含绝对值不等式.一元二次不等式.简易逻辑.充要条件
二. 本周教学重、难点:
1. 掌握简单的绝对值不等式的解法;掌握一元二次不等式的解法;学会运用函数方程、分类讨论、等价转化和数形结合思想解决有关不等式的问题。
2. 理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,理解四种命题及其相互关系,掌握充分条件,必要条件,充要条件的意义。
【典型例题】
[例1] 解不等式:
(1)
;
(2)
。
解:
(1)方法一:原不等式等价于
即
∴
方法二:原不等式等价于
或
∴
∴
或
故原不等式的解集为
(2)方法一:原不等式等价于
①或
②
由①得
∴
由②得
∴
∴ 原不等式的解集为
方法二:∵
∴ 原不等式可视为关于
的一元二次不等式
0
解得
或
(舍去) ∴
或
故原不等式的解集为
[例2] 解不等式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解:
(1)∵
∴ 原不等式化为
∴
或
(2)
∴
∴
(3)
∴
∴
且
∴
(4)原不等式化为:
且
∴
且
且
或
∴
或
且
(5)
方法一:令
∴
①
时,
∴
②
时,
③
时,
∴
∴ 由①②③知:
(6)∵
∴
利用
等号成立的条件得
∴
∴
[例3] 解不等式
解:
(1)
时,
①
时,
的两根
∴
②
时,
∴
且
③
时,
∴
(2)
时,
∵
∴
∴
或
(3)
时,
[例4] 已知二次函数
的二次项系数为
,且不等式
的解集为(1,3)
(1)若方程
有两个相等的根,求
的解析式;
(2)若
的最大值为正数,求
的取值范围。
解:
(1)∵
的解集为(1,3)
设
,且
因而
①
由方程
,得
②
∵ 方程②有两个相等的根
∴
即
解得
或
由于
,舍去
将
代入①得
的解析式
(2)由
又
,可得
的最大值为
由
解得
或
[例5] 已知关于
的不等式
的解集为M。
(1)当
时,求集合M;
(2)若
且
,求实数
的取值范围。
解:
(1)当
时,不等式化为
所以
或
故不等式的解集
(2)因
M,得
①
因
,得
或
②
由①②解得
或
[例6] 判断命题“若
,则
有实根”的逆否命题的真假。
解:方法一:写出逆否命题,再判断其真假
原命题:若
,则
有实根
逆否命题:若
无实根,则
判断如下:
∵
无实根 ∴
∴
∴“若
无实根,则
”为真命题
方法二:利用命题之间的关系:原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)证明。
∵
∴
∴
∴ 方程
的判别式
∴ 方程
有实根
故原命题“若
,则
有实根”为真
又因原命题与其逆否命题等价,所以“若
,则
有实根”的逆否命题为真
方法三:利用充要条件与集合的包含、相等关系。
命题
:
,
:
有实根
∴
:
:
方程
有实根}=
∵
∴
∴ 方程
的判别式
∴ 方程
有实根,即
∴“若
则
”为真
∴“若
则
”的逆否命题“若
则
”为真
∴ 若
,则
有实根的逆否命题为真
方法四:设
:
,
:
有实根,则
无实根
∴
∵
∴“若
则
”为真,即“若方程
无实根,则
”为真
[例7] 已知
,设P:函数
在R上单调递减;Q:函数
的值域为R,如果“P且Q”为假命题,“P或Q”为真命题,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由题意知P,函数
在R上单调递减,则
。Q:函数
的值域为R,则二次函数
必满足
且
,解之,得
。由“P且Q”为假命题,“P或Q”为真命题可知,P、Q中有且只有一个真命题,又由上述可知Q是P的真子集,则只能满足Q不成立P成立,∴
,故选A。
[例8] 若
是R上的减函数,且
,设
,
,若“
”是“
”的充分不必要条件,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由题意知
∵“
”是“
”的充分而不必要条件
∴
∴
,故选C。
【模拟试题】
一. 选择题:
1. 若
,则不等式
的解集是( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知
的解集为R,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
3. 不等式
的解集为( )
A.
B.
C.
D.
4. 不等式
的解集为( )
A.
B.
C.
D. 以上答案都不对
5. 如果函数
在区间(
)上为增函数,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
6. 命题
:若
,则
是
的充分而不必要条件;命题
:函数
的定义域是
则( )
A.“
或
”为假 B. “
且
”为真
C.
真
假 D.
假
真
7. 条件甲:“
”是条件乙:“
”的( )
A. 既不充分也不必要条件
B. 充要条件
C. 充分不必要条件
D. 必要不充分条件
8. 已知
:
,
:
,则
是
的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
二. 解答题:
1. 已知函数
(
为常数),且方程
有两个实根
。
(1)求函数
的解析式;
(2)设
,解关于
的不等式:
。
2. 已知集合
,
(1)当
时,求
;
(2)求使
的实数
的取值范围。
3. 解关于
的不等式
4. 设函数
的定义域为集合A,关于
的不等式
的解集为B,求使
的实数
的取值范围。
【试题答案】
一. 1. A
解析:原不等式
∵
∴
故解集为
2. C
解析:令
显然
时,
∴ 欲使
的解集为
,则
3. A
解析:由
,可知
与
异号,即
,故
4. C
解析:原不等式
,由数轴标根法,可知其解集为
或
5. B
解析:当
时,
,显然在
上单调递增
当
时,则有
综上
,选B。
6. D
解析:∵
,若
,不能推出
,而
,一定有
,故命题
为假,又由
,解得
或
,故
为真。
7. B
解析:∵
∴
∴
,即
,即
当
时,则
∴
,即
8. A
解析:命题
为
,即
:
或
为
,故
是
的充分不必要条件
二. 1. 解析:
(1)将
分别代入方程
,得
解得
所以
(2)不等式即为
,可化为
即
① 当
时,解集为
② 当
时,不等式为
,解集为
③ 当
时,解集为
2. 解析:
(1)
时,
,
∴
(2)① 当
时,
,
② 当
时,
,
当
,即
或
1,
欲使
,只需
得
当
,即
时,
,
∴
不可能成立
当
,即
时,
欲使
,只需
为
综上,可知当
时,
3. 解析:由
(1)当
时,
(2)当
时,
∴ 当
,原不等式解集为
当
时,原不等式解集为
4. 解析:由
,即
,解得
,即
由
由
(1)如果
,则
显然成立
故
,
成立
∴
符合条件
(2)如果
,即
时,
∵
,必须
∴
,得
(3)如果
,即
此时
,满足
∴
符合条件
综合(1)(2)(3)可得
的取值范围为(0,
)