NBC=0 NBC=−NABcosθ= (2)求工作应力 σAB=
NABF
= AABAABsinθNBCFcotθ
=
ABCABC
σBC=
(3)求杆系的总重量
。γ是重力密度(简称重度,单位:kN/m3)。
F [σ],AAB=
[σ]sinθFcotθ
σ], ABC=
[σ]BCBC
11
+ABC)=γ⋅l(AAB+ABC) cosθcosθ
条件⑵:W的总重量为最小。
W=γ⋅l(AAB =γ⋅l(
F1FcotθFlγ1cosθ
⋅+=(+)
[σ]sinθcosθ[σ][σ]sinθcosθsinθ
2Flγ
=σ
1+cos2θ
sin2θ
Flγ1+cos2θ
=
σsinθcosθ
从W的表达式可知,W是θ角的一元函数。当W的一阶导数等于零时,W取得
最小值。
dW2Flγ−2cosθsinθ⋅sin2θ−(1+cos2θ)cos2θ⋅2
==0 2dθσsin2θ−sin22θ−
3+cos2θ
⋅cos2θ⋅2=0 2
−sin22θ−3cos2θ−cos22θ=0 3cos2θ=−1 ,cos2θ=−0.3333
2θ=arccos(−0.3333)=109.47o,θ=54.74o=54o44'
(5)求两杆横截面面积的比值 AAB=
FcotθF
,
[σ]sinθ
AAB
ABC
F
[σ]sinθ
==Fcotθ[σ]
因为: 3cos2
θ=− 由两应力
角钢
由对称性可知, RA=RB=220kN(↑) (2)求AC杆和CD杆的轴力 以A
节点为研究对象,由其平 衡条件得:
∑Y=0 2-18
RA−NACcosα=0
NAC=
RA220
==366.667(kN) sinα3/5
以C节点为研究对象,由其平衡条件得:
∑X=0
220
×4/5=293.333(kN) 3/5
NCD−NACcosα=0 NCD=NACcosα=
(3)由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AC杆: AAC≥
NAC366667N
==2156.86mm2=21.569cm2
[σ]170N/mm
选用2∟
80× CD杆: ACD≥
NCD=2 [σ] 选用2∟75×[
钢组成。已性模量的。试A处的铅垂
F
∑M
=0
NGH×3−300×1.5−60×1.2=0 2-19
1
NGH=(450+72)=174(kN)
3
∑Y=0
NEF+174−60−300=0
NEF=186(kN)
(2)由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AB杆: AAB≥
NAB240000N
==1411.765mm2=14.12cm2 2
[σ]170N/mm
选用2∟90×56×5(面积2×7.212=14.424cm2)。 CD杆: ACD≥
NCD60000N
==352.941mm2=3.529cm2 2
[σ]170N/mm
2
选用2∟40×25×3(面积2×1.89=3.78cm)。
EF杆:
AEF≥
NEF=2 [σ] 选用2∟70× GH杆:
2 2
=11.218cm)。 、∆A =2.694≈2.7(mm)
.907(mm)
NEFlEF186000×2000
==1.580(mm)
EAEF210000×1121.8NGHlGH174000×2000
==1.477(mm)
EAGH210000×1121.8
∆lEF=
∆lGH=
EG杆的变形协调图如图所示。
∆D−lGH1.8
=
lEF−lGH3
∆D−1.4771.8
=
1.580−1.4773∆D=1.54(mm)
∆C=∆D+lCD=1.54+0.907=2.45(mm) ∆A=lAB=2.7(mm)
[习题2-21] (1)刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着,其受力如图所示。已知钢AC和BD的直径分别为d1=25mm和d2=18mm,钢的许用应力[σ]=170MPaE=210GPa。试校核钢杆的强度,并计算钢杆的变形∆lAC、∆lBD及A、的竖向位
移∆A、∆B。
解:(1)校核钢杆的强度
① 求轴力
NAC=
NBC
3
×100=66.667(kN) 4.51.5=×100=33.333(kN) 4.5
② 计算工作应力
2-21 许用应力170MPa,即σAC≤[σ];
,不会发生破坏。
(2)计算∆lAC、∆lBD ∆lAC=
NAClAC66667×2500
==1.618(mm)
EAAC210000×490.625NBDlBD33333×2500
==1.560(mm)
EABD210000×254.34
∆lBD=
(3)计算A、B两点的竖向位移∆A、∆B
