从张量概念到张量分析57

第25卷,第3期????????????????；从张量概念到张量分析；黄??勇,魏屹东；(山西大学科学技术哲学研究中心,山西太原0300；摘??要:张量分析是现代数学物理学的基础工具；关键词:张量;线性变换;协变微分;绝对微分；中图分类号:N09??????文献标识码:A??；????亚瑟??凯莱(ArthurCayley)；义,并定义了两个矩阵的和；的定

第25卷,第3期??????????????????????科学技术与辩证法Vo.l25??No.32008年6月????????????????????Science,TechnologyandDialectics????????????????????Jun.,2008??科技史??

从张量概念到张量分析

黄??勇,魏屹东

(山西大学科学技术哲学研究中心,山西太原030006)

摘??要:张量分析是现代数学物理学的基础工具。从广义相对论开始,到规范场论,以至后来的弦理论的建立都得力于张量分析。张量分析所提供的对曲线坐标系的微分方法,真正实现了非欧几何从概念到演算的革命,而所有这一切都是以张量概念的产生为基础的,黎曼的新几何学观念是张量概念产生的原动力之一。另一方面,黎曼几何学与张量分析的交织发展体现在许多方面,文章描绘这两者从起源到成熟的过程中互相促进的历史。

关键词:张量;线性变换;协变微分;绝对微分

中图分类号:N09??????文献标识码:A??????文章编号:1003-5680(2008)03-0080-04

亚瑟??凯莱(ArthurCayley)着力研究的不变量理论(invarianttheory)导致了矩阵理论的建立,引进了现代意义上的行列式的代数表达,这成为射影几何的重要工具。凯莱的不变量理论产生于19世纪前半叶的英国着重对代数及代数在几何方面的应用研究这样的背景下。矩阵理论对线性变换的研究引进了向量的代数定义,而这是张量概念的先导。另一方面,格奥尔格??弗雷德里希??波恩哈德??黎曼(GeorgFriedrichBernhardRiemann)提出的n维流形的概念,这在客观上提出了深入研究代数形式的课题。黎曼的几何思想在拓展几何学的同时,提高了代数在表达几何对象方面的抽象程度。黎曼之后,在克里斯托弗、里奇和列维-契维塔等人的努力下,形成了张量分析这样的数学方法,黎曼几何学也因此而建立起来了。

义,并定义了两个矩阵的和。凯莱给出了矩阵乘法

的定义,并强调指出,矩阵乘法是可结合的,但一般不满足交换律。

凯莱开创的矩阵代数在19世纪沿着两个方向发展,一个是抽象代数结构,另一个则被用于几何学上。凯莱以代数观点研究几何,他的方法建立在不变量问题基础上,对代数形式(齐次多项式)做出了几何解释,证明了度量概念能够用射影语言来表达。他对欧氏几何与射影几何关系的研究,使他得出了关于图形度量性质的新意义。凯莱从平面上的点可以用齐次坐标表示的事实出发,定义了距离与角度。凯莱证明,矩阵代数表达的关于距离与角度的公式,可化成欧氏几何中的相应公式。

矩阵代数的另一个方向是关于抽象代数结构的不变量的研究。凯莱在数学上最早、最重要的工作之一,是创立不变量理论。凯莱在1843年发表?关于物体的旋转运动#一文,开始计算n次型的不变量,探求在线性变换下n次型的不变量???线性变换后保持形式不变。凯莱的不变量理论建立在他独自发展的矩阵理论基础之上,凯莱的矩阵代数方法,扫清了数学进化的道路。凯莱对不变量理论的研究

一??凯莱的向量代数定义的张量内涵

凯莱的开创性工作是矩阵论。1841年,凯莱在论文 关于位置几何的定理!中引进了矩阵的基本概念和运算,在此之后,凯莱系统研究了矩阵理论。1858年发表 矩阵论的研究报告!一文,引进了矩阵的基本概念和运算,给出了零矩阵、单位矩阵的定

