全等三角形证明经典40题(含答案)
1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 的长.
B D
解:延长AD 到E, 使AD=DE
∵D 是BC 中点
∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD ≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE 中
AB-BE <AE <AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD <4+2
1<AD <3
∴AD=2
2. 已知:BC=ED,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠
2
证明:连接BF 和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF 中,BF=EF
∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE。
在三角形ABF 和三角形AEF 中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2) 。
3. 已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G
CG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD
DE =DC
∠FDE =∠GDC (对顶角)
∴△EFD ≌△CGD
EF =CG
∠CGD =∠EFD
又,EF ∥AB
∴,∠EFD =∠1
∠1=∠2
∴∠CGD =∠2
∴△AGC 为等腰三角形,
AC =CG
又 EF =CG
∴EF =AC
4. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C
A
证明:延长AB 取点E ,使AE =AC ,连接DE
∵AD 平分∠BAC
∴∠EAD =∠CAD
∵AE =AC ,AD =AD
∴△AED ≌△ACD (SAS )
∴∠E =∠C
∵AC =AB+BD
∴AE =AB+BD
∵AE =AB+BE
∴BD =BE
∴∠BDE =∠E
∵∠ABC =∠E+∠BDE
∴∠ABC =2∠E
∴∠ABC =2∠C
5. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE
证明:
在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF
∵CE ⊥AB
∴∠CEB =∠CEF =90°
∵EB =EF ,CE =CE ,
∴△CEB ≌△CEF(SAS)
∴∠B =∠CFE
∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180°
∴∠D =∠CFA
∵AC 平分∠BAD
∴∠DAC =∠FAC
∵AC =AC
∴△ADC ≌△AFC (SAS )
∴AD =AF
∴AE =AF +FE =AD +BE
6. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC。
在BC 上截取BF=AB,连接EF
∵BE 平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE ≌⊿FBE (SAS )
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180º
∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE , CE平分∠BCD ,CE=CE
∴⊿DCE ≌⊿FCE (AAS )
∴CD=CF
∴
BC=BF+CF=AB+CD
7. 已知:AB=CD,∠A=∠D ,求证:∠B=∠
C
证明:设线段AB,CD 所在的直线交于E ,则:
△AED 是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE
∴△BEC 是等腰三角形
∴∠B=∠C.
8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB,求证:PC-PB
在AC 上取点E ,
使AE =AB 。
∵
AE =AB
AP =AP
∠EAP =∠BAE ,
∴△EAP ≌△BAP
∴PE =PB 。
PC <EC +PE
∴PC <(AC -AE )+
PB
∴PC -PB <AC -AB 。
9. 已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:AC-AB=2BE
证明:
延长BE 交AC 于点F, 可证△ABE ≌△AFE
∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE
∴AC – AB =FC,FB=2BE
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABE+∠FBC=3∠C
∴∠AFB+∠FBC=3∠C
∵∠AFB=∠C+∠FBC
∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C
∴∠FBC=2∠C
即∠FBC=∠C
∴FB=FC
∴AC-AB=FB=2BE
10.如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD ⊥BC .
解:延长AD 至BC 于点E,
∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC 是等腰三角形
∴
AB=AC
在△ABD 和△ACD 中
{AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD 和△ACD 是全等三角形(边角边)
∴∠BAD=∠CAD
∴AE 是△ABC 的中垂线
∴AE ⊥BC
∴AD ⊥BC
11.如图,OM 平分∠POQ ,MA ⊥OP , MB ⊥OQ ,A 、B 为垂足,AB 交OM 于点N .
求证:∠OAB =∠OBA
证明:
∵OM 平分∠POQ
∴∠POM =∠QOM
∵MA ⊥OP ,MB ⊥OQ
∴∠MAO =∠MBO =90
∵OM =OM
∴△AOM ≌△BOM (AAS )
∴OA =OB
∵ON =ON
∴△AON ≌△BON (SAS )
∴∠OAB=∠OBA ,∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB =180
∴∠ONA =∠ONB =90
∴OM ⊥AB
12. 如图,已知AD ∥BC ,∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于
D .求证:AD +BC =AB .
做BE 的延长线,与AP 相交于F 点,
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE ,BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB 为直角三角形
在三角形ABF 中,AE ⊥BF ,且AE 为∠FAB 的角平分线
∴三角形FAB 为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF 与三角形BEC 中,
∠EBC=∠DFE, 且BE=EF,∠DEF=∠CEB ,
∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形,∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
13. 如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B
延长AC 到E
使AE=AC 连接 ED
∵ AB=AC+CD
∴ CD=CE
可得∠B=∠E
△CDE 为等腰
∠ACB=2∠B
14.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点,
(1)求证:△AED ≌△EBC .