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com∆ A = ∆l AC = 1.618(mm) , ∆ B = ∆l BD = 1.560(mm)[习题 3-2] 实心圆轴的直径 d = 100mm ,长 l = 1m ,其两端所受外力偶矩 M e = 14kN ⋅ m , 材料的切变模量 G = 80GPa 。试求: (1)最大切应力及两端面间的相对转角; (2) 图示截面上 A、 C 三点处切应力的数值及方向; B、 (3)C 点处的切应变。 解: (1)计算最大切应力及两端面间的相对转角τ max =M T = e。 Wp Wp 1 1 πd 3 = × 3.14159 × 100 3 = 196349(mm 3 ) 。 3-2 16 16式中, W p = 故: τ max =M e 14 × 10 6 N ⋅ mm = = 71.302MPa Wp 196349mm 3ϕ=1 1 T ⋅l , 式中, I p = πd 4 = × 3.14159 × 100 4 = 9817469(mm 4 ) 。故: 32 32 GI p T ⋅l 14000N ⋅ m × 1m = = 0.0178254(rad ) = 1.02 o 9 GI p 80 × 10 N / m 2 × 9817469 × 10 −12 m 4ϕ=(2)求图示截面上 A、B、C 三点处切应力的数值及方向τ A = τ B = τ max = 71.302MPa , 由横截面上切应力分布规律可知: 1 B、 τ C = τ B = 0.5 × 71.302 = 35.66 MPa , A、 C 三点的切应力方向如图所示。 2(3)计算 C 点处的切应变γC =τC 35.66MPa = = 4.4575 × 10 −4 ≈ 0.446 × 10 −3 3 G 80 × 10 MPa[习题 3-3] 空心钢轴的外径 D = 100 mm ,内径 d = 50 mm 。已知间距为 l = 2.7 m 的两横截 面的相对扭转角 ϕ = 1.8 o ,材料的切变模量 G = 80GPa 。试求: (1)轴内的最大切应力; (2)当轴以 n = 80r / min 的速度旋转时,轴所传递的功率。 解; (1)计算轴内的最大切应力1 1 πD 4 (1 − α 4 ) = × 3.14159 × 100 4 × (1 − 0.5 4 ) = 9203877(mm 4 ) 。 32 32 1 1 W p = πD 3 (1 − α 4 ) = × 3.14159 × 100 3 × (1 − 0.5 4 ) = 184078(mm 3 ) 16 16 式中, α = d / D 。 Ip =11 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.comϕ= T ⋅l , GI p ϕGI p l = 1.8 × 3.14159 / 180 × 80000 N / mm 2 × 9203877mm 4 2700mmT== 8563014 .45 N ⋅ mm = 8.563(kN ⋅ m)τ max =T 8563014.45 N ⋅ mm = 46.518MPa = Wp 184078mm 3(2)当轴以 n = 80r / min 的速度旋转时,轴所传递的功率T = M e = 9.549N Nk = 9.549 × k = 8.563(kN ⋅ m) n 80N k = 8.563 × 80 / 9.549 = 71.74(kW )[习题 3-5] 图示绞车由两人同时操作, 若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 F 均为 0.2kN, 已知轴材料的许用切应力 [τ ] = 40MPa ,试求: (1)AB 轴的直径; (2)绞车所能吊起的最大重量。 解: (1)计算 AB 轴的直径 AB 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等:M e左 = M e右 = 0.2 × 0.4 = 0.08(kN ⋅ m) M e主动轮 = 2 M e右 = 0.16(kN ⋅ m)扭矩图如图所示。 由 AB 轴的强度条件得: 3-5τ max =M e右 16 M e右 = ≤ [τ ] Wp πd 3d ≥316M e右 16 × 80000N ⋅ mm =3 = 21.7 mm π [τ ] 3.14159 × 40 N / mm 2(2)计算绞车所能吊起的最大重量 主动轮与从动轮之间的啮合力相等:M e主动轮 0.2=M e从动轮 0.35, M e从动轮 =0.35 × 0.16 = 0.28(kN ⋅ m) 0.20由卷扬机转筒的平衡条件得:P × 0.25 = M e从动轮 , P × 0.25 = 0.28 P = 0.28 / 0.25 = 1.12(kN )12 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com[习题 3-6] 已知钻探机钻杆(参看题 3-2 图)的外径 D = 60 mm ,内径 d = 50mm ,功率 P = 7.355kW ,转速 n = 180r / min ,钻杆入土深度 l = 40 m ,钻杆材料的 G = 80GMPa , 许用切应力 [τ ] = 40 MPa 。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的,试求: (1)单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 m ; (2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核; (3)两端截面的相对扭转角。 