三角函数例题

α

所在的象限是( C ) 2

(A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限 例3. 已知角α的终边经过P(4,-3), 求2sin α+cosα的值. D

342

例3. 由定义 ：r =5,sin α=-,cos α=, ∴2sin α+cosα=-

555

θθθ

例4. 若θ是第三象限角, 且cos =-cos , 则是( )

222

(A ) 第一象限角 (B ) 第二象限角 (C ) 第三象限角 (D ) 第四象限角

θππθ3π

例4.B 解：∵(2k +1) π

22224

θθθθθ例2. 已知α为第三象限角, 则

第四象限角, 又∵cos =-cos , ∴cos

22222

例5. 若cos θ>0, 且sin 2θ

必为第二象限角

7已知tanα，tanβ

是方程x 2++4=0两根，且α，β∈(-, (A)-π (B)-π或

2

3

23

ππ2π (C)-或π (D)

3333

ππ

则α+β等于( A ) ) ，22

π3π717

例9. 设α∈(0, ) , 若sin α=, 则2cos(α+) =（ C ）(A) (B) (C) (D)4

254552

11

例10. sin163 sin 223 +sin 253 sin313 = ( B ) (A ) -(B ) (C )

(D 2222

1+tan 75

例11. 求下列各式的值：⑴ ; ⑵tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒

1-tan 75

tan 45 +tan 75

例11. 解：⑴原式==tan(45 +75 ) =tan 120 =-3;

1-tan 45tan 75tan 17 +tan 28

⑵∵tan( , ∴tan17︒+tan28︒=tan(17︒+28︒)(1-tan17︒tan28︒)=1- 17+28) =

1-tan 17tan 28

tan17︒tan28︒∴原式=1- tan17︒tan28︒+ tan17︒tan28︒=1

1sin 2αcos α-sin α

例12. 已知α为锐角，且tan α=，求的值.

2sin 2αcos2α

sin 2αcos α-sin αsin α(2cos2α-1) 11例12. 解：∵tan α=, α为锐角,

∴cos α=

==2sin 2αcos2α2sin αcos αcos2α2cos αsin(α+)

例13. 已知α为第二象限角，且 sinα=的值. , 求4sin 2α+cos 2α+1

(sinα+cos α)

例13. 解：=

sin 2α+cos 2α+12sin αcos α+2cos 2α

sin(α+

)

π

π

=

(sinα+cos α)

. 当α为第二象限角，

4cos α(sinα+cos α)

π

sin(α+) 124且sin α=时，sin α+cos α≠0, cos α=-，所以==-2.

4cos α44sin 2α+cos 2α+1

sin 2a -cos 2α1

例14. 已知+α) =，（1）求tan α的值；（2）求1+cos 2α42

π

例14. 解（1）：由π+α) =

4

tan

π

+tan α

1-tan

4

=tan α

1+tan α1，解得tan α=-1

=

31-tan α2

sin 2α-cos 2α2sin αcos α-cos 2α2sin α-cos α1115

（2）===tan α-=--=- 2

1+cos 2α1+2cos α-12cos α2326

sin α-4cos α

例15. 已知sin α=2cos α, ⑴求的值; ⑵求sin 2α+2sin αcos α的值.

5sin α+2cos α

sin α-4cos αtan α-4-21

例15. 解： sin α=2cos α, ∴tan α=2∴⑴===-

5sin α+2cos α5tan α+2126

22

⑵sin 2α+2sin αcos α=sin α+2sin αcos α=tan α+2tan α=4+2=6

222

sin α+cos αtan α+14+15

例16. 已知sin α-cos α=-

5

，求sin αcos α的值. 4

35

5

, 求13

例16. 解:∵(sinα-cos α) 2=25∴1-2sin αcos α=25, ∴sin αcos α=-9

163216

例17. 已知锐角α, β满足cos α=,cos(α+β)=-

例17. 解：∵cos α=, ∴sin α=

3

5

cos β.

