大学物理,课后习题,答案
第十八章 波 动
1、一横波沿绳子传播,其波的表达式为 y =0. 05cos(100π t-2π x) (SI) 求: (1) 波的振幅、波速、频率和波长。
(2) 绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度。 (3) 在x 1=0. 2m 处和x 2=0. 7m 处二质点振动的位相差。 解:(1)y =0. 05cos(100π t -2π x ) =0. 05cos 100π( t - 0.02x ) ∴A =0. 05m , ω =100π =2π υ⇒υ=100π/2π=50(HZ) u =50(m ⋅s ) , (2) v =
a =
∂2Y ∂ t ∂Y ∂t
-1
λ =
u
υ
=
50
=1(m ) 50
π=5π=15. 7(m ⋅s -1) =-0. 05⨯100πsin(100π t -2π ) , v max =0. 05⨯100
22π) =500π=4934. 8 (m ⋅s -2) ∴ a max =0. 05⨯(100
λ(3)
-1
2、一平面简谐波沿x轴正向传播,波的振幅A =10cm ,波的圆频率ω =7π rad ⋅s ,当t =1. 0 s 时,x =10cm 处的a 质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动,而x =20cm 处的b质点正通过y =5cm 点向y轴正方向运动。设该波波长
∆ϕ =2πx 2-x 1
=2π
0. 7-0. 2
=π1
=-0. 05⨯(100π) 2cos(100π t -2π x )
λ >10cm ,求该平面波的表达式。
x
解:设波动方程为:Y =0. 1cos(7π t +ϕ -⋅2π)
t=1(s)时, Y a =0. 1cos(7π +ϕ -0. 1⋅2π) =0, Y b =0. 1cos(7π +ϕ -0. 2⋅2π) =0. 05
v a
v >0 , ⇒ . 2∵ b 7π +ϕ -0⋅2π=-π+2k π ② 且λ >0. 1m ,故a , b 两质点的位相差
∵
17
ϕ=- π ①-②得:5λ=1.2, 即 λ=0.24(m ) 代入①得:
所以 波动方程为:Y =0. 1cos(7π t -π x +π) 33
3、图示一平面简谐波在t =0时刻的波形图,求: (1)该波的波动方程; (2)P处质点的振动方程。
解:由图知 λ=0.4m,A=0.04m,u=0.08m/s
-1u
ω =2π ν=2π=2π00. . 08=0. 4π (s ) 4
原点的振动方程为:Y =0. 04cos(0. 4π t -π π
波动方程为:Y =0. 04cos[0. 4π( t -x - Y =0. 04cos(0. 4π t -5π x -π)
p 点的振动方程:
Y p =0. 04cos(0. 4π t -5π ⨯0.2-2π
=0. 04cos(0. 4π t -3 ) =0. 04cos(0. 4π t +π4、一列平面简谐波在媒质中以波速u =5ms 沿x轴正向传播,原点O处质元的振
-1
动曲线如图所示。
(1) 画出x =25m 处质元的振动曲线; (2) 画出t =3 s 时的波形曲线。
-1π
=2=π(s ) 原点的振动方程为:Y o =0. 02 2t -2)
波动方程为:Y =0. 02 2( t -5) -2]
解:由图得 T =4(s ) ⇒ω =
2π
25πt -π Y 25=0. 02c o π2( t -5) -2]=0. 022t -2π-2) =0. 02c o 2
)
x ππ
x
Y (x , 3) =0. 02ππ -x ) =-0. 02cos 10( 3-) -]=0. 02cos(
5、某质点作简谐振动,周期为2s,振幅为0.06m,开始计时(t=0),质点恰好处在负向最大位移处,求: (1)该质点的振动方程;
(2)此振动以速度u=2 m/s沿x轴正方向传播时,形成的一维简谐波的波动方程;
(3)该波的波长。 解:(1)振动方程:
t +ϕ ) =0. 06t +π ) =0. 06cos(x =A π t +π) (m ) T 2
(2)波动方程为:
x x
Y =0. 06cos[π ( t -u ) +π]=0. 06cos[π ( t -2) +π] (m )
(3)波长 λ=uT =2⨯2=4(m )
6、频率为100 Hz的波,其波速为250 m/s。在同一条波线上,相距为0.5 m的两点的位相差为________________。 解:由u =λ ν 得
λ =
250
=2. 5(m )
ν100∆x 0. 52∆ϕ =⋅2π =⋅2π =π
λ2. 55
=
u
7、图中A、B是两个相干的点波源,它们的振动位相差为 π(反相)。A、B相距30cm ,观察点P和B点相距 40cm,且PB ⊥AB 。若发自A、B的两波在P点处最大限度地互相削弱,求波长的最大可能值。
解:由题意,设ϕB -ϕA =π,两列波传到P 点的位相差为:
∆ϕ =(ϕB - 2π⋅
r B
λ
) -(ϕA -2π⋅
r A
=ϕB -ϕA -=π-
r B -r A
λ
)
⋅2πλ
当∆ϕ =(2k +1) π 时,干涉相消
即 π+⋅2π=(2k +1) π ⇒ λ =当 k = 1时, λ = λ max =0. 1(m )
0. 22k
0. 4-0. 3
λ
⋅2π
8、平面简谐波沿x轴正方向传播,振幅为2cm,频率为 50 Hz,波速为 200m/s。在t=0时,x=0处的质点正在平衡位置向y轴正方向运动,求x=4m处媒质质点振动的表达式及该点在t=2s时的振动速度。 解:依题意,原点的振动方程为 Y =0. 02cos(100π t -π) 2由初始条件:t =0时,x =0,Y =0,v =知初相位为:- 2
故波动方程为:Y =0. 02cos[ 100π (t -200) -2]
Y 4=0. 02cos[ 100π (t -200) -100π t -2]=0. 02cos(2)
∂ t
>0
v ==-0. 02⨯100πsin[100π (t -200) -] ∂ t2
-1v (4, 2) =-2π sin[100π (2-) -]=2π (m⋅s )
9、一平面简谐机械波在媒质中传播时,若一媒质质元在t时刻波的能量是10J,求在t +T (T 为波的周期)时刻该媒质质元的振动动能? 解:t + T时刻的能量与t 时刻的能量相同。即 10J,
而波的动能与势能同步、相等,所以,t + T时刻的动能为5J 。
10、在截面积为S 的圆管中,有一列平面简谐波在传播,其波的表达式为
2π x ⎫,管中波的平均能量密度是w ,求通过截面积S 的平均能⎛
y =A cos ω t-⎪λ⎝⎭
流?
