函数图像的对称性
函数图像的对称性
一、 点的对称
1、在平面直角坐标系中,已知点P (a , b ) ,则
(1) 点P 到x 轴的距离为b ; (2)点P 到y 轴的距离为a ; (3) 点P 到原点O 的距离为PO = a 2
+b 2
2、平行直线上的点的坐标特征:
a) 在与x 轴平行的直线上, 所有点的纵坐标相等;
点A 、B 的纵坐标都等于m ;
X
b) 在与y 轴平行的直线上,所有点的横坐标相等;
点C 、D 的横坐标都等于n ;
X
3、对称点的坐标特征:
c) 点P
(m , n ) 关于x 轴的对称点为P 1(m , -n ) ,
即横坐标不变,纵坐标互为相反
数;
d) 点P (m , n ) 关于y
轴的对称点为P 2(-m , n ) , 即纵坐标不变,横坐标互为相反
数;
e) 点P (m , n ) 关于原点的对称点为P 3(-m , -n ) ,即横、纵坐标都互为相反数;
X
X
-X
关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称 4、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征:
f) 若点P (m , n )在第一、三象限的角平分线上,则m =n ,即横、纵坐标相
等;
g) 若点P (m , n )在第二、四象限的角平分线上,则m =-n ,即横、纵坐标互
为相反数;
X
在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上
二、(一次函数) : 1、若直线与直线
关于
(1)x 轴对称,则直线l 的解析式为 (2)y 轴对称,则直线l 的解析式为
(3)原点对称,则直线l 的解析式为
(4)直线y =x 对称,则直线l 的解析式为
(5)直线对称,则直线l 的解析式为
2、直线y =k 1x +b 1(k 1≠0)与y =k 2x +b 2(k 2≠0)
的位置关系 (1)两直线平行⇔k 1=k 2且b 1≠b 2
(2)两直线相交⇔k 1≠k 2
(3)两直线重合⇔k 1=k 2且b 1=b 2
(4)两直线垂直⇔k 1k 2=-1
三、二次函数:
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1. 关于x 轴对称
y =a 2x +b x +关于c x 轴对称后,得到的解析式是y =-ax 2-bx -c ;y =a (x -h )2
+k 关于x 轴对称后,得到的解析式是y =-a (x -h )2
-k ; 2. 关于y 轴对称
y =a 2
x +b x +关于c y 轴对称后,得到的解析式是y =ax 2-bx +c ; y =a (x -h )2
+k 关于y 轴对称后,得到的解析式是y =a (x +h )2
+k ;
3. 关于原点对称
y =a 2x +b x
+关于原点对称后,得到的解析式是c y =-ax 2
+bx -c ; y =a
(x -)h 2
+关于原点对称后,得到的解析式是k y =-a (x +h )2
-k ;
4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)
y =a 2
x +b x
+关于顶点对称后,得到的解析式是c y =-ax 2
-bx +c -b 2
2a
; y =a (x -h )2
+k 关于顶点对称后,得到的解析式是y =-a (x -h )2
+k .
5. 关于点(m ,n )对称
y =a (x -h )2
+k 关于点
(m ,n )
对称后,得到的解析式是
y =-a (x +h -2m )2
+2n -k
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此
a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原
则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
注意:本部分内容的理解最好结合图形