4512, 又∵cos(α+β)=-

5312433

∴cos β=cos[(α+β) -α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-⋅+⋅=（角变换技巧）

13513565

π11

372

tan 2α+tan β2tan α3

例18. 解： ,∴

1-tan 2αtan β1-tan α4

π7π

∴3π

242

53

例19. 在△ABC 中，已知cosA =，sinB =，则cosC 的值为( )

513

1656165616(A) (B) (C)或 (D)-

6565656565

123

例19. 解：∵C = π - (A + B) ,∴cosC = - cos(A + B) 又∵A ∈(0, π), ∴sinA = 而sinB =,

513

4

显然sinA > sinB ∴A > B,即B 必为锐角 , ∴ cosB = , ∴cosC = - cos(A + B) = sinAsinB -

5

例18. 已知

cosAcosB =12⨯3-5⨯4=16

例20. 若关于x 的方程2cos 2(π + x ) - sinx + a = 0 有实根，求实数a 的取值范围。

例20. 解：原方程变形为：2cos 2x - sinx + a = 0 即 2 - 2sin2x - sinx + a = 0, ∴a =2sin 2x +sin x -2=2(sinx +1) 2-17, ∵- 1≤sin x ≤1 ,

4

8

13513565

∴当sin x =-时，a min =-

1

41717

a max =1, ∴a 的取值范围是[-, 1] ； 当sin x =1时，

88

例21. 下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B ) (A)y =lgx 2 (B)y =|sinx | (C)y =cosx (D)y=2sin 2x

π

例23. 函数y =2-2x )(x ∈[0, π])为增函数的区间是( C )

6

ππ7ππ5π5π

(A)[0, ] (B)[, ](C) [, ] (D)[, π]

31212366

ππ2

例24．函数y =2cos(x -)(≤x ≤π) 的最小值是（ D ）

363

(A ) -

2 (B ) (C ) -1 (D )1

π

例25. 为了得到函数y =sin(2x -) 的图象，可以将函数y =cos 2x 的图象（ B ）

6

ππ

(A)向右平移个单位长度 (B)向右平移个单位长度

63ππ

(C)向左平移个单位长度 (D)向左平移个单位长度

63

例26. 若函数f (x ) =sin(ωx +ϕ) 的图象（部分）如图所示，则ω和ϕ的取值是( C )

ππ1π1π

(A)ω=1, ϕ= (B)ω=1, ϕ=- (C)ω=, ϕ= (D)ω=, ϕ=-

332626

π

2

例28．将函数y =sin x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，

π

再把所得图象上所有点向左平移个单位，所得图象的解析式是

3

x π

__________y =sin(+) ________.

26

例27. 函数f (x ) =cos 2x -23sin x cos x 的最小正周期是___π__.

π

例29.

函数y =sin x x 在区间[0, ]的最小值为___1___.

2

31

例30. 函数f (x ) =cos x -cos 2x (x ∈R ) 的最大值等于

42例33. 已知f(x)=5sinxcosx-5cos 2x+

5

（x ∈R ） 2

⑴求f (x ) 的最小正周期；⑵求f (x ) 单调区间； ⑶求f (x ) 图象的对称轴，对称中心。

π5511，k π+π]，减区间[kπ+π, k π+π] 12121212

k ππk 5

（3）对称中心（，对称轴x =π+π，k ∈Z +，0）

21226

例33. （1）T=π（2）增区间[kπ-

π5ππ⎤

31. 已知x ∈⎡，求函数0, y =cos(-x ) -+x ) 的值域 ⎢⎥

⎣2⎦

1212

π5ππ例例31. 解：

y =cos(-x ) -cos(+x ) =-x ) , ∵x ∈⎡0, π⎤, ∴-π≤π-x ≤π,

⎢⎥

12

12

3

⎣2⎦

633

∴cos(π-x ) ∈⎡1,1⎤ ,∴函数y

的值域是 ⎢⎥

3

⎣2⎦

⎣

第01讲 任意角的三角函数

（二）基础强化训练：

1．（2007全国Ⅱ理）sin2100 =（ ）(A)

2. （2007湖北文）tan690°的值为（ ）A. -33

B. C. D. 33

11 (B) - (C) (D) - 2222

3. (2001全国理) 若sin θcos θ>0，则θ在( )

（A ）第一、二象限 （B ）第一、三象限 （C ）第一、四象限 （D ）第二、四象限 4．下列各式不正确的是（ ）

π⎛π⎫

（A ）sin α=cos(α-) B ）sin +α⎪=cos α

2⎝2⎭

（C ）tan(π+α) +tan(π-α) =0 （D ）cos α+cos(-α)=0

5

5. 已知α是第二象限角，且tan α=-, 则cos α=（ ）

12

121255

（A ） （B ）- （C ） （D ）-

13131313

6. 已知角α的终边经过点P(3, -4) ，则sin α=_____ , cosα=______ , tanα=______. 7

．已知sin α=

π

，≤α≤π，则tan α= 52

43ππ

8. 已知cos(2π-α) =

52243π

9. 已知 sin α-cos α= ，且π α ，求sin α和cos α的值.