%收稿日期&??2007-12-13

%作者简介&??黄??勇(1969-),男,四川乐山人,科学史博士生,研究方向为数学史;

魏屹东(1958-),男,山西永济人,山西大学科学技术哲学研究中心教授,博士生导师,研究方向为科技史。

与前人工作的分野在于他是通过不变量理论来研究、解决几何问题,他对射影几何的突出贡献就是在这样的思想指导下完成的。

这些方面的工作逐渐导向了对线性变换新的研究。凯莱引入的n?n矩阵的特征方程的概念,成为凯莱研究线性变换理论的先导。运用矩阵代数方法,凯莱对线性变换进行了研究,从而引向了向量的代数定义。1845年,凯莱发表 线性变换理论!一文,探讨求不变量的方式,给出了如何求n次齐次函数的不变量的计算方式。1846年,凯莱发表 论线性变换!一文,引入了 协变量!(covariance)的概念,找到了求不变量的一般方法。凯莱表述了在一般意义下的代数不变量问题,深入研究了求不变量的一般方法,构造了处理不变量的符号系统,并且得到了一系列重要结果。

[1]

讲,这篇就职演说是黎曼几何学的源头。黎曼提出了n维微分流形的原始形式,从几何角度引进了抽象空间

[2]

,与凯莱、西尔维斯特、格拉兹曼等人从代

数角度建立抽象空间互相补充,揭开了现代数学的帷幕。黎曼创立的黎曼几何学,开辟了现代几何学,乃至现代数学的新路径。

黎曼主要研究几何空间的局部性质,他采用微分几何的途径,建立了一般的抽象几何空间。黎曼

引入流形的概念,流形中的一个点可以用n个可变参数的一组数值来表示,所有这些点的全体构成流形,这个可变参数称为流形的坐标,黎曼定义了流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角,并以这些概念为基础,研究了流形的几何性质,并定义了度量曲面弯曲程度的曲率。

黎曼在1854年的著名演说中提出的二次形式(gijd??id??j,由黎曼本人在1861年提交给法国科学院的论文中,采用线性变换不变量的方法,对这个二次形式进行了研究。实际上,黎曼找到了黎曼曲面曲率的张量表达。

黎曼深刻的思想打开了曲线微分运算的大门,他提出一般空间的度量形式;提出 流形!概念;对流形的度量形式进行微分运算,以得到给定空间的曲率。黎曼的新思想把通常熟悉的三维空间推广到n维空间中的m维可微流形,黎曼的高维空间思想发展了高斯的内蕴微分几何学的思想,他把高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推广为任意空间的内蕴几何。流形不依赖于外围空间,它本身是可以弯曲的,因此每一点在该空间中的局部不一定相同。这种空间的非欧性质提出了新的问题:传统的微分几何方法是在笛卡尔空间中进行的微分运算,坐标轴都是直线。而黎曼空间要求曲线坐标系,从而引起了微分运算的困难,因为直线坐标系中函数的偏微分是易于表达的,而曲线坐标系的基向量也要同时被微分,这是一个困难。要想解决这个问题,必须要有张量这个运算工具,因此,黎曼的思想在很大程度上推动了张量数学的产生。

黎曼关于任意维数的几何空间以及曲坐标中多变量微分的理论,导致了张量、外微分及联络等现代数学方法的建立。爱因斯坦以黎曼几何为基础,建立了几何化的引力理论。现在,黎曼几何已成为现代数学物理学的基础。

凯莱对代数形式的不变量研究,使得凯莱明确了向量的代数意义,其重要意义是表示了向量在坐标变换下的不变性,为张量概念的引进铺平了道路。凯莱的贡献是很重要的,一方面他引进了线性变换的研究;另一方面,他对不变量理论的新方法提供了向张量数学发展的途径。事实上,里奇最终能够实现绝对微分学的张量表达,在很大程度上依赖凯莱