x
解:由波动方程Y =A cos[ω (t - ) +ϕ ] 可知 u =λω平均能流:=w su =
w s λ ω
2π
-1-22
11、一平面简谐波,频率为300Hz ,波速为340ms ,在截面面积为3. 00⨯10m
-2
的管内空气中传播,若在10s内通过截面的能量为2. 7⨯10J ,求: (1)通过截面的平均能流; (2)波的平均能流密度; (3)波的平均能量密度。
解:(1)通过截面的平均能流为 =
2. 7⨯10-2
=2. 7⨯10-3(J ⋅s -1)
(2)波的平均能流密度:I =(3)波的平均能量密度:=
=
2. 7⨯10-33. 0⨯10-2
-2
=9⨯10-2(J ⋅s -1⋅m -2)
I -4-310
=9⨯=2. 6⨯10(J ⋅m )
12、两列余弦波沿ox 轴传播,波动方程分别为:
()]y 1=0. 06cos 1 (SI)π 0. 02x -8. 0t
试确定轴上合振幅为0.06m的那些点的位置。
解:原方程可化为:
0. 01ox
()]y 2=0. 06cos (SI)2π 0. 02x +8. 0t
y 2=0. 06cos [4π (t +x )] (SI)
叠加形成驻波,方程为:Y =y 1+y 2=0. 12cos 0. 01π x cos 4π t
依题意有:
0. cos 0. 01π x =0. 06⇒cos 0. 01π x =1 0. 01π x =k π ±π ⇒01
y 1=0. 06cos [4π (t -0. x )] (SI)
x =100k ±100k ∈(0, ±1, ±2, )
13、在弦线上有一简谐波,其表达式为:
y 1=2. 0⨯10-2cos 100 (SI) πt +20-3π
[()]
为了在此弦线上形成驻波,并且在x = 0处为一波腹,此弦线上还应有一简谐波,求其表达式?
x
解:设另一行波方程为 y 2=2. 0⨯10-2cos 100)+ϕ π(t -[]
其驻波方程为 :
4)]100π t -(4Y =y 1+y 2=4⨯10-2cos [5π x -1π+ϕcos[π-ϕ) /2]
4
, ϕ 1=2, ϕ 2=-4 1(π +ϕ)]=±1ππ
因为 x = 0处为波腹,所以 2(3π +ϕ)]=1
[]
x
或者 y 2=2. 0⨯10-2cos [)-4] 100π(t -π
x 所以 y 2=2. 0⨯10-2cos 100 )+π(t -203π
14、设平面简谐波沿x轴传播时在x =0处发生反射,反射波的表达式为:
⎡⎛x ⎫1⎤
y 2=A cos ⎢2π υ t-⎪+π⎥
λ⎭2⎦⎣⎝
已知反射点为一自由端,求由入射波和反射波形成的驻波的波节位置的坐标?
解:原点处的振动方程 y =A cos(2πυ t +π ) 因为反射点为一自由端,故为波腹,不存在半波损失。
x
所以,入射波方程为y 1=A cos[2π(υ t + ) +2]
x
驻波方程为 Y =y 1+y 2=2A cos(2π ) cos(2πυ t +2) x 波节位置: cos(2π) =0
2π
=k π +2⇒ x =4
λ k ∈(0,±1, ±2, )
π
2
15、两列波在一根很长的弦线上传播,其方程式为:
y 1=6. 0⨯10-2cos y 2=6. 0⨯10-2cos
(x -40t ) (SI ) (x +40t ) (SI)
π
2
求:合成波的方程式以及在x =0至x =10. 0m 内波节和波腹的位置?
解:合成波方程:
Y =y 1+y 2=12⨯10-2cos π t 2x cos 20
x =0, 令 cos π 得x =2k +1
2、3、5、7、9 (m) 波节位置: x =1
∴
π
2
x =(2k +1)
π
x =1, 令 cos 2
∴
π
2
x =k π 得x =2k
2、4、6、8、10 (m) 波腹位置: x =0、
16、一驻波中相邻两波节的距离为d =5. 00cm ,质元的振动频率为
υ=1. 00⨯103Hz ,求形成该驻波的两个相干行波的传播速度u和波长λ。
解: 设驻波方程为
Y =2A cos 2πcos(2π ν t +ϕ)
=5 ⇒ λ = 10cm =0.1m
2
3
u =λ ⋅ ν =0. 1⨯1⨯10=10(0m ⋅s -1)
依题意知
λ