行列式和矩阵从概念到运算的联系与区别江兵兵
行列式与矩阵从概念到运算的联系与区别
江兵兵
(天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 74100)
摘要:行列式与矩阵是两个相对独立的基本理论结果,是两个完全不同的概念,
那么它们之间有着怎样的联系与区别,本文通过详细举例论证对行列式与矩阵从其概念的定义到有关运算方面的联系与区别做了详细说明,使读者对行列式与矩阵有了进一步的认识,达到灵活熟练的运用相关知识解决有关问题。
关键字: 行列式;矩阵;概念;运算;转置
The determinant and the relationship and difference matrix
from concept to operation
Jiang Bingbing
(School of Mathematics and Statistics tianshui Normal University, Tianshui 74100)
Abstract: determinant and matrix is basic theory of two relatively independent as a
result, are two entirely different concepts, so the relationship and difference between them have how, for example demonstrated in this article, through detailed determinant and matrix from the definition of the concept to the operation made detailed aspects of the relation and distinction between, make readers to have further understanding of the determinant and matrix, to achieve flexible use of related knowledge skilled to solve the problem.
Key words: the determinant; Matrix; Concept; Calculations; transpose
引言................................................................................................................................. 1 一 概念方面 .................................................................................................................... 1
1 联系 ...................................................................................................................... 1 矩阵概念的产生的观点来源于行列式.................................................................. 2
2 区别 ............................................................................................................................. 2
(1)定义方面相区别 ........................................................................................ 2 表示方法............................................................................................................ 5 (2)矩阵的子式 ................................................................................................... 8
有关区别.........................................................................................................................10
1)加(减)法方面 ...........................................................................................10
(2)乘法方面 .....................................................................................................10 (3)数乘方面 ..................................................................................................... 11 转置方面...........................................................................................................12
(5)变换方面相区别 ...........................................................................................12
【参考文献】..................................................................................................................13
行列式和矩阵从概念到运算的联系与区别
引言
行列式与矩阵是两个相对独立的基本理论结果,是两个不同的概念,但是我们在学习行列式与矩阵时,可以说一个行列式是几行几列的,也可以说一个矩阵是几行几列的,可见矩阵与行列式之间是既有区别也有一定联系的.本文阐述矩阵与行列式相关概念以及运算方面的规律,并对知识点列举一定的典型例题,通过分析总结,归纳出矩阵与行列式从概念性质到运算方面的联系与区别。
一 概念方面
1 联系
(1)由矩阵概念可推广得到行列式的概念
m,j1,2......n)(i=1,2,......m,j=1,2,......n)排成m行n列 由mn个数aij(i1,2......
的数表称为m行n列矩阵,简称mn矩阵,记为
a11a21
am1
aaa
1222
m2
2n
amn
1n
aa
其中数aij称为矩阵位于i行j列处的元素,矩阵可简记为A. 当mn时,A称为n阶方程或是n阶矩阵.这时有
a11a21
A=
am1
其中n阶行列式
aaa
1222
m2
2n
amn
1n
aa
aaa
1121
aaa
1222
aaa
1n2n
m1
m2
mn
称为矩阵A的行列式,记作A或者detA.
矩阵概念的产生的观点来源于行列式
凯雷是公认的矩阵论创始人,他在1955年一篇文章中谈到矩阵概念的起源,说“我绝不是通过四元数而获得矩阵概念的;它或是从行列式的概念而来,或是作为方程组
'axbyx ' ycxdy
的表达式而来的。”可见,行列式理论对矩阵理论的产生和发展起促进作用,矩
阵概念产生的一种观点就是来源于行列式。
ab
凯雷给出了逆矩阵的定义:设Acd,则A的逆矩阵A'
1
A
A,其
*
中A是矩阵A的行列式。可见,逆矩阵的原始定义是离不开行列式的。 由此可见,矩阵理论得以迅速发展,其原因之一就在于矩阵与行列式的密切关系.