的工作。

二??黎曼的几何思想的张量内涵

19世纪后半叶,几何学这种用来表征自然的语言正在发生着质的变化,产生这种变化的原因有三点:其一,非欧几何思想的产生打破了空间平直的僵硬观念;其二,向量分析建立起来,几何方法暨解析几何之后,有了新的实质突破;其三,黎曼发表划时代演说,高维、弯曲空间概念在凯莱的代数层面研究之后,有了几何学的意义。在这样的背景下,新的几何学,也就是后来被称为黎曼几何的数学分支开始了从概念阶段到可计算阶段发展的历程,而真正实现这个转变的是张量分析方法的建立。新几何学提供了这样一种方法:在高维的、曲线的坐标系中,如何进行微分运算。其中,最重要的是曲线坐标系的微分方法???绝对微分法的建立。现代科学自广义相对论之后的发展,尤其是弦理论的成果,充分证明了这种方法在表征自然方面的强大能力。

黎曼开创的高维抽象几何的研究是几何史上一场深刻的革命,他提出的后来以其名字命名的几何体系,对现代数学和物理科学的发展产生了深刻的影响。1854年,黎曼为了取得哥廷根大学讲师的资格,作了一次题为?关于作为几何学基础的假设#演

三??张量分析方法成为黎曼几何学的核心

1869年,克里斯托夫(E.B.Christoffel)通过建立以他的姓命名的两类克里斯托夫符号和协变微分

概念,解决了黎曼几何中的基本问题。在此基础上里奇(G.Ricci)发展了绝对微分法(后来称为张量分析方法),这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。1915年,爱因斯坦(A.Einstein)运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论???广义相对论,使黎曼几何及其运算方法(里奇算法)成为广义相对论研究的有效数学工具。

(一)从曲率张量到绝对微分法

克里斯托夫符号是对曲线坐标系中向量进行求导运算的符号。最早尝试寻找这种求导运算方法的是黎曼,在1861年的论文中

[3]

前提,非欧几何的可计算阶段已经实现,黎曼几何已经成形了。 克里斯托夫引进的这两个概念的重要意义至少在于:帮助建立曲率张量和协变微分概念;使得里奇可以借助他的工作发展出绝对微分学;使得爱因斯坦在物理学中构造张量分析方法。!Civita)合写了?绝对微分法及其应用#

[7]

[6]

1901年,里奇和他的学生列维-契维塔(Levi-,总结了里

奇在这个领域的成果,成为张量分析的经典著作。这篇论文不仅给出了这一算法的综合论述,而且还用这一独特算法给出在黎曼弯曲空间下的几何性质和物理规律的表示。由于绝对微分学研究协变关系,即从一个坐标系变到另一个坐标系后仍然保持不变的关系,这一特征使绝对微分学成为爱因斯坦广义相对论的有效的数学工具。 各种非欧几何在罗巴切夫斯基,凯莱,贝尔特拉米以及许多人之后的发展,已经显示出平行假设的变化。而黎曼打开的建立在微分形式上的方法,以及克里斯托夫建立的新概念,到了里奇那里,完成了曲线微分方法的总结性工作。!

[8]

,黎曼计算了给定度

量(gijd??id??j的空间中曲率的计算方法,为此黎曼引进了一类特殊的量Pijk,也就是类似于后来的克里斯托夫符号的表达方式。

黎曼的1861年论文中所使用的技术是凯莱引进的线性变换不变量方法。他所考虑的问题是:在什么条件下,可以通过方程组把ds=i,(gijdxidxj变j=1换成ds)=i,(hijdyidyj。为了解决这个问题,黎曼在j=1这篇32页的论文中,引进了一个符号Pijk,这个符号也就是后来所谓的协变微分。黎曼对n维流形的线素:ds)=(bl,l)dsldsl)的平方根进行微分,最终得到:,l)l

al,?? al) al,l),??

