幂零矩阵的标准形
第24卷第1期
2008年2月河北北方学院学报(自然科学版) Journal of H ebei No rth University (N atural Science Edition) V ol 124N o 11Feb 12008
幂零矩阵的标准形
王兆飞
(河北北方学院理学院, 河北张家口075000)
摘要:利用幂零矩阵的概念, 在一般数域上讨论了幂零矩阵的一些性质, 给出了矩阵是幂零矩阵的一个充
要条件, 最后利用幂零线性变换的概念, 在一般数域上讨论了幂零线性变换一定存在一组基使其在这组基下的
矩阵是若当形矩阵, 从而给出幂零矩阵的若当标准形.
关键词:幂零矩阵; 幂零线性变换; 若当标准型
中图分类号:O 151121 文献标识码:A 文章编号:1673-1492(2008) 01-0004-04
Canonical Form of Nilpotent Matrix
WANG Zhao -fei
(Colleg e of Science, Hebei N or th U niversit y, Z hang jiakou 075000, H ebei, China)
Abstract:In this paper , the co ncept o f nilpotent m atrix is used to discuss som e character s of the ni-l potent matr ix in general num ber field. M eanw hile, a full essential conditio n that makes the matrix a nilpo -tent matrix is g iven. A t last, the concept o f nilpotent linear transformation is used in g eneral number field to discuss the statement that there must be a gro up of bases w ith w hich the effo rt of the nilpotent liner tr ansform ation gets a matrix called Jo rdan m atrix , thus the Jordan canonical form of the nilpotent matrix is given.
Key words:nilpotent m atr ix ; nilpotent linear transfor matio n; Jordan canonical form
1 幂零矩阵的性质
定义1[1] 设A 是数域F 上的n @n 矩阵, 如果存在自然数m, 使得矩阵A 满足A m =0, 则称A 为幂零矩阵.
定义2 设A 是数域F 上的n @n 幂零矩阵, 使得A =0成立的最小自然数m 称为矩阵A 的幂零指数. 并称A 是m 次幂零矩阵.
命题1 幂零矩阵都不可逆.
证明 设A 为数域F 上的n @n 幂零矩阵, 即存在自然数m, 使A =0. 假设A 可逆, 则|A |X 0. 于是|A m |=|A |m X 0, 故A m 也可逆. 这与A m =0矛盾. 所以幂零矩阵都不可逆.
命题2 数域F 上的n @n 幂零矩阵A 一定有特征值, 且数域F 上的n @n 矩阵A 为幂零矩阵的充分必要条件是它的特征值全为0.
证明 设A 是数域F 上的n @n 幂零矩阵, 幂零指数是m, 则A m =0. 于是|A m |=|A |
n m m [2]m =0, 因此|A |=0. 由此得|0E -A |=|-A |=(-1) |A |=0, 这说明0是数域F 上的n @n 幂零矩阵
A 特征值.
设A 是数域F 上的n @n 幂零矩阵, 幂零指数是m, 则A m =0, 若K 为! 的任一特征值, A 为相应的 收稿日期:20070611
作者简介:王兆飞(1963-) , 男, 河北张家口人, 河北北方学院理学院数学系副教授, 学士.
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2008年2月 王兆飞:幂零矩阵的标准形 第1期
m m 一个特征向量, 则! A =K A , A m A =K A =0, 只能K =0, 故K =0.
n 反之, 由于A 的特征值全是0, 所以|K E -A |=K , 由哈米顿-凯莱定理[3]得A n =0, 由幂零矩阵
的定义, A 为幂零矩阵.
n 推论1 数域F 上的n @n 幂零矩阵A 的特征多项式|K E -A |=K .
[4]m 命题3 数域F 上的n @n 幂零矩阵A 的最小多项式是K , 其中m 是A 的幂零指数.
m 证明 因为m 是A 的幂零指数, 所以A m =0. 从而K 是一个以A 为根的多项式. 因此A 的最小多
m m 项式是K 的因式. 由于当0
推论2 设A 是数域F 上的n @n 幂零矩阵, 则A 的幂零指数F n.
命题4 设A 是数域F 上的n @n 幂零矩阵, 则A c , k A, A 均为幂零矩阵.
证明 设A 为数域F 上的n @n 幂零矩阵, 所以A 的特征值为0. 从而A c , k A 的特征值也全为0. 故A c , kA 为幂零矩阵.