解: (1)求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 mM e = 9.549Nk 7.355 = 9.549 × = 0.390(kN ⋅ m) n 180设钻杆轴为 x 轴,则:∑Mx= 0 , ml = M e ,m=M e 0.390 = = 0.00975(kN / m) l 40(2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核 ①作钻杆扭矩图T ( x) = −mx = −0.39 x = −0.00975x 。 x ∈ [0,40] 40T (0) = 0 ; T (40) = M e = −0.390(kN ⋅ m)扭矩图如图所示。 ②强度校核, τ max = 式中, W p =Me Wp1 1 50 πD 3 (1 − α 4 ) = × 3.14159 × 60 3 × [1 − ( ) 4 ] = 21958(mm 3 ) 16 16 60τ max =M e 390000N ⋅ mm = = 17.761MPa Wp 21958mm 3因为 τ max = 17.761MPa , [τ ] = 40 MPa ,即 τ max ≤ [τ ] ,所以轴的强度足够,不 会发生破坏。 (3)计算两端截面的相对扭转角ϕ =∫400T ( x)dx GI p 1 1 50 πD 4 (1 − α 4 ) = × 3.14159 × 60 4 × [1 − ( ) 4 ] = 658752(mm 4 ) 32 32 60式中, I p =ϕ =∫400| T ( x) | dx 1 = GI p GI p∫4000.00975xdx =0.00975 x 2 40 [ ]0 80 × 10 6 kN / m 2 × 658752 × 10 −12 m 4 2= 0.148(rad ) ≈ 8.5 013 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com[习题 3-8] 直径 d = 50mm 的等直圆杆,在自由端截面上承受外力偶 M e = 6kN ⋅ m ,而在 圆杆表面上的 A 点将移动到 A1 点,如图所示。已知 ∆s = AA1 = 3mm ,圆杆材料的弹性模 量 E = 210GPa ,试求泊松比ν (提示:各向同性材料的三个弹性常数 E、G、ν 间存在如 下关系: G =∩E 。 2(1 + ν )解:整根轴的扭矩均等于外力偶矩:T = M e = 6kN ⋅ m 。 设 O,O1 两截面之间的相对对转角为 ϕ ,则 ∆s = ϕ ⋅d , 2中,ϕ=2 ⋅ ∆s T ⋅ l 2 ∆s ,ϕ = = d GI P d式Ip =1 1 πd 4 = × 3.14159 × 50 4 = 613592(mm 4 ) 32 323-8G=T ⋅ l ⋅ d 6 × 10 6 N ⋅ mm × 1000mm × 50mm = = 81487.372MPa = 81.4874GPa 2 I p ∆s 2 × 613592mm 4 × 3mm E E 210 得:ν = −1 = − 1 = 0.289 2(1 + ν ) 2G 2 × 81.4874由G =[习题 3-10] 长度相等的两根受扭圆轴,一为空心圆轴,一为实心圆轴,两者的材料相同, 受力情况也一样。实心轴直径为 d;空心轴的外径为 D,内径为 d0,且d0 = 0.8 。试求当 D空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力( τ max= [τ ] ) ,扭矩 T 相等时的重量 比和刚度比。 解: (1)求空心圆轴的最大切应力,并求 D。τ max =T Wp 1 πD 3 (1 − α 4 ) ,故: 163式中, W p =τ max,空 =16T 27.1T = = [τ ] 4 πD (1 − 0.8 ) πD 33-10D3 =27.1T π [τ ](1)求实心圆轴的最大切应力14 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.comτ max = T 1 16T 16T ,式中, W p = πd 3 ,故:τ max,实 = 3 = 3 = [τ ] Wp 16 πd πdd3 =16T D 3 27.1T π [τ ] D ,( ) = ⋅ = 1.69375 , = 1.192 π [τ ] π [τ ] 16T d d(3)求空心圆轴与实心圆轴的重量比W空 0.25π ( D 2 − d 02 ) ⋅ l ⋅ γ D D = ( ) 2 (1 − 0.8 2 ) = 0.36( ) 2 = 0.36 × 1.192 2 = 0.512 = 2 d d W实 0.25πd ⋅ l ⋅ γ(4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比I p空 = GI p空 GI p实1 1 πD 4 (1 − 0.8 4 ) = 0.01845πD 4 , I p实 = πd 4 = 0.03125πd 4 32 32 = D 0.01845πD 4 = 0.5904( ) 4 = 0.5904 × 1.192 4 = 1.192 4 d 0.03125πd[习题 3-11] 全长为 l ,两端面直径分别为 d 1 , d 2 的圆台形杆,在两端各承受一外力偶矩 M e ,如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。 