P??,l,l)=+-l)l 这与Christoffel符号:

g?? g#? g?#

!?#,?=(+-)

2#??

本质上是一样的。

黎曼开创的几何学的新思想在很大程度上影响了数学的面貌。 (黎曼)的分析技术包括度量和曲率张量,他在几何领域创造了富有意义的变革,并且

改变了几何问题的前景。黎曼的观点主导了微分几何,直到嘉当学派引进活动标架法。!

[4]

22

n

2

n

(二)张量分析实现了黎曼的几何思想黎曼几何作为非欧几何的一种,它与罗巴切夫斯基几何相比,有着实质性的不同。罗氏几何主要工作是建立了一整套区别于欧几里得的?几何原本#的逻辑体系;而黎曼几何的核心问题是以微分

几何为基础,建立曲线坐标系中的微分方法。罗氏几何是第一个被提出的非欧几何学,它的基本观点是:第一,第五公设不能被证明;第二,可以在新的公理体系中展开的一连串推理,得到一系列在逻辑上无矛盾的新的定理,形成新的理论。罗氏几何学的公理系统区别于欧式几何学之处,仅仅是把欧式几何平行公理改为: 从直线外一点,至少可以做两条直线和这条直线平行!。黎曼几何与罗氏几何的平行公理相反: 过直线外一点,不能做直线和已知直线平行!。也就是说,黎曼几何规定:在同一平面内任何两条直线都有公共点,黎曼几何学不承认存在平行线。很自然就有另一条公设:直线可以无限延长,但长度是有限的,这可以类比为一个球面。

黎曼几何是通过微分几何的途径建立起来的,因此与罗氏几何根本不同。黎曼几何学的公理体系引进了一种 弯曲的!几何空间(它可以通过拉梅引进的曲线坐标系描述),黎曼在构想这种几何学的时候,就想设法建立起相应的代数结构。这个目标黎曼本人没有实现,但沿着他开辟的道路,克里斯托夫和里奇完成了新几何学的构建。换句话说,张量

克里斯托夫直接继承了黎曼的思想,所不同的是,克里斯托夫虽然和黎曼一样是从二次微分形式开始的,但是他不是计算流形的曲率,而是考虑局部等价问题(thelocalequivalenceproblem)导出了协变微分公式。克里斯托夫在1869年发表?二次微分形式的变换#

[5]

一文,开始研究Christoffel符号,这

篇论文考察了两个n变量实二次微分形式互相变换的条件。克里斯托夫证明了等价变换是由一个点的初始值决定的。论文中克里斯托夫引进了曲率张量的分量Rbcd,Ra

abcd

,并且建立了曲率张量方程。

这些结果为里奇建立绝对微分法准备了必要的

分析构成了黎曼几何学的核心内容。这表现在若干方面:1.黎曼空间中的曲率是一个张量,其有关运算需采用绝对微分法;2.黎曼空间的度量以度量张量表达;3.黎曼空间的 平行!定义为标积保持不变(即平行被定义为与曲线的夹角保持不变),依赖克里斯托夫符号;4.黎曼空间的 直线!(短程线)方程的建立依赖协变微分。

正因为有了张量分析这个工具,黎曼几何才获得了类似于微积分一样的计算功能,从而摆脱了停留在逻辑构造层面上的束缚,从根本上与微分几何实现了传承,并实现了微分几何从直线坐标系到曲线坐标系的进步,使得几何学与代数学更紧密地联系起来。

对三维曲面的研究转向了n维流形的性质。这是张量概念的起源时期,在此之后,克里福德、李普希兹、贝尔特拉米继续进行了研究,是张量数学发展的第二阶段;最终建立张量分析的是克里斯托夫、里奇??库尔巴斯特罗、列维??契维塔,而爱因斯坦和格罗兹曼实现了张量分析的物理意义。