由于A 为幂零矩阵, 所以|A |=0, 故A *的秩只能为0或1. 当r (A *) =0时, A *=O 也是幂零矩阵, 结论成立; 当r (A *) =1时, 有r (A) =n -1. 又A 的特征值全为0, 存在可逆矩阵T , 使
0 10 1
A =T -1 w w T =T -1J T , 其中J = w 1 w w . 由A *B *=B *A *, 有A *=T *J *
w 1[2]*
(T *) -1, 显然J *的特征值全为0, 所以A *也是幂零矩阵.
命题5 数域F 上的所有指数为n -1的n @n 幂零矩阵彼此相似.
证明 设A 是数域F 上的n @n 幂零矩阵, 其指数是n -1, 则A =0. 因为当0
n -1[5]X 0, 所以A 的最小多项式是d n (K ) =K . 故特征矩阵K E -A 的不变因子为d 1(K ) , =d n -2(K )
n -1=1, d n -1(K ) =K , d n (K ) =K .
由A 的任意性, 数域F 上的所有指数为n -1的n @n 幂零矩阵的特征矩阵的不变因子[6]是一致的. 因而数域F 上的所有指数为n -1的n @n 幂零矩阵彼此相似. n -1r
2 幂零矩阵的标准形
为了得出幂零矩阵的标准形, 首先引入幂零线性变换的概念.
m 定义3[7] 设R 是n 维线性空间V 上的线性变换, 如果存在自然数m , 使得R =0, 则称R 是幂零线
性变换.
定义4[8] 设R 是n 维线性空间V 上的幂零线性变换, 则使R m =0的最小自然数m 称为R 的指数. 显然, 幂零线性变换在任意一组基下的矩阵都是幂零矩阵.
由命题2和定义4立刻得到
命题6 设R 是n 维线性空间V 上的幂零线性变换, 则R 有唯一的特征值0.
命题7 设R 是n 维线性空间V 上的幂零线性变换, m 为R 的指数, 则对任意的非零向量A I V, 向量组A , RA , , R m -1A 线性无关.
设R 是n 维线性空间V 上的幂零线性变换, m 为R 的指数, 对非零向量A I V , 令W (A ) =L (A ,
m -1[9]R A , , , R A ) , 则W (A ) 为R 的一个不变子空间, 且dim W (A ) =m, 称W (A ) 为由A 生成的R 的
m -1循环不变子空间. R |W (A ) 在W (A ) 的基A , RA , , R A 下的矩阵为:
0 1 0
J = w w
w w
1 0#
2008年2月 河北北方学院学报(自然科学版) 第1期
设M 是R 的一个不变因子空间, 则V 对M 的商空间[10]为V =V/M ={A +M |A I V}. dim V =dim V -d imM.
设U :V y V; A 3y A =A +M 是V 到V 一个线性映射, 称为自然映射. 因为M 是R 的一个不变子空间, 故R 在V 内可诱导变换:RA =R (A +M ) =RA +M =RA . 或用U 表示为U (RA ) =R A =RA =RU (A ).
k k k k k 由此可知R 与U 的作用可变换. 显然, R R A +M =即U (R A ) =R U (A ). 由此可知R 与U 的作
m m 用可交换. 如果R A =0, 则对任意I 有R . 故R 在V/M 内诱导的变换也是幂零线性变换.
命题8 设R 是n 维线性空间V 上的指数为m (m >0) 的幂零线性变换, 记M ={A I V |RA =0}, 对非零向量A =A +M I V =V/M , W (A ) 为R 在V 内诱导的一个k 维循环不变子空间, 则W (A ) 为R 在V 内的一个k +1维循环不变子空间, 即W (A ) =L (A , R A , , , R A ) , 且R A I M.
k -1k k k k 证明 由条件W (A ) =L (A , RA , , , R ). 因R k =, 由U (R A ) =R U (A ) =R =知R A I
k M. 从而R k +1A =0. 这里R k A X 0. 否则, 若R k A =0, 则由R A =R (R k -1A ) =0推出R k -1A I M. 从而U
k -1k -1k -1(R A ) =R U (A ) =R , 这与W () 为R 在内诱导的一个k 维循环不变子空间矛盾. 于是W
k (A ) =L (A , RA , , , R A ) 是R 在V 内的一个k +1维循环不变子空间, 且R k A I M. k k
定理1 设R 是n 维线性空间V 上的指数为m (m >0) 的幂零线性变换, 则在V 内存在一组基, 使R 在该组基下的矩阵是若当标准形.
证明 首先证明V 能分解为R 的循环不变子空间的直和. 为此对n 作数学归纳法.