解:如图所示,取微元体 dx ,则其两端面之间的扭转角为:dϕ =M e dx GI P 1 πd 4 32式中, I p =r − r1 x = r2 − r1 l r= r2 − r1 d − d1 d ⋅ x + r1 = 2 x+ 1 l 2l 2 d 2 − d1 x + d1 ld = 2r =d4 = ( du =故d 2 − d1 x + d1 ) 4 = u 4 ld 2 − d1 l dx , dx = du l d 2 − d1:ϕ=∫l0M e dx M e = GI p G∫l0dx M e = Ip G∫32dx 32M e = 0 πd 4 πGl∫ul 014⋅l du 32 M e l l du = ∫0 u 4 d 2 − d1 πG (d 2 − d1 )15 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com l du 32 M e l 32M e l 32 M e l 1 1 [− 3 ]l0 = − = = 3 ∫0 u 4 πG(d 2 − d1 ) 3u d − d 3πG (d 2 − d 1 ) πG (d 2 − d 1 ) 1 2 x + d1 l 0 =−2 d 3 − d 3 32M e l d 12 + d 1 d 2 + d 2 1 32M e l 32 M e l 1 ⋅ 1 3 32 = ⋅ 3 − 3 = 3 3πG (d 2 − d 1 ) d 2 d 1 3πG (d 1 − d 2 ) d1 d 2 3πG d 13 d 2 l [习题 3-12] 已知实心圆轴的转速 n = 300r / min ,传递的功率 p = 330kW ,轴材料的许用 切应力 [τ ] = 60MPa ,切变模量 G = 80GPa 。若要求在 2m 长度的相对扭转角不超过 1 ,o试求该轴的直径。 解: ϕ =T ⋅ l M el π = ≤ 1× GI P GI p 180 Nk 1 330 = 9.549 × = 10.504(kN ⋅ m) ; I p = πd 4 。故: n 300 32式中, M e = 9.549Ip ≥180M e l 180M e l 1 , π ⋅d4 ≥ πG πG 32 32 × 180M e l 4 32 × 180 × 10.504 × 10 6 N ⋅ mm × 2000mm = = 111.292mm π 2G 3.14 2 × 80000N / mm 2d ≥4取 d = 111.3mm 。 [习题 3-16] 一端固定的圆截面杆 AB,承受集度为 m 的均布外 力偶作用,如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切 变模量为 G。 解: dVε =T 2 ( x)dx = 2GI p16m 2 x 2 dx m 2 x 2 dx = 1 πd 4 G 2 ⋅ G ⋅ πd 4 32 m2l 3 m 2l 3 = 1 6GI p 6 ⋅ πd 4 G 323-16Vε =16m 2 l 2 16m 2 l 3 x dx = = πd 4 G ∫0 3πd 4 G[习题 3-18] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力 F 如图,簧丝直径 d = 10 mm ,材料的许 用切应力 [τ ] = 500MPa ,切变模量为 G,弹簧的有效圈数为 n 。试求: (1)弹簧的许可切应力;16 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com(2)证明弹簧的伸长 ∆ = 解:(1)求弹簧的许可应力 用截面法,以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离 体。由平衡条件可知,在簧杆横截面上: 剪力 Q = F 扭矩 T = FR 最大扭矩: Tmax = FR 216 Fn 2 ( R1 + R2 )( R 2 + R2 ) 。 1 Gd 4τ max = τ ' + τ
