必修4__三角函数知识点归纳总结

《三角函数》

【知识网络】

一、任意角的概念与弧度制

1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角

360︒2、同终边的角可表示为αα=β+k

180 }(k ∈Z ) x 轴上角：{αα=k

{}(k ∈Z )

180 }(k ∈Z ) y 轴上角：{αα=90 +k

360︒

{}(k ∈Z ) }(k ∈Z ) }(k ∈Z ) }(k ∈Z )

360︒

{

360︒

{

360︒

{

4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角

360︒

{}(k ∈Z )

{

}

锐角：α0

{}

5、若α为第二象限角，那么

α

为第几象限角？ 2

π

2

2

ππ5π3πk =0, ≤α≤, k =1, ≤α≤,

4242α

所以在第一、三象限

2

6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .

π180︒≈0. 01745 1=≈57. 30︒=57︒18'

7、角度与弧度的转化：1︒=180π

+2k π≤α≤π+2k π

π

4

+k π≤

α

2

≤

π

+k π

9、弧长与面积计算公式 弧长：l =α⨯R ；面积：S =

二、任意角的三角函数

11

l ⨯R =α⨯R 2，注意：这里的α均为弧度制. 22

y x y

1、正弦：sin α=；余弦cos α=；正切tan α=

r r x

其中(x , y )为角α终边上任意点坐标，r =

2、三角函数值对应表：

3、三角函数在各象限中的符号

口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. （简记为“全s t c”）

sin α tan α cos α 第一象限：. x >0, y >0 sinα>0,cos α>0,tan α>0, 第二象限：. x 0 sinα>0,cos α0, 第四象限：. x >0, y 0,tan α

4、三角函数线

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (x , y ) ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A (1,0)作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.

由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段OM =x , MP =y ，于是有

y y x x ==y =MP ， c o s α===x =OM r 1r 1， y MP AT

tan α====AT ．

x OM OA

我们就分别称有向线段MP , OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 sin α=

5、同角三角函数基本关系式

sin 2α+cos 2α=1

tan α=

sin α

⇒tan α cot α=1 cos α

(sinα+cos α) 2=1+2sin αcos α (sinα-cos α) 2=1-2sin αcos α

(sin α+cos α，sin α-cos α，sin α∙cos α，三式之间可以互相表示)

6、诱导公式

n π+α

口诀：奇变偶不变, 符号看象限(所谓奇偶指的是2中整数n 的奇偶性，把α看作锐角)

n n

⎧⎧

n πn π⎪(-1) 2sin α, n 为偶数⎪(-1) 2co s α, n 为偶数sin(+α) =⎨+α) =⎨；co s(. n -1n +1

22⎪(-1) 2co s α, n 为奇数⎪(-1) 2sin α, n 为奇数

⎩⎩

①. 公式（一）：α与α+2k π, (k ∈Z )

sin(α+2k π) =sin α；cos(α+2k π) =cos α；tan(α+2k π) =tan α

②. 公式（二）：α与-α

sin (-α)=-sin α；cos (-α)=cos α；tan (-α)=-tan α

③. 公式（三）：α与π+α

sin (π+α)=-sin α；cos (π+α)=-cos α；tan (π+α)=tan α

④. 公式（四）：α与π-α

sin (π-α)=sin α；cos (π-α)=-cos α；tan (π-α)=-tan α

⑤. 公式（五）：α与

π

2

+α

⎛π⎫⎛π⎫

sin +α⎪=cos α；cos +α⎪=-sin α； ⎝2⎭⎝2⎭

⑥. 公式（六）：α与

π

2

-α

⎛π⎫⎛π⎫

sin -α⎪=cos α；cos -α⎪=sin α； ⎝2⎭⎝2⎭

⑦. 公式（七）：α与

3π

+α 2

⎛3π⎫⎛3π⎫sin +α⎪=-cos α；cos +α⎪=sin α； ⎝2⎭⎝2⎭

⑧. 公式（八）：α与

3π

-α 2

⎛3π⎫⎛3π⎫sin -α⎪=-cos α；cos -α⎪=-sin α； ⎝2⎭⎝2⎭

三、三角函数的图像与性质

1、将函数y =sin x 的图象上所有的点，向左（右）平移

ϕ个单位长度，得到函数

y =sin (x +ϕ)的图象；再将函数y =sin (x +ϕ)的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到

原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数y =sin (ωx +ϕ)

的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数

y =A sin (ωx +ϕ)的图象。

2、函数y =A sin (ωx +ϕ)(A >0, ω>0)的性质： ①振幅：A ；②周期：T =

2π

ω

；③频率：f =

1ω

=；④相位：ωx +ϕ；⑤初相：ϕ。 T 2π

3、周期函数：一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x +T )=f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期.

4、⑴y =A sin(ωx +ϕ) 对称轴：令ωx +ϕ=k π+

π

k π+

，得x =

π

-ϕ

2ω

k π-ϕk π-ϕ

对称中心：ωx +ϕ=k π，得x =，(, 0)(k ∈Z ) ；

ωω

k π-ϕ

⑵y =A cos(ωx +ϕ) 对称轴：令ωx +ϕ=k π，得x =；

ω

ππk π+-ϕk π+-ϕπ对称中心：ωx +ϕ=k π+，得x =，(, 0)(k ∈Z ) ；

2ωω

⑶周期公式:

①函数y =A sin(ωx +ϕ) 及y =A cos(ωx +ϕ) 的周期T =

2π

ω

(A、ω、ϕ为常数，且A

≠0).