52

sin α+10cos α

10．已知tan α=2, 求下列各式的值：（1） ；（2）

2sin α-cos α

3sin 2α-sin αcos α.

第02讲 三角恒等变换

（二）基础强化训练：

11

1． cos 73o sin 47o -cos 163o sin 43o = ( ) A.- B.

C.

D.

22

2．（2007陕西文、理）已知sin α=

3

5

15

15

5

, 则sin 4α-cos 4α的值为（ ） 5

（A ）- （B ）- （C ） （D ）

35

π⎫⎛2π⎫⎛π⎫1⎛

3．若cos -α⎪=，则si n α+⎪=________; cos +2α⎪=_____________.

3⎭⎝3⎭⎝6⎭2⎝

π

4. (2008上海理) 函数f (x ) ＝3sin x +sin(2x ) 的最大值是α⎛π⎫

5. （2005北京理）已知tan =2，则tanα的值为tan -α⎪的值

2⎝4⎭

为 .

11

6．已知： sin α－sin β=-，,cos α－cos β=，则cos(α－β) ＝ ．

22

sin 7°+cos15°sin8°

7．（1997年高考）求的值.

cos 7°-sin15°sin8°

sin 2α-cos α

8．已知-α) =-2. (I)求tan α的值； (II)求的值。 2

4sin α+1

π⎫2π⎫⎛⎛5π⎫⎛

, x ∈ π, ⎪， 求cos 2x -⎪的值. 9． 已知sin x -⎪=

4⎭104⎭4⎭⎝⎝⎝

π

2

第03讲 三角函数的图象与性质

例1. （2007山东理）函数y =sin(2x +) +cos(2x +) 的最小正周期和最大值分

63

别为（ ）

（A ）π,1 （B ）

π（C ）2π,1 （D ）

2π

π⎫⎛

例2. (2008全国Ⅰ卷理) 为得到函数y =cos 2x +⎪的图像, 只需将函数y =sin 2x

3⎭⎝

的图像( )

A ．向左平移5π个长度单位 B ．向右平移5π个长度单位

12

6

ππ

12

C ．向左平移5π个长度单位 D ．向右平移5π个长度单位

6

x x x 例3．(2008陕西文)

已知函数f (x ) =2sin cos ．

442

（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期及最值；

π⎫⎛

（Ⅱ）令g (x ) =f x +⎪，判断函数g (x ) 的奇偶性，并说明理由．

3⎭⎝

π

例4. （2006山东文、理）已知函数f (x )=A sin 2(ωx +ϕ) (A >0,ω>0,0

2

y =f (x ) 的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ; （2）计算f (1)+f (2)+… +f (2 008).

（三）基础训练： 1．(2008福建理) 函数f (x )=cosx (x ∈R ) 的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′

(x ) 的图象， 则m 的值可以为（ ）

ππA. B. π C. －π D. － 22

π⎫π⎫⎛⎛

2．（2004广东）函数f （x ）＝sin 2 x +⎪－sin 2 x -⎪是 （ ）

4⎭4⎭⎝⎝

（A ）周期为π的偶函数 （B ）周期为π的奇函数 （C ）周期为2π的偶函数 （D ）周期为2π的奇函数 3. (2008海南、宁夏文) 函数f (x ) =cos 2x +2sin x 的最小值和最大值分别为（ ）

33

A. －3，1 B. －2，2 C. －3， D. －2，

22

4. （2005全国卷Ⅱ文、理）函数f (x ) =sin x +cos x 的最小正周期是( )

（A ）

ππ

（B ） （C ）π （D ）2π 42

)(

) 的最小正周期为，则该函数的

5. （2007福建理) 已知函数f(x)＝sin(

图象（

）

A . 关于点（，0）对称 B. 关于直线x ＝对称 C. 关于点（，0）对称 D. 关于直线x ＝对称

ππ

6. ( 2007广东文) 已知简谐运动f (x ) =2sin(x +ϕ)(|ϕ|

32

则该简谐运动的

最小正周期T 和初相ϕ分别为（ ）

⎛π⎫

7. （2006安徽文、理）将函数y =sin ωx (ω>0) 的图象按向量a = -,0⎪平移，

⎝6⎭

平移后的图象

如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）

A．y =sin(x +) B．y =sin(x -)

66

C ．y =sin(2x +) D．y =sin(2x -) 33

8. (2008广东理) 已知函数f (x ) =(sinx -cos x ) sin x , x ∈R ，则f (x ) 的最小正周期是____.