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com[习题 3-19] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶 M e = 3kN ⋅ m 。已知材料的切变模量G = 80GPa ,试求:(1) 杆内最大切应力的大小、位置和方向; (2) 横截面短边中点处的切应力; (3) 杆的单位长度扭转角。解:(1)求杆内最大切应力的大小、位置和方向,,,由表得,,长边中点处的切应力,在上面,由外指向里 (2)计算横截面短边中点处的切应力MPa短边中点处的切应力,在前面由上往上 (3)求单位长度的转角单位长度的转角 [习题 3-23] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面,其壁厚及管壁中线的周长均相同。 两杆的长度和材料也相同,当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时,试求: (1) 最大切应力之比; (2) 相对扭转角之比。 解:(1)求最大切应力之比18 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com开口: τ max, 开口 =M eδ It依题意: 2πr0 = 4 a ,故:It = It =1 2 × 2πr0 × δ 3 = πr0 δ 3 3 31 2 4a 3 × 2πr0 × δ 3 = πr0δ 3 = δ 3 3 3 M eδ 3M e 3 = M eδ = 3 It 4aδ 4aδ 2 τ Me M 3M e 2a 2δ 3a = 2e , max,开口 = ⋅ = 2 A0δ 2a δ τ max,闭口 4 aδ 2 M e 2δτ max,开口 =闭口: τ max,闭口 =(3) 求相对扭转角之比 开口: I t =M 3M e 1 2 4a 3 T ' × 2πr0 × δ 3 = πr0δ 3 = δ , ϕ 开口 = = e = 3 3 3 GI t GI t 4Gaδ 3 M es M ⋅ 4a Me Ts = = e 4 = 2 2 4GA0 δ 4GA0 δ 4Ga δ Ga 3δ闭口: ϕ闭口 =' ' ϕ 开口 ' ϕ闭口=3M e Ga 3δ 3a 2 ⋅ = 4Gaδ 3 M e 4δ 24-1 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩 a(5)=h(4)q0 × 2a = q0 a 2 1 q 3 FS 1−1 = q0 a − × 0 a = q0 a 2 2 4 1 1 a 11 M1−1 = q0 a − q0 × a × × = q0 a 2 2 3 12 1 1 4 FS 2− 2 = 0, M 2 −2 = q0 a × 2a − q0 × 2a × × 2a = q0 a 2 2 3 3 FRA = FRB =b(5)=f(4)19 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图 a(5)=a(4)b(5)=b(4)f(5)=f(4)20 力学园 www.cnmecha.com
4-3试利用载荷集度,剪力和弯矩间的微分关系做下列各弯图和剪力e和
f
题)
(e) (f) (h)
4-4试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。
4-4 (b) 4-5 (b)
4-5.根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪处,并改正。 4-6.已知简支梁的剪力图如图所示,试做梁的弯矩图和五集
中力偶
作用。
4-6(a) 4-7(a)
4-7.根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。 4-8用叠加法做梁的弯矩图。
4-8(b) 4-8(c)
4-9.选择合适的方法,做弯矩图和
剪力图。
4-9(b) 4-9(c)
4-10
4-14.长度l=2m的均匀圆木,欲锯做Fa=0.6m的一段,为使锯口处两端面开裂最小,硬是锯口处弯矩为零,现将圆木放在两只锯木架上,一只锯木架放在圆木一段,试求另一只锯木架
应放位置。
x=0.4615m
4-18
4-19M=30KN
4-21
4-23
4-25
4-28
4-29
4-33
4-36
4-35
5-2
31
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32
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5-3
33
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34
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5-7
35
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5-15
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5-22
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5-23 选22a
工字钢 5-24
38
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6-4
39
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6-12
40
