高二期中考试
西乡一中高二数学期中考试(理科)试卷
总分:150分 考试时间:120分钟 命题人:熊有刚
(第Ⅰ卷)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1、下列结论中正确的是( ) A、导数为零的点一定是极值点
B、如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值 C、如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极小值 D、如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值
x
2、因指数函数ya是增函数(大前提),而y()是指数函数(小前提), 所以y()
1
3
x
13
x
是增函数(结论)”,上面推理的错误是 ( ) A、大前提错导致结论错 B、小前提错导致结论错 C、推理形式错导致结论错 D、大前提和小前提都错导致结论错 3、若ax2dx,bx3dx,c
2
2
20
sinxdx,则a、b、c大小关系是( )
A、acb B、abc C、cba D、cab 4、函数f(x)x33x1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A、 1,−1 B、1, −17 C、 3, −17 D、9, −19 5、若f(x0)2,则lim
k0
f(x0k)f(x0)
( )
2k
1 2
A.-1 B.-2 C.1 D.
6、函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在
(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在
开区间(a,b)内有极小值点( )
A、 1个 B、2个 C、3个 D、4个
7、直线yx与抛物线yx2所围成的图形面积等于( ) A、1 B、
512 C、 D、 663
8、函数yx2ex的单调递减区间是( )
A、(–1, 2) B、(–∞, –1)与(1, +∞) C、(–∞, –2)与(0, +∞) D、(–2,0)
9、已知f(x)是定义在R上偶函数且连续,当x0时,f'(x)0,若f(lg(x))f(1),,则x的取 值范围是 ( )
11
,1) B、(0,)(1,) 10101
C、(,10) D、(0,1)(10,)
10
A、(
10、某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“×××××××0000” 到
“×××××××9999”共10000个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A、2000 B、4096 C、5904 D、8320
11、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f(x)g(x)f(x)g(x)>0,且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是( ) A、(-3,0)∪(3,+∞) B、(-3,0)∪(0, 3) C、(-∞,-3)∪(3,+∞) D、(-∞,-3)∪(0, 3) 12、设0
1x
,则下列大小关系式成立的是( ) x
abab
)
C、f (ab)
22
(第Ⅱ卷)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分 ab11
13、定义运算adbc,若复数z满足2,其中i为虚数单位,则复数
cdzzi
z .
14、曲线y=x3x在点(1,0)处的切线方程的一般式是____. 15、已知f(x)为一次函数,且f(x)x2
10
f(t)dt,则f(x)=___ ____.
16、某市区对口支援西部贫困山区教育,市区5名教师到山区3所学校支援,每校
至少一人,则有 种支教方案.
三、解答题:(本大题共6小题,共74分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题12分) 设复数Z满足 |Z|1 , 且(34i)Z是纯虚数,求复数Z. 18、(本小题12分)
2 已知yf(x)是二次函数,方程f(x)0有两相等实根,且f(x)2x
(Ⅰ)求f(x)的解析式.
(Ⅱ)求函数yf(x)与函数yx24x1所围成的图形的面积.
19、(本小题12分)
某厂生产某种产品x件的总成本c(x)1200
23
x(万元),已知产品单价的平方与产 75
品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为多少时总利润最大? 20、(本小题12分) 设函数f(x)=
1x
lnx在[1,+∞)上为增函数. ax
(1)求正实数a的取值范围; (2)比较
1n与ln(nN*,n2)的大小,说明理由; nn1
1111
lnn(n∈N*, n≥2). 234n
3
(3)求证:
21、(本小题12分)
设函数f(x)x6x5,xR (1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)若关于x的方程f(x)a有3个不同实根,求实数a的取值范围. (3)已知当x(1,)时,f(x)k(x1)恒成立,求实数k的取值范围. 22、(本小题满分14分)
已知函数f(x)l(x0),函数g(x)
1
afx()x(f(x)
0)
⑴当x0时,求函数yg(x)的表达式;
⑵若a0,函数yg(x)在(0,)上的最小值是2 ,求a的值; ⑶在⑵的条件下,求直线y
27
x与函数yg(x)的图象所围成图形的面积. 36
高二数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分
1-5 B A D B A 6-10 ACDCC 11—12 DD 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分 13、 1-i
14、 2x-y-2=0 15、f(x)=x-1 16、150
三、解答题:本大题共6小题,共74分
17、解:设zabi,(a,bR),由z
1
1;„„„4分
(34i)z(34i)(abi)3a4b(4a3b)i是纯虚数,则3a4b0
a4
a413a4b0
5,或5b35b35, „„„„ 10分 z
4535i,或453
5
i„„„„ 12分
18、解:解:(Ⅰ)设f(x)ax2
bxc.(a0).
