2015浙江省高等数学竞赛试题(答案)
2015浙江省高等数学竞赛试题答案
一、计算题：（每小题14分，满分70分）
1-cos x cos 2x
1．求极限lim 。 2x →0x
sin x cos 2x +2cos x sin 2x
解： =lim
x →02x
sin x cos 2x +4cos 2x sin x
=lim
x →02x
sin x (cos2x +4cos 2x )
=lim
x →02x 5
=
2
x +1
⎰x 2(x 2+4) dx x +111
(2-2) dx 解：=⎰4x x +411x 1=⎰+2--) dx 22
4x 4x 4(x +4) 4(x +4) ln x 1x 1=-+⎰--) dx
44x 4(x 2+4) 4(x 2+4)
x arctan 2
ln x 1ln(
x +4)
+C =---4
4x 88
2．求不定积分
3．设f (x ) =
⎰
x 1
x
1
ln(t +x ) dt ，求f '(1)的值。
2x
解：令u =t +x f (x ) =
⎰ln(t +x ) dt =⎰ln(u ) du
1+x
f '(x ) =2ln 2x -ln(1+x ) f '(1)=2ln 2-ln 2=ln 2
4．已知y =y (x ) 由方程e xy +y 3=1确定，求解：e xy (y +xy ') +3y 2y '=0
dy dx
。
x =0
ye xy
y '=-xy
xe +3y 2
ye xy e xy
y 'x =0=- =-2
3y 3y
因为当x =0时y =0 所以y 'x =0=-∞
5．求极限 lim
n
k
。 ∑22n →+∞
k =1n +k
n
n
k
k 1解：lim ∑2 =lim ∑2n →+∞n →+∞n +k n k =1k =1
1+() 2
n
x 112
由定积分定义知，极限可以变为⎰dx =ln(1+x ) =ln 2
01+x 2220
1
1
1/a n
lim a 二、（满分20分）设数列{a n }为单调递增的正数列，试讨论极限 n
n →∞
解：当{a n }有界时，lim a n 一定存在，设lim a n =a , 则lim a n
n →∞
n →∞
1/a n
n →∞
=a
1
a
当{a n }无界时，lim a n =+∞，
n →∞
lim a n 1/a n =lim e
n →∞
n →∞
1
ln a n a n
=lim e
n →∞
'a n 'a n a n
=e 0=1
三、（满分20分）已知面积为S 的直角三角形绕其斜边旋转一周所得的旋转体体积为V ，求V
解： 1
V =πah 2
3
11
ah =S =a 2sin θcos θ ⇒h = 222π⇒V =π
32
3
π2
V =πS 2 所以当θ=时 m a x
43
因为
x sin x
⎰01+cos 2x 2πx sin x
解： ⎰01+cos 2x
π2π-x sin x x sin x =⎰+⎰π1+cos 2x 01+cos 2x 2π-x sin x ⎰π1+cos 2x
π-(u +π)sin(u +π) u =x -π
−−−→⎰ 201+cos (u +π) π(u +π)sin u =⎰du 01+cos 2u
πππsin x 2πx sin x x sin x 2+ 因此⎰=⎰01+cos 2x ⎰01+cos 2x 01+cos 2x
πx sin x ⎰01+cos 2x
0(π-t )sin(π-t ) t =π-x
−−−→-⎰
π1+cos 2(π-t )
四、求定积分
2π
=⎰⇒⎰
所以
π0
π
(π-t )sin t
1+cos 2t
π
ππ2x sin x ππsin x
=⎰dx =-arctan cos x =
241+cos 2x 201+cos 2x 0
2π0
⎰
x sin x 2
=π 2
1+cos x
x 2x 3
+(x >-1) 。 五、（满分20分）证明：ln(1+x ) ≤x -
23
x 2x 3
- 证明：令f (x ) =ln(1+x ) -x +
23
1-x 32
-1+x -x = f '(x ) = 1+x 1-x
令f '(x ) =0⇒x =0
x x +所以f (x ) ≥f (0)=0 即ln(1+x ) ≤x -
23
(x >-1)