2 区别
(1)定义方面相区别
行列式的相关定义
对于二元线性方程组a11x1a12x2b1,用消元法来解这个方程组可得
a21x1a22x2b2
( (
aaaa
1111
2222
a12a21x1)a22b1a12b2a12a21x2)a11b2a21b1
,
当
aa
11
22
a12a210时,此方程组有唯一解,即
x(abab)/(aaaa
1
22
1
12
2
11
22
12
21
),
x
2
(a11b2a21b1)/(a11a22a12a21),
我们称a11a22a12a21为二阶行列式,用符号表示为
aa
11
22
a12a21
aa
1121
aa
1222
二阶行列式是2!项的代数和,其中每一项是位于不同行,不同列的元素的乘积,把这两个元素按行指标的自然序列排好,其列指标所成排列是偶排列时,该项为正;奇排列时为负。于是二阶行列式
aa
1121
aa
1222
(1)
(
j1,j2jn)
aja
1
1
2
j2
n阶行列式
aaa
1121
aaa
1222
aaa
1n2n
m1
m2
mn
是n!项的代数和,其中每一项都是位于不同行不同列元素的乘积,把这n个元素以行指标为自然序列排好位置,当列指标构成的排列是偶排列时,该项为正;是奇排列时,该项为负,即
aaa
1121
aaa
1222
aaa
1n2n
m1
m2
mn
j1j2jn
(1)
(
j1,j2jn)
aja
1
1
2
j2
an jn
其中j,jj是n元排列,
12n的完全展开式。
j1,j2jn
表示对所有n元排列求和.上式称为n阶行列式
综上所述,n阶行列式An是按一定顺序排成的n行n列元素按照某一个特定的规则确定的n!项的代数和,归根结低是一个数.
矩阵的相关定义
在解析几何中考虑坐标变换时,如果只考虑坐标系的转轴(逆时针方向的转轴),那么平面直角坐标变换的公式为
`
`
ysin xxcos ``
yxsinsycos
其中为x轴与x轴的夹角,显然新旧坐标之间的关系完全通过系数所所排成的22矩阵
'
scosinsin
cos
表示出来。
在空间的情形,保持原点不动的坐标系的变换公式是
```ya13zxa11xa12
```
ya21xa22ya23z
```
ya33zza31xa32
同样,矩阵
a11a12
a21a22
a31a32
就称为坐标变换的矩阵。
aaa
13
3233
有mn个数aij(i1,2......;j1,2......)排成m行n列的数表称为m行n列矩阵,简称mn矩阵,记为
a11a12
a21a22
am1am2
2n amn
1n
aa
其中数aij称为矩阵位于i行j列处的元素,矩阵可简记为A.
综上所述,Amn矩阵是mn个数按一定方式排成的m行n列数表,归根结底是一个数表.
表示方法
根据行列式的定义知,书写行列式时在数表的两端加表两端加或. 例,
;书写矩阵时在数
abcd
表示行列式.
a
c
b表示矩阵. d
(3)行数和列数的关系
根据行列式的定义知,行列式中行数和列数必须相同,即行数必须等于列数,
正因为如此,所以将行列式称为n阶行列式,n即为行列式中的行数或列数。由
矩阵的定义知,矩阵中行数和列数无丝毫关系,即行数和列数可以相同,也可以不同.
例,
a11a12a1n
a2n
a21a22
am1am2amn
如果此数表要称为行列式,则必须m等于n;如果m不等于n,则此数表无意义.
a11a12a1na21a22a2n
am1am2amn
这个数表被称为m行n列矩阵,这里m与n可以相等,也可以不等.
(4)比较大小方面
根据行列式的定义知,因为行列式是一个数,任意两个数之间可以比较大小,所以说任意两个行列式也可以比较大小。由矩阵的定义知,矩阵是由多个数排成的数表,因为任意两个数表之间无法比较大小,所以说矩阵之间是无法比较大小的。 例如,
120
A=201=-6 ,
102
102
B=021=-9 ,
210
比较可知,行列式A大于行列式B。
而对于
120
A=201 ,
102
102
B=021 ,
210
矩阵A与矩阵B之间无法比较大小.
(5)相等关系方面
根据行列式的定义知,行列式可以最终确定为一个数,因此表面上看似两个完全不同的行列式有可能是相等的,故判断两个行列式是否相等,绝对不能凭主观想象,而是要根据最终得到的具体的数来判定.由矩阵的定义知,矩阵是由许多个数排成的数表,故两个矩阵当且仅当表面上完全一致时才叫相等,因此说两个零矩阵也并不完全相等. 例如,
110
A=011=2,
101
101
B=110=2,
011
由此可知,两个表面看似不相同的行列式A与B却是相等的.
而对于
000
A=000,
000
00
B=00,
00
其中A矩阵和B矩阵都是零矩阵,但他们是两个完全不相同的数表.
二 运算方面 1 联系
(1)方阵的行列式
对任何一个行数等于列数的矩阵,即方阵,我们可以求此方阵的行列式,叫方阵的行列式,书写方式与行列式完全相同,利用它可以判断方阵是否可逆,即逆运算.