b24ac0
2axb2x2
得:a1,b2,c1
f(x)x22x1 „„„„„5分
(Ⅱ)由题yx2
2x1
yx4x1
x3或x0 2
S03[(x24x1)(x22x1)]dx(2
3
x33x2)|03=9 „„ 12分 19、解:设产品的单价P元,据已知,P2
kx
,x100,P50,k250000,
„„6分
P2
500250000
,P,x0设利润为y万元,则 „„„„„„4分 xx
y
50022
„„„„„8分 x1200x3xx31200,
7575x
5
5225x
25022,
yxx25,y0,
25xx25
x(0,25),y0,y递增;x(25,),y0,y递减, „„„„„10分
x25,y极大=y最大.
„„„„„„12分
答:当产量为25万件时,总利润最大 20、、解:(1)由已知:f(x) =
ax1ax1
,依题意得:≥0对x∈[1,+∞)恒成立 a0
ax2ax2
∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立 ∴a-1≥0即:a≥1 „„„6分 (2)∵a=1 ∴由(1)知:f(x)=
1
1x
lnx在[1,+∞)上为增函数,„8分 x
n
nnn1
∴n≥2时:f()=lnlnf10 „„„10分
n1n1n1nn1
即:
1111231n
,∴llln
nn1234n12n
nl„„„n12分 n1
21、解:(Ⅰ)f(x)3(x22),令f(x)0,得x12,x2
∴当x2或x
2
2时f(x)0,当2x2时,f(x)0,
∴f(x)的单调递增区间是(,2)及(2,),单调递减区间是(2,2) 当x2,f(x)有极大值542;当x
2,f(x)有极小值542 „4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)的分析可知yf(x)图象的大致形状及走向(图略)
∴当542a542时,直线ya与yf(x)的图象有3个不同交点,
P2500250000,P,x0设利润为y万元,则 „„„„„„4分 xx
y50022„„„„„8分 x1200x3xx31200,7575x
55225x25022,yxx25,y0, 25xx25
x(0,25),y0,y递增;x(25,),y0,y递减, „„„„„10分 x25,y极大=y最大.
„„„„„„12分 答:当产量为25万件时,总利润最大
20、、解:(1)由已知:f(x) =ax1ax1,依题意得:≥0对x∈[1,+∞)恒成立 a0ax2ax2
∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立 ∴a-1≥0即:a≥1 „„„6分
(2)∵a=1 ∴由(1)知:f(x)=
11xlnx在[1,+∞)上为增函数,„8分 xn
nnn1 ∴n≥2时:f()=lnlnf10 „„„10分 n1n1n1n
n1
即:1111231n,∴lllnnn1234n12nnl„„„n12分 n1
21、解:(Ⅰ)f(x)3(x22),令f(x)0,得x12,x2
∴当x2或x2 2时f(x)0,当2x2时,f(x)0,
∴f(x)的单调递增区间是(,2)及(2,),单调递减区间是(2,2) 当x2,f(x)有极大值542;当x2,f(x)有极小值542 „4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)的分析可知yf(x)图象的大致形状及走向(图略) ∴当542a542时,直线ya与yf(x)的图象有3个不同交点,
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即方程f(x)有三解 „„„„„„8 (Ⅲ)f(x)k(x1)即(x1)(x2x5)k(x1)
∵x1,kx2x5在(1,)上恒成立
令g(x)x2x5,由二次函数的性质,g(x)在(1,)上是增函数,
∴g(x)g(1)3,∴所求k的取值范围是k3
22.解:⑴∵f(x)lnx, „„„„„„12
∴当x0时,f(x)lnx; 当x0时,f(x)ln(x)
111(1). ; 当x0时,f(x)xxx
a∴当x0时,函数yg(x)x. „„„4分 x
a⑵∵由⑴知当x0时,g(x)x, x∴当x0时,f(x)
∴当a0,x0时
, g(x)≥
x.
∴函数yg(x)在(0,
)上的最小值是
∴依题意得2∴a1. „„„8分 273yxxx212236,⑶由解得5 „„„„10分 131y2yxy216x ∴直线y
227x与函数yg(x)的图象所围成图形的面积 367712S3(x)(x)dx=ln3 „„„„14分 246x23
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