另一方面,向量的平移不变的性质为微分几何的研究提供了便利,微分几何需要揭示曲线和曲面的内在性质,这种性质既与坐标系的选择无关,又与参数的选择无关,向量这种函数恰好满足这种要求,所以微分几何离不开向量分析的方法。上面说过,向量分析是直角坐标系(也就是笛卡尔空间)中的分析,可是,在后来的发展中,微分几何对曲线、曲面等几何对象的研究渐渐形成了摆脱直角坐标系,而直接在曲面上寻找基向量,建立坐标系的方法,从而形成了弯曲空间的概念。自黎曼开始,微分几何开始向高维、弯曲空间发展。

要而言之,张量分析的产生一方面是向量分析的推广,另一方面是微分几何的发展推动。张量分析与黎曼几何在相互交织中发展,互相促进。

%参??考??文??献&

[1]A.Cayley,OnLinearTransformations[A](1846).TheCol??

lectedMathematicalPapers[C].CambridgeUniversityPress,1889(1):95-112.

[2]G.F.B.Riemann,UberDieHypothesen,Welchedergeome??

triezugrundeliegen[A](1854).BernhardRiemann,Gesa??mmeltemathematischewerke,collectedpapers[C].Leipzig,1990.272-287.

[3]G.F.B.Riemann,Commentatiomathematica,quarespondere

tentaturquaestioniabAcademiaParisiensipropositae[A](1861).BernhardRiemann,Gesammeltemathematischewerke,collectedpapers[C].Leipzig,423-455.

[4]E.Portnoy,Riemann?sContributiontoDifferentialGeometry

[J].HistoriaMathematica,1982,9:1-18.

[5]E.B.Christoffe,lUeberdietransformationderhomogenen

differentialausdruckezweitengrades[J].ReineAngew.Math,1869,70:46-70.

[6]P.L.Butzer,E.B.Christoffe.lTheInfluenceofHisWorkonMathematicsandthePhysicalScience[M].Boston:Stutt??gart,1981.13-14.

[7]G.Ricc,iM??thodesdecalculdiff??rentielabsolusetleursap??

plications[J].MathematischeAnnalen,1901,54:128-201.

[8]J.L.Coolidge,AHistoryofGeometricalMethods[M].Ox??

ford,1940.421.

四??结束语

19世纪中叶,数学经历了深刻的变革,在空间观念、微分运算、符号抽象等方面极大地进步了。此前数学的发展更多地表现为循序渐进的模式,而在此之后,则体现了一种根本性的转变,被数学史家称为 数学的解放!。19世纪初非常活跃的研究领域是这种转变的源动力,构成了突破式发展的前史。

这些领域包括:1、爱森斯坦、柯西关于方程论的矩阵理论,简洁地表达了方程组,为向量的代数化准备了工具;2、高斯建立在内蕴微分几何基础上的非欧几何理论。高斯不同于萨凯里、兰博特、波尔约、罗巴切夫斯基等人对非欧几何的研究,他从微分几何关于曲面的研究中自然地得出他的非欧几何概念,而不是和他的同辈一样局限在建立非欧几何的逻辑基础,高斯开拓了非欧几何的更有意义的研究方向;3、哈密顿提出四元数理论之后,由泰特和麦克斯韦发展出的向量分析,即建立在向量基础上的微积分运算,是解析几何之后,几何的代数化方面实质性的突破。

这些领域的研究打破了三维、平直的欧几里得空间观念,为后来引进高维、弯曲的坐标系,以及曲线坐标系中的微分运算,奠定了基础。从1840年代, 数学的解放!开始了,解放的结果是代数与几何高度融合,发展出被称为 张量演算!(即曲线坐标系中广义向量的微分运算)的数学方法,这使得建立方程的能力大大提高了。

数学解放的开端时期大致在1841年到1854年间,分别由凯莱和西尔维斯特在矩阵论、格拉兹曼在向量理论、黎曼在微分几何领域,提出革命性的观点和理论。他们改变了传统数学的发展方向:凯莱将矩阵论从方程论转向了变换理论;格拉兹曼将向量理论转向了n维向量空间的研究;黎曼将内蕴几何

(责任编辑??邢润川)

andbereconstructedontheholisticnotionofthehumanculturalsystem.