例,判断
211
A=312,
110
此矩阵是否可逆?
解:因为
211
A=312=20,
110
由此可知矩阵A是可逆的.
(2)矩阵的子式
对任意矩阵Amn,任取k行k列kmin{m,n},按元顺序排列的一个方阵
A
k
,
可求此方阵的行列式,叫做A的k阶子式,利用它可判断A的秩等一些性质.
例如,设
1130 A=2121,
1152
取定A的第3行第1列,相交处元素可构成一阶子式11;取定A的第1,2行,第1,2列,可得一个二阶子式
1
211= -10,
对于A的所有三阶子式,因为
1
2
1132=0, 511
1
2
1011=0, 112
130
221=0,
152
130
121=0,
152
由此可知,矩阵A的秩为2,记作r(A)2.
有关区别
1)加(减)法方面
由定义,对于行列式来说是一个确定的数,所以任何两个行列式都可以进行
相加减。对于矩阵来说,当且仅当两个同型矩阵(行数和列数都相同的矩阵)才可以进行相加减,并且是对应元素的相加减.
例如,
A=
A+B=21
112112, B3111 , +31
11325,
2131 A=, B=1211,
2131231152 A+B=12+11=23, 1121=
(2)乘法方面
任何两个行列式都可以相乘(数的相乘),最终结果是一个数。如果两个矩阵相乘就需要满足左边矩阵的列数要等于右边矩阵的行数,最终结果是一个新的矩阵,不仅矩阵的元素是新的,并且在类型上也有新的变化,得到新矩阵的行数等于原有左边矩阵的行数,列数等于原有右边矩阵的列数.
例如,
A=
2112, B=3111,
A×B=
2112×3111326
211 A=12, B=112,
211 AB=12×112=(1×2 +2×1 1×1 +2×1 1×1 +2×2)
=(4 3 5)
注:
21152121 23112
是无意义的.
(3)数乘方面
行列式的数乘等于数乘以这个行列式的某一行或者数乘以这个行列式的某
一列.对于矩阵来说,数乘等于数乘以这个矩阵中的每一个元素.
例如,
5
或者
5
而对于矩阵来说
212515105 512=1525=510
2112=251512 =51215 2112 =251152 =152=15
转置方面
对于行列式来说,转置后行列式的最终结果与原行列式的最终结果相等;对
于矩阵来说,转置后的矩阵与原矩阵不一定相等,要视具体情况而定。
例如,
A21
34
=5
23 AT 14
=5
由此说明A与AT最终结果是相等的.
而对于矩阵来说
213 A=341, AT2314
31
显然,矩阵A与A是两个完全不同的数表.
注:并不是所有矩阵与它的转置不相同,例如特殊情况下
T
2121 1212
T
(5)变换方面相区别
利用行列式的性质可以对行列式进行一些恒等变换,恒等变换的两个行列式
之间用“=”连接,行列式经过恒等变换后,计算更加简便;矩阵中也可以进行一些初等变换,变换过程中的两个矩阵之间要用“”连接,矩阵经过初等变换,可以得到一种特殊矩阵,如对角矩阵。
例如,
2
而对于矩阵来说
10211212120=-1 012r2r11210r12r2 110101
结束语
以上是行列式与矩阵从概念到性质的有关联系与区别的具体阐述,通过对行列式与矩阵的对比学习,可以更加熟练的掌握二者的概念性质及其算法,达到事半功倍的效果.
【参考文献】
[1]白芬兰.高等代数.清华大学出版,2012.8
[2]丘维声.大学高等代数课程创新教材.高等代数(上册).清华大学出版社
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[7]王卿文.线性代数核心思想及应用.科学出版社,2012
[8]中外数学简史编写组.外国数学简史.上东教育出版社,1987
致谢
在两个多月的课题研究和论文撰写过程中,我非常感谢我的指导教师——李明图老师。无论是在课题立项还是在课题的研究阶段,李老师都给了我很大的帮助。在论文修改的这段时间中,李老师不仅是我在论文写作上有了很大的提高,而且言传身教,使我学到了作为一名大学生所应具备的那种踏实勤恳、一丝不苟的优良品质和学习作风。在我进行课题内容的研究中,从理论上给予了我很大的帮助和支持,而且在论文的最后评阅过程中,也给我提出了非常有价值的意见,使我获益极深。衷心地谢谢您李老师!
最后,对所有在这四年里的学习和生活中,给予我各种关心帮助的人们,我仅表达我最衷心的谢意!谢谢你们!