ππ

f (x ) =a sin(x +) +3sin(x -) 是偶函数，则a = . 9. （2006湖南文） 若

44

10. （2005上海文、理）函数f (x )=sin x +2sin x x ∈[0, 2π]的图像与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______ππ

ππ

11. （

2008北京文、理）已知函数f (x ) =sin 2ωx +ωx sin(ωx +)(ω 0) 的

2

最小正周期为π.

2π

（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f (x ) 在区间[0

，]上的取值范围.

3

π

12. (2008广东文、理) 已知函数f (x ) =A sin(x +ϕ)(A >0, 0

⎛π1⎫

其图像经过点M , ⎪. (1)求f (x ) 的解析式;

⎝32⎭

312⎛π⎫

(2)已知α, β∈ 0, ⎪, 且f (α) =, f (β) =, 求f (α-β) 的值.

513⎝2⎭

13. (2003全国文，天津理) 已知函数f (x ) =2sin x (sinx +cos x （Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期和最大值；

ππ⎤（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y =f (x ) 在区间⎡-, ⎥⎢

⎣22⎦

第04讲 解三角形及应用问题

（二）典型例题分析：

题型一：基本题型， 知三求三 例1：（1）（2005北京文）在△ABC 中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长为 ．

（2）(2008陕西文) △ABC

的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c

，若c =b =B =120 , 则a = ．

（3）在△ABC 中，a :b :c =3:5:7，则△ABC 的最大角是_________。

基础训练（一）：

1．ΔABC 中, a=2 , b=2, ∠A=30°, 则∠B 等于（ ）

A．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120° 2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 , ∠A=30° C．a=1,b=2,∠A=100° D ．b=c=1, ∠B=45° 3. 在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab ，则角C 为 （ ）

（A ）30o （B ）60o （C ）120o （D ）45o 或135o 4．（2006江苏）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ 5．（2006全国Ⅱ卷理）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，

BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ． 题型二：解三角形的综合应用：

例2. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14,

∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒ 求BC 的长.

基础训练（二）：

1. 在△ABC 中，bcosA=acosB，则△ABC 的形状是 （ ）

（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）等边三角形

2. (2008四川文) ∆ABC 的三内角A , B , C 的对边边长分别为a , b ,

c , 若

a =

, A =2B

, 则cos B =( )

（Ｂ）

（Ｃ）

（Ｄ） 3456

3. （2006上海春招） 在△ABC 中，已知BC =8, AC =5，三角形面积为12，则cos 2C =.

4. 在△ABC 中，三个内角成等差数列，相对应的三边成等比数列，判断这个三角形的形状，并证明你的结论。

5. (2007上海文、理) 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边．若

（Ａ）

a =2, C =

π，cos B =25，求△ABC 的面积S ．

254

6．(2008全国Ⅰ卷文) 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a cos B =3，b sin A =4． （Ⅰ）求边长a ； （Ⅱ）若△ABC 的面积S =10，求△ABC 的周长l ．

参考答案

第03讲 三角函数的图象与性质

（二）典型例题分析：

例1. A 例2. A ．

x x ⎛x π⎫

例3．解：（Ⅰ） f (x

) =sin +=2sin +⎪．

22⎝23⎭

∴f (x ) 的最小正周期T =2π=4π．

12

⎛x π⎫⎛x π⎫

当sin +⎪=-1时, f (x ) 取得最小值-2；当sin +⎪=1时, f (x ) 取得最

⎝23⎭⎝23⎭

大值2．

π⎫⎛x π⎫⎛

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x ) =2sin +⎪．又g (x ) =f x +⎪．

3⎭⎝23⎭⎝

⎡1⎛π⎫π⎤x ⎛x π⎫

∴g (x ) =2sin ⎢ x +⎪+⎥=2sin +⎪=2cos ．

3⎭3⎦2⎝22⎭⎣2⎝

x ⎛x ⎫

g (-x ) =2cos -⎪=2cos =g (x ) ．

2⎝2⎭

∴函数g (x ) 是偶函数．

A A

例4. 解：（I ）y =A sin 2(ωx +ϕ) =-cos(2ωx +2ϕ).

22

A A

y =f (x ) 的最大值为2，A >0. ∴+=2, A =2.

22

12ππ

又 其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，∴() =2, ω=.

22ω4

∴f (x ) =

22ππ

-cos(x +2ϕ) =1-cos(x +2ϕ) . 2222

y =f (x ) 过(1,2) 点，∴cos(+2ϕ) =-1.