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诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com41 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com7-3-55mpa。-55mpa 7-4[习题 7-3] 一拉杆由两段沿 m − n 面胶合而成。由于实用的原因,图中的 α 角限于 ,对胶合缝作强度计算时,可以把其上的正应力和切应 0 ~ 60 0 范围内。作为“假定计算” 力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力 [τ ] 为许用拉应力 [σ ] 的 3 / 4 ,且 这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载 F,试问 α 角的值应取多 大? 解: σ x =F ; σ y = 0 ;τ x = 0 A42 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.comσα = σα = σ x +σ y 2 + σ x −σ y 2 cos 2α − τ x sin 2αF F F 1 + cos 2α + cos 2α = ≤ [σ ] 2A 2A A 2 F 1 + cos 2α F ≤ [σ ] , cos 2 α ≤ [σ ] A 2 A [σ ] A [σ ] A , Fmax, N = F≤ 2 cos α cos 2 α σ x −σ y 2 sin 2α + τ x cos 2ατα = τα =F 3 1.5[σ ] A 1.5[σ ] A sin 2α ≤ [τ ] = [σ ] , F ≤ , Fmax, T = 2A 4 sin 2α sin 2α0.9 1.000 47.754 10 1.031 4.386 20 1.132 2.334 30 1.333 1.732 36.8833 1.563 1.562 40 1.704 1.523 50 2.420 1.523 60 4.000 1.732α ( 0) Fmax, N ( [σ ] A ) Fmax,T ( [σ ] A )最大荷载随角度变化曲线 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0.000 0 10 20 30 Fmax,N 40 Fmax,T 50 60 斜面倾角(度) Fmax,N,Fmax,T由以上曲线可知,两曲线交点以左,由正应力强度条件控制最大荷载;交点以右,由切应力 强度条件控制最大荷载。由图中可以看出,当 α = 60 0 时,杆能承受最大荷载,该荷载为:Fmax = 1.732[σ ] A7-6[习题 7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 0.72m 的截面上,在顶面 以下 40mm 的一点处的最大及最小主应力,并求最大主应力与 x 轴之间的夹角。43 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com解: (1)求计算点的正应力与切应力σ =My 12 My 12 × 10 × 0.72 × 10 6 N ⋅ mm × 40mm = = = 10.55MPa Iz bh 3 80 × 160 3 mm 4* QS z − 10 × 10 3 N × (80 × 40) × 60mm 3 = = −0.88MPa 1 I zb 3 4 × 80 × 160 mm × 80mm 12τ =(2)写出坐标面应力 X(10.55,-0.88) Y(0,0.88) (3) 作应力圆求最大与最小主应力, 并求最大主应力与 x 轴的夹角 作应力圆如图所示。从图中按 比例尺量得:σ 1 = 10.66MPa σ 3 = −0.06MPa α 0 = 4.75 07-7[习题 7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求: (1)指定截面上的应力; (2)主应力的数值; (3)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 [习题 7-8(a)] 解:坐标面应力:X(20,0) ;Y(-40,0) α = 60 0 。根据以上数据作出如图所示的应 力圆。图中比例尺为 1cm 代表 10 MPa 。按比例尺量得斜面的应力为:σ 1200 = −25MPa , τ 1200 = 26MPa ; σ 1 = 20 MPa , σ 3 = −40MPa ; α 0 = 0 0 。44 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.comσ3σ1单元体图 [习题 7-8(b)]应力圆(O.Mohr 圆)主单元体图解:坐标面应力:X(0,30) ;Y(0,-30) α = 30 。根据以上数据作出如图所示的应力0圆。图中比例尺为1cm 代表 10MPa 。按比例尺量得斜面的应力为:σ 600 = −26 MPa , τ 60 0 = 15MPa ; σ 1 = 30 MPa , σ 3 = −30MPa ; α 0 = −45 0 。单元体图 [习题 7-8(c)]应力圆(O.Mohr 圆)主单元体图解:坐标面应力:X(-50,0) ;Y(-50,0) α = 30 0 。根据以上数据作出如图所示的应力 圆。图中比例尺为1cm 代表 20 MPa 。按比例尺量得斜面的应力为:σ 600 = −50 MPa , τ 600 = 0 ; σ 2 = −50 MPa , σ 3 = −50MPa 。σ3σ2单元体图应力圆(O.Mohr 圆)45 力学园 www.cnmecha.com主单元体图