CharacteristicsandResearchPathsofMarx?sTechnologyThoughtWANGBo-lu????33??

Marx?stechnologythoughtisthemaintributaryandtheorganiccomponentpartofMarx?sthoughtsystem.ThisarticlehasprovedtheexistenceofMarx?stechnologythought,roughlycardedthemainliteratureofMarx?stechnologythought,outlinedthebasiccharacteristicsofMarx?stechnologythought,andputforththeprinciplesandmethodsininterpretingMarx?stechnologythought.ThewriterthinksthatgivingMarx?stechnologythoughtacomprehensivecardingshouldbeanmportanttaskinconteimporary.

PhilosophicComprehensionaboutPossibleWorldsofTechnology

JUNai-q,iXINGRun-chuan,WANGZhi-yuan????55??

Possibleworldsoftechnologymeantechnologicalfuturestatesthatwillbebuiltandmoldedbysocietyfrommanypos??sibletechnologiescomingoutofthepracticaltechnologicalworld.Thepossibleworldsoftechnologywhicharebasedonlog??icimplication,

informationtechnologyandbiologictechnologyarethethreebasictechnologicalpatterns.Developmentin

thepossibleworldsoftechnologyshowsthattechnologicalpracticeisthecoursethoughwhichnaturalmysteryisopenedoutandvitalcharmiswipedout,andthatthewholeuniverseiswheretechnologybothexistsandiscreated.Fictitioustechnol??ogyopenswindowsthroughwhichsubjectunderstandstheouterworld.Thatis,theworldistheoneoftheobserverhim??sel.fTechnologyprecedesscience,thusitshouldbeputintoastrategicpositionforustolayoutandstudytechnology.

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WUJie,LIRun-zhen,CHENGShou-hua????62??

Thedevelopmentofnaturalscienceandsocialscience,especiallythestudyofcomplexsystemscience,showsthatfromtheinorganicmaterialworldtothecomplexsocialeconomicalworldarealloftheprocessesfromdisordertoorder,andthemaindynamicalcauseissymmetrybreaking.Thepaperstudiesthephenomenonofsymmetrybreakinginnaturalscienceandsocialscience,pointingoutthatsymmetrybreakinghasontologica,lepistemologicalandmethodologicalmeaning,thusenucleatingthatsymmetrybreakingisafundamentalprincipleoftheevolvementofnature.

OnTensor:fromConcepttoAnalysisHUANGYong,WEIYi-dong????80??

Tensoranalysisisabasicmethodformodernmathematicphysics.Thegeneraltheoryofrelativity,thegaugetheoryandthesuperstringtheoryareallfoundedontensoranalysis.Onthebasisoftheconceptoftensor,tensoranalysisoffersdiffer??entialcoefficientmethodforcurvilinearsystemofcoordinates,whichhasactuallyrealizedarevolutionforNon-Euclideangeometryfromconcepttofigure.Herein,

thispaperputsemphasisontheforminganddevelopmentoftensoranalysis.

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TheComparisonandAnalysisoftheDisseminationpatternsofScienceandTechnologybetweenChinaandJapanintheLateQingDynasty

GAOJian-ming,LIBin????84??

InthelateQingDynastyperiod,ChinaandJapanbegantointroducewesternscienceandtechnologytotheirlands,butthedisseminationpatternsofscienceandtechnologyinbothcountrieshadnotabledifferenceswhichwereembodiedinthecoreelementsofscienceandtechnologydisseminationanditsexternalconditions.Thedifferencesweredeterminedbythenatureofthesetwostatesandhadledtodifferentresults.

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