当n =1时, 在V 中取一组基E 1, 则RE 1=K 0E 1, K 0为R 的特征值, 由命题6知K 0=0, 即R E 1=0, 于是R 的矩阵为(0) , 显然是若当标准形.
假设对维数小于n 的线性空间已成立, 则当dim V =n 时, 若R =0, 则结论成立. 当R X 0时, 令M ={A I V |RA =0}, dimM E 1, 故dim V =dim V -dimM
k k s A 下面证明R k 1A 1, R 2A 2, , , R s 为M 内的线性无关组. 若
k k k 1A x 1R 1+x 2R 2A 2+, x s R s A s =0
k -1k -11因k i E 1, 所以有R (x 1R A 1+x 2R 2A 2+, x s R k s -1A s ) =0, 这说明
k -1k -1x 1R k 1-1A 1+x 2R 2A 2+, x s R s A s I M
k -1k -1k -1k -1i 两边用自然映射U 作用, 因U (R A i ) =R i U (A i ) =R i i I W (i ) , 且R i s 为W (i ) 的基
向量之一, 故R i k -1i X 0. 于是x 1R i k -11+x 2R 2k -1k -12+, x s R s k -1k -1s =0. 由于和W (A 1) +W (A 2) +, +W k k k i (A s ) 为直和, 零向量0表法唯一, 即x i R i i =0, 而R 12i X 0. 故x i =0. 因此R A 1, R A 2, , , R s A s
为M 内的线性无关组.
k k [11]k 2把R 1A 1, R A 2, , , R s A s 扩充为M 的一组基:
2R 1A 1, R A 2, , , R s A s , B 1, B 2, , , B t k k k (1)
1, B 2, t ) , 现证令N =L (B , , B
V =W (A 1) ÝW (A 2) Ý, ÝW (A s ) ÝN
首证上式右端子空间之和为直和. 设
B c 1+B c 2+, +B c s +n =0(B c i I W (A i ) , n I N )
因U (n) =0, 所以0=U (0) =U (B c 1) +U (B c 2) +, +U (B c s ). 对B c i I W (A i ) ,
i i k 有B c i =b i 1A i +b 2RA i +, +b i k i R k i -1A i +b k +1R i A i (i =1, 2, , , s) , i
i i k -1i k i i i k -1则R (B c i ) =b i 1U (A i ) +b 2U (RA i ) +, +b k U (R i A i ) +b k +1U (R i A i ) =b 1A i +b 2RA i +, +b k R i i i i
k i A i 所以U (B c i ) I W (i ) , 而E W (A i ) 为直和, 表法唯一, 故U (B c i ) =. 于是B c i =b i k i +1R i . 令(2)
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2008年2月 王兆飞:幂零矩阵的标准形 第1期
1k 2k s k n =c 1B 1+, +c t B t , 代入(2) 式得b k +1R 1A 1+b k +1R 2A 2+, +b k +1R s A s +c 1B 1+, +c t B t =0. 因向量组12s
(1) 为M 的一组基, 故b 1=, =b s =c 1=, =c t =0. 于是B c 1=B c 2=, =B c s =n =0, 即零向量分解唯一. 由于dim (W (A 1) ÝW (A 2) Ý, ÝW (A s ) ÝN ) =E d im W(A i ) +dimN =E (k i +1) +t =E k i +s +t =E i =1i =1i =1i =1W (A i ) +dimM =d im V +dim M =n =d im V.
故V =W (A 1) ÝW (A 2) Ý, ÝW (A s ) ÝN =W (A 1) Ý, ÝW (A s ) ÝW (B 1) Ý, ÝW (B t ) , 其中N 的
t 满足R i ) =W (B i ). 因此V 能分解为R 的循环不变子空间的直和. 一组基B 1, , , B B i =0, 故L (B
其次, 证明R 在某一组基下的矩阵是若当标准形. 由于V 能分解为R 的循环不变子空间的直和, 设V
k i =W (A 1) ÝW (A 2) Ý, ÝW (A s ) , 在每个W (A i ) 内选取基A i , R A i , , R A i , 则它们合并起来为V 的s s s s
一组基, 易知在此组基下的矩阵即为若当标准形.
由矩阵与线性变换的关系有
定理2 数域F 上的n @n 幂零矩阵A 相似于若当形矩阵.
至此我们利用幂零线性变换证明了一般数域上的幂零矩阵都相似与一个若当形矩阵. 进一步我们还可证明在一定条件下一般数域上的矩阵也相似与一个若当形矩阵, 限于篇幅这里就不再讨论了.
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