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
A
证明: D P C E D A B A C D B E B C
∵DC ∥AB
∴∠CDE =∠AED
∵DE =DE ,DC =AE
∴△AED ≌△EDC
∵E 为AB 中点
∴AE =BE
∴BE =DC
∵DC ∥AB
∴∠DCE =∠BEC
∵CE =CE
∴△EBC ≌△EDC
∴△AED ≌△EBC
15. 如图,△ABC 中,∠BAC=90度,AB=AC,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F .
求证:BD=2CE. F
A
D E
C B
证明:
∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE 四点共元
∵∠ABE=∠CBE
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD 的中点G ,连接AG ,则:AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而:∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等)
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而:AC=AB
∴△AEC ≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
16、如图:DF=CE,AD=BC,∠D=∠C 。求证:△AED ≌△BFC 。
D E F C
A B
证明:∵DF=CE,
∴DF-EF=CE-EF,
即DE=CF,
在△AED 和△BFC 中,
∵ AD=BC, ∠D=∠C ,DE=CF
∴△AED ≌△BFC (SAS )
17. 如图:AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF。
求证:AM 是△ABC 的中线。
A
F
B
E M C
证明:
∵BE ‖CF
∴∠E=∠CFM ,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM ≌△CFM
∴BM=CM
∴AM 是△ABC 的中线.
18. 如图:在△ABC 中,BA=BC,D 是AC 的中点。求证:BD ⊥AC 。
A
D
B C
∵△ABD 和△BCD 的三条边都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD ⊥AC
19.AB=AC,DB=DC,F 是AD 的延长线上的一点。求证:BF=CF
A
D
B C
F
在△ABD 与△ACD 中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD ≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF 与△FDC 中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD ≌△FCD
∴BF=FC
20. 如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB。求证:AF=DE。
A
F B
E
C D
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DC BF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
21. 公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ,如图所示,其中AB ∥CD ,在AB ,CD ,BC 三段路旁各有一只小石凳E ,F ,M ,且BE =CF ,M 在BC 的中点,试说明三只石凳E ,F ,M 恰好在一条直线上
.
证明:连接EF
∵AB ∥CD
∴∠B=∠C
∵M 是BC 中点
∴BM=CM
在△BEM 和△CFM 中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
∴△BEM ≌△CFM (SAS )
∴CF=BE
22.已知:点A 、F 、E 、C 在同一条直线上, AF =CE ,BE ∥DF ,BE =DF .求证:△ABE ≌△CDF .
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD (两直线平行,内错角相等)
∵BE=DF
∴:△ABE ≌△CDF (SAS )
23. 已知:如图所示,AB =AD ,BC =DC ,E 、F 分别是DC 、BC 的中点,求证: AE =AF 。
连接BD ;
∵AB=AD BC=D
∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠A BD; 两角相加,∠ADC=∠ABC ;
∵BC=DC E\F是中点
∴DE=BF;
∵AB=AD DE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
24.如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=
∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.
A C
证明:
在△ADC ,△ABC 中
∵AC=AC,∠BAC=∠DAC ,∠BCA=∠DCA
∴△ADC ≌△ABC (两角加一边)
∵AB=AD,BC=CD
在△DEC 与△BEC 中
∠BCA=∠DCA ,CE=CE,BC=CD
∴△DEC ≌△BEC (两边夹一角)
∴∠DEC=∠BEC
25.已知AB ∥DE ,BC ∥EF ,D ,C 在AF 上,且AD =CF ,求证:△ABC ≌△DEF .
∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB //DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC //EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC ≌△DEF (ASA )
26.已知:如图,AB =AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,BD 、CE 相交于点F ,求证:BE =CD .
E
证明: A ∵BD ⊥AC
∴∠BDC=90°
∵CE ⊥AB
∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC
∴BC=BC
∴Rt △BDC ≌Rt △BEC (AAS)
∴BE=CD
27. 如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F 。
求证:DE =DF.
证明:
∵AD 是∠BAC 的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE ⊥AB ,DF ⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED 与∠AFD=90°
在△AED 与△AFD 中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED ≌△AFD (AAS )
∴AE=AF
在△AEO 与△AFO 中
∠EAO=∠
FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO ≌△AFO (SAS )
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD ⊥EF
28. 已知:如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE .若AB = 5 ,求AD 的长?
∵AD ⊥AB
∴∠BAC=∠ADE 又∵AC ⊥BC 于C ,DE ⊥AC 于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠
DAE
∵BC=AE,△ABC ≌△DAE (ASA )
∴AD=AB=5
29.如图:AB=AC,ME ⊥AB ,MF ⊥AC ,垂足分别为E 、F ,ME=MF。求证:MB=MC
A
C
证明:
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ME ⊥AB ,MF ⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME 和△CMF 中
∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF
∴△BME ≌△CMF (AAS )
∴MB=MC.