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com[习题 7-8(d)] 解:坐标面应力:X(0,-50) ;Y(-20,50) α = 0 。根据以上数据作出如图所示的应力0圆。图中比例尺为1cm 代表 20 MPa 。按比例尺量得斜面的应力为:σ 450 = 40 MPa , 450 = 10 ;σ 1 = 41MPa , σ 2 = 0 MPa , 3 = −61MPa ;α 0 = 39 0 35 ' 。 τ σ单元体图 应力圆(O.Mohr 圆) 主单元体图 [习题 7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该 点处的主应力值和主平面方位,并求出两截面间的夹角 α 值。平面应力状态下的两斜面应力 解:两斜面上的坐标面应力为: A(38,28) ,B(114,-48) 由以上上两点作出的直线 AB 是应力圆上的一条弦, 如图所示。作 AB 的垂直平分线交水平坐标轴于 C 点,则 C 为应力圆的圆心。设圆心坐标为 C( x,0 ) 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质,可列以下方程:应力圆( x − 38) 2 + (0 − 28) 2 = ( x − 114) 2 + (0 + 48) 2解以上方程得: x = 86 。即圆心坐标为 C(86,0) 应力圆的半径:r = (86 − 38) 2 + (0 − 28) 2 = 55.57046 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com主应力为:σ 1 = x + r = 86 + 55.57 = 141.57 MPa σ 2 = x − r = 86 − 55.57 = 30.43MPa σ3 = 0(2)主方向角(上斜面 A 与中间主应力平面之间的夹角) (上斜面 A 与最大主应力平面之间的夹角) (3)两截面间夹角:[习题 7-14] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。 [习题 7-15(a)] 解:坐标面应力:X(70,-40) ,Y(30,-40) ,Z(50,0)单元体图应力圆由 XY 平面内应力值作 a、b 点,连接 a、b 交 应力圆半径:轴得圆心 C(50,0)47 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com[习题 7-15(b)] 解:坐标面应力:X(60,40) ,Y(50,0) ,Z(0,-40)单元体图 由 XZ 平面内应力作 a、b 点,连接 a、b 交 应力圆半径:应力圆 轴于 C 点,OC=30,故应力圆圆心 C(30,0)[习题 7-15(c)] 解:坐标面应力:X(-80,0) ,Y(0,-50) ,Z(0,50)48 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com单元体图应力圆由 YZ 平面内应力值作 a、b 点,圆心为 O,半径为 50,作应力圆得[习题 7-19] D=120mm,d=80mm 的空心圆轴,两端承受一对扭转力偶矩 在轴的中部表面 A 点处, 测得与其母线成 的弹性常数 , 方向的线应变为 。,如图所示。 。 已知材料,试求扭转力偶矩解:方向如图49 力学园 www.cnmecha.com
诚邀您加入力学园 www.cnmecha.com[习题 7-20] 在受集中力偶 M e 作用矩形截面简支梁中, 测得中性层上 k 点处沿 45 方向的 线应变为 ε 450 。已知材料的弹性常数 E ,ν 和梁的横截面及长度尺寸 b, h, a, d , l 。试求集中力 偶矩 M e 。0解:支座反力:RA =Me Me (↑); RB = (↓) l lK 截面的弯矩与剪力:M k = RA a =aM e Me ; Qk = R A = l lK 点的正应力与切应力:σ = 0 ; τ = 1.5 ⋅Qk 3M e = A 2 Al故坐标面应力为:X( τ ,0),Y(0,- τ )σ1 =σz +σ y 2+3M e 1 (σ x − σ y ) 2 + 4τ x2 = τ = 2 2 Alσ2 = 0 σ3 = σ z +σ y 2 − 3M e 1 2 (σ x − σ y ) 2 + 4τ x = −τ = − 2 2 Al50 力学园 www.cnmecha.com