2

π

∴

∴ϕ=k π+

π

2

+2ϕ=2k π+π, k ∈Z , ∴2ϕ=2k π+, k ∈Z ,

π

2

, k ∈Z ,

π

4

又 0

（II ） ϕ=

π

2

, ∴ϕ=

π

4

.

，∴y =1-cos(x +) =1+sin x . 4222∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+1+0+1=4. 又 y =f (x ) 的周期为4，2008=4⨯502，

∴f (1)+f (2)+⋅⋅⋅+f (2008)=4⨯502=2008.

ππππ

（三）基础训练：

1．A. 2．B. 3. C. 4. C. 5. A . 6. A 7. C ．

8. __π__. 9. －3 . 10.

11. 解：

（Ⅰ）

1-cos 2ωx 11π1f (x ) =+

2ωx ωx -cos 2ωx +=sin(2ωx -) +.

22262

2π

因为函数f (x ) 的最小正周期为π, 且ω＞0，所以=π, 解得ω=1.

2ω

π1

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x ) =sin(2x -) +.

62

2π1π7π1π

因为0≤x ≤，所以-≤2x -≤. 所以-≤(2x -) ≤1.

326626

π133

因此0≤sin(2x -) +≤，即f (x ) 的取值范围为[0，]

6222

12. 解：(1)因为-1≤sin(x +ϕ) ≤1，又A>0，所以[f (x ) ]m ax =A =1，

π⎛π1⎫⎛π⎫1

因为，f(x)的图像经过点M , ⎪，所以f () =sin +ϕ⎪=

3⎝32⎭⎝3⎭2

ππ4ππ5ππ

由0

333362π⎫⎛

所以f (x ) =sin x +⎪=cos x

2⎭⎝

312312⎛π⎫

(2)由f (α) =, f (β) =, 得cos α=, cos β=, 又α, β∈ 0, ⎪,

513513⎝2⎭

所以sin α=-cos 2α= 所以

45, sin β=-cos 2β=, 513

3124556

f (α-β) =cos(α-β) =cos α⋅cos β+sin α⋅sin β=⨯+⨯=.

51351365

13. 解:(I)f (x ) =2sin 2x +2sin x cos x =1-cos 2x +sin 2x

πππ

=1+2(sin2x ⋅cos -cos 2x sin ) =1+2sin(2x -)

444

所以函数f (x ) 的最小正周期为π，最大值为1+2. (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知

故函数y =f (x ) 在区间[-

ππ

, ] 上的图象如图。 22

参

考答案

第04讲 解三角形及应用问题

（二）典型例题分析：

题型一：基本题型， 知三求三

例1：（1）2． （2 （3）__120°__。

基础训练（一）：

1． B ． 2．D ． 3.B. 4．46. 5．3．

题型二：解三角形的综合应用：

例2. 解：在△ABD 中，设BD=x , 则BA 2=BD 2+AD 2-2BD ⋅AD ⋅cos ∠BDA

即142=x 2+102-2⋅10x ⋅cos

60

整理得：x 2-10x -96=0

解之：x 1=16 x 2=-6（舍去）

由余弦定理：

基础训练（二）：

1. C. 2. Ｂ. 3. BC BD 16 ∴BC ==⋅sin 30 =82 sin ∠CDB sin ∠BCD sin 1357. 25

4. 解：△ABC 为等边三角形。

证明：由A ，B ，C 成等差数列，得A+C=2B，A+B+C=180O ，解得，B=60O ,

又三边a 、b 、c 成等比数列，所以b 2=ac,

由余弦定理，得b 2=a2+c2-2accos60O , 即ac=a2+c2-ac, (a-c)2=0,所以a=c， 所以，△ABC 为等边三角形。

435. 解： 由题意，得cos B =，B 为锐角，sin B =， 55

⎛3π⎫72sin A =sin(π-B -C ) =sin -B ⎪=， 10⎝4⎭

10111048由正弦定理得 c =，∴ S =ac sin B =⨯2⨯⨯=． 227577

6. 解：（1）由b sin A =4与a cos B =3两式相除，有：

4b sin A sin A b sin B b sin B ，又sin 2B +cos 2B =1 ==⋅=⋅=3a cos B a cos B b cos B cos B

34由a cos B =3知：cos B >0， 所以cos B =，sin B =， 55

3所以a =3，解得a =5． 5

（2）由S =114ac sin B =⨯5c ⨯=10，得到c =5． 225

5由余弦定理，得b

2=a 2+c 2-2ac cos B =25+25-2⨯5⨯5⨯3=20，解得：

b =

所以，△ABC 的周长

l =10+．