30.在△ABC 中,∠ACB =90︒,AC =BC ,直线MN 经过点C ,且AD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证: ①∆ADC ≌∆CEB ;②DE =AD +BE ;
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由
.
(1)
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°.
∴∠CAD=∠BCE .
∵AC=BC,
∴△ADC ≌△CEB .
②∵△ADC ≌△CEB ,
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠CBE .
又∵AC=BC,
∴△ACD ≌△CBE .
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
31.如图所示,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE=AB,AF=AC。求证:(1)EC=BF;(2)EC ⊥BF
E
(1)∵AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,
∴∠BAE=∠CAF=90°, C
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ,
即∠EAC=∠BAF ,
在△ABF 和△AEC 中,
∵AE=AB,∠EAC=∠BAF ,AF=AC,
∴△ABF ≌△AEC (SAS ),
∴EC=BF;
(2)如图,根据(1),△ABF ≌△AEC ,
∴∠AEC=∠ABF ,
∵AE ⊥AB ,
∴∠BAE=90°,
∴∠AEC+∠ADE=90°,
∵∠ADE=∠BDM (对顶角相等),
∴∠ABF+∠BDM=90°,
在△BDM 中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,
∴EC ⊥BF .
32.如图:BE ⊥AC ,CF ⊥AB ,BM=AC,CN=AB。求证:(1)AM=AN;(2)AM ⊥AN 。
证明:
(1)
∵BE ⊥AC ,CF ⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB
∴△ABM ≌△NAC
∴AM=AN
(2)
∵△ABM ≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM ⊥AN
33.如图, 已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥
EF
在△ABF 和△CDE 中
,AB=DE
∠A=∠D
AF=CD
∴△ABF ≡△CDE (边角边)
∴FB=CE
在四边形BCEF 中
FB=CE
BC=EF
∴四边形BCEF 是平行四边形
∴BC ‖EF
34.如图, 已知AC ∥BD ,EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ,CD 过点E ,则AB 与AC+BD相等吗?请说明理由
在AB 上取点N ,使得AN=AC
∵∠CAE=∠EAN
∴AE 为公共,
∴△CAE ≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又∵AC 平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
∵BE 为公共边
∴△EBN ≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
35. 如图, 已知: AD是BC 上的中线 , 且DF=DE.求证:BE∥CF .
证明:
∵AD 是△ABC的中线
BD=CD
∵DF=DE(已知)
∠BDE=∠FDC
∴△BDE≌△FDC
则∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行)。
36. 已知:如图,AB =CD ,DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,E ,F 是垂足,DE BF .
求证:AB ∥CD .
D
B C
证明:
∵DE ⊥AC ,BF ⊥AC
∴∠CED=∠AFB=90º
又∵AB=CD,BF=DE
∴Rt ⊿ABF ≌Rt ⊿CDE (HL )
∴AF=CE
∠BAF=∠DCE
∴AB//CD
37. 如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AB=CD
A D
4
C B
∵, ∠3=∠4
∴OB=OC
在△AOB 和△DOC 中
∠1=∠2
OB=OC
∠AOB=∠DOC
△AOB ≌△DOC
∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB
在△ACB 和△DBC 中
AC=DB
, ∠3=∠4
BC=CB
△ACB ≌△DBC
∴AB=CD
38. 如图,已知AC ⊥AB ,DB ⊥AB ,AC =BE ,AE =BD ,试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系,并证明你的结论.
CE>DE。当∠AEB 越小,则DE 越小。
证明:
过D 作AE 平行线与AC 交于F ,连接FB E 由已知条件知AFDE 为平行四边形,ABEC 为矩形 ,且△
DFB 为等腰三角形。
RT △BAE 中,∠AEB 为锐角,即∠AEB
∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB
△DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT △AFB 中,∠FBA=90°-∠DBF
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE
∴CE>DE
39. (10分) 如图,已知AB =DC ,AC =DB ,BE =CE ,求证:AE =DE.
∵AB=DC,AC=DB,BC=BC
∴△ABC ≌△DCB ,
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE,AB=DC
∴△ABE ≌△DCE
∴AE=DE
40.如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB =90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E ,交AD 于点F ,求证:∠ADC =∠BDE .
图9 E B 作CG ⊥AB, 交AD 于H,
则∠ACH=45º, ∠BCH=45º
∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE
又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º
∴△ACH ≌△CBE, ∴CH=BE
又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB
∴△CFD ≌△BED
∴∠ADC=∠BDE