②函数y =A tan (ωx +φ)的周期T =

π

(A、ω、ϕ为常数，且A ≠0). ω

5、三角函数的图像与性质表格

6. 五点法作y =A sin(ωx +ϕ) 的简图，设t =ωx

+ϕ，取0、应x 的值以及对应的y 值再描点作图。 7. y =A sin(ωx +ϕ) 的的图像

、π、、2π来求相22

8. 函数的变换：

（1）函数的平移变换

①y =f (x ) →y =f (x ±a )(a >0) 将y =f (x ) 图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减）

②y =f (x ) →y =f (x ) ±b (b >0) 将y =f (x ) 图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）

（2）函数的伸缩变换：

①y =f (x ) →y =f (wx )(w >0) 将y =f (x ) 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的

1

倍（w >1缩短， 0

②y =f (x ) →y =Af (x )(A >0) 将y =f (x ) 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（A >1伸长，0

① y =f (x ) →y =f (-x ) ) 将y =f (x ) 图像绕y 轴翻折180°（整体翻折）

（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）

② y =f (x ) →y =-f (x ) 将y =f (x ) 图像绕x 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y 轴对称）

③y =f (x ) →y =f (x ) 将y =f (x ) 图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）

④y =f (x ) →y =f (x ) 保留y =f (x ) 在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）

四、三角恒等变换

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）sin(α+β) =sin αcos β+sin αcos β (2）sin(α-β) =sin αcos β-sin αcos β (3）cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β (4）cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β

α+β) =(5）tan(

tan α+tan β

⇒ t a n α+t a βn =

1-tan αtan β

tan α-tan β

⇒ t a n α-t a βn =

1+tan αtan β

t n +β(a α)(t n -β(a α)(

-1αt a n )βt a n

α-β) =(6）tan(

+1t αa n )βt a n

(7) a sin α+

b cos α=α+ϕ) (其中, 辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 所在的象限决定

, sin ϕ=

ϕ=

tan ϕ=

b

，该法也叫合一变形). a

(8)

1+tan θπ1-tan θπ

=tan(+θ) =tan(-θ)

1-tan θ41+tan θ4

2. 二倍角公式

（1）sin 2a =2sin a cos a

（2）cos 2a =cos a -sin a =1-2sin a =2cos a -1

2

2

2

2

tan 2a =

（3）

2tan a

1-tan 2a

3. 降幂公式：

cos 2a =

（1）

4. 升幂公式

1+cos 2a 1-cos 2a 2

（2） sin a =22

2

（1）1+cos α=2cos （3）1±sin α=(sin（5）sin α=2sin

α

2

（2）1-cos α=2sin

2

α

2

α

2

±cos

α

2

) 2 （4）1=sin 2α+cos 2α

α

2

cos

α

2

5. 半角公式（符号的选择由

θ

所在的象限确定） 2

sin

（1）

a +cos a a 1-cos a

， ， =±cos =±

2222（2）

a 1-cos a sin a 1-cos a tan =±==21+cos a 1+cos a sin a （3）

6. 万能公式:

2tan

（1）sin α=

α

, （2）cos α=

1-tan 21+tan 2

α, 2

1+tan 22tan

（3）tan α=

2.

α1-tan 2

2

7. 三角变换：

三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运

用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。

（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、

删除角的恒等变形

（2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：

a sin θ+b cos θ=

a 2+b 2sin(θ+ϕ) 其中cos ϕ=

1+(3)

2

2

a a 2+b 2

, sin ϕ=

b a 2+b 2，比

y =sin x +cos x

如：

=2+() 2(

sin x +

3+()

2

2

cos x )

πππ1=2(sin x +cos x ) =2(sinx cos +cos x sin ) =2sin(x +)

33322

（3）注意“凑角”运用： α=β-(β-α)， α=1⎡(α+β)-(β-α)⎤ α=(α+β)-β，⎦2⎣例如：已知α、β∈(

3π3π12π

, π) , sin(α+β) =-，sin(β-) =，则c o s (α+) =? 454134

2

2

（4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“sin α+cos α”

（5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：

+cos a 常用升幂化为有理式。

（6）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。

（7）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。 （8）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法

（9）思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。

（10）利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：sin a +cos a ，sin a cos a sin a -cos a ，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。

8. 函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：

①y =a sin x +b （或a cos x +b ) 型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论 ②y =a sin x +b cos x 型：引进辅助角化成y =a 2+b 2sin(x +ϕ) 再利用有界性 ③y =a sin x +b sin x +c 型：配方后求二次函数的最值，应注意sin x ≤1的约束 ④y =

2

a sin x +b

型：反解出sin x ，化归为x ≤1解决

c sin x +d

⑥y =a (sinx +cos x ) +b sin x ⋅cos x +c 型：常用到换元法：t =sin x +cos x ，但须注意t 的取值范围：≤

2。

9. 三角形中常用的关系：

sin A =sin(B +C ) ， cos A =-cos(B +C ) ， sin sin 2A =-sin 2(B +C ) ， cos 2A =cos 2(B +C )

A B +C =cos ， 22

sin15︒=cos75︒=10.

常见数据：

75︒=cos15︒=

tan 15︒=2-, tan 75︒=2+3,