反函数专题练习试卷及解析

www.cakestudy.com

反函数专题练习试卷及解析

1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题

10x -1

, x ∈R ，函数y =f (x ) 是函数y =g (x ) 的反函数． 已知函数g (x ) =x

10+1

求函数y =f (x ) 的解析式，并写出定义域D

2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 已知函数f (x ) =a x -a +1,(a >0且a ≠1) 恒过定点(2,2) ．

(1)求实数a ；

(2)在(1)的条件下，将函数f (x ) 的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函

数g (x ) ，设函数g (x ) 的反函数为h (x ) ，求的h (x ) 解析式；

(3)对于定义在(1,4]上的函数y =h (x ) ，若在其定义域内，不等式

[h (x ) +2]2≤h (x 2) +h (x ) m +6恒成立，求m 的取值范围．

3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题 已知函数f (x )=lg (x +1).

(1)若0

(2)若g (x ) 是以2为周期的偶函数, 且当0≤x ≤1时, 有g (x ) =f (x ) , 求函数y =g (x )(x ∈[1, 2])的反函数.

www.cakestudy.com

4.2014年华约自主招生数学试题第3题

（1）求证：y =f (g (x )) 的反函数是y =g -1(f -1(x )) ．

（2）F (x ) =f (-x ) ，G (x ) =f -1(-x ) ，若F (x ) =G -1(x ) ，求证f (x ) 为奇函数．

5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题

1+a x

设f (x ) = （a >0 且 a ≠1），g (x ) 是f (x ) 的反函数. x

1-a

（Ⅰ）求g (x ) ； （Ⅱ）当0

1t 时，恒有g (x ) >log a 2 成立，求t 的取值范围； 2(x -1)(7-x ) 1

时，试比较f (1)+f (2)+…+f (n ) 与n +4 的大小，并说明理由. 2

（Ⅲ）当 0

6.2012年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 已知f (x ) =lg(x +1) ．

(1)若0

(2)若是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，g (x ) =y =g (x ) (x ∈[1,2]) 的反函数．

7.2012年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 已知函数f (x ) =lg(x +1) ．

f (x ，) 求函数

www.cakestudy.com

(1) 若0

(2) 若g (x ) 是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x ) =f (x ) ，求函数y =g (x ) (x ∈[1,2])的反函数．

8.2014年全国高考理科数学试题-上海卷第20题

2x +a

设常数a ≥0，函数f (x ) =x ．

2-a

(1)若a =4，求函数y =f (x ) 的反函数y =f -1(x ) ；

(2) 根据a 的不同取值，讨论函数y =f (x ) 的奇偶性，并说明理由．

9.2014年全国高考文科数学试题-上海卷第20题

2x +a

设常数a ≥0，函数f (x ) =x ．

2-a

(1) 若a =4，求函数y =f (x ) 的反函数y =f -1(x ) ；

(2) 根据a 的不同取值，讨论函数y =f (x ) 的奇偶性，并说明理由．

答案和解析

1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题 答案：见解析

10x -12

=1-x , x ∈R 分析：(1)∵g (x ) =x

10+110+1∴g (x )

. 又10+1>1，∴1-

x

22

>1-=-1.

10x +10+1

www.cakestudy.com

∴-1

10x -11+y 1+y x

由y =x ，可解得10=. , x =lg

10+11-y 1-y ∴f (x ) =lg

1+x

，D =(-1,1) . 1-x

2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 答案：(1)2

(2)h (x ) =log 2x (x >0)

(3)m ≥1

分析：(1)由已知a

2-a

+1=2∴a =2．

(2)∵f (x ) =2x -2+1∴g (x ) =2x ∴h (x ) =log 2x (x >0) (3)要使不等式有意义：则有1

据题有(log2x +2) 2≤log 2x 2+m log 2x +6在(1,2]恒成立． ∴设t =log 2x (1

∴(t +2) 2≤2t +tm +6在(0,1]时恒成立.

t 2+2t -22

=t -+2在[0,1]时恒成立 即：m ≥

t t

设y =t -

2

+2，t ∈(0,1]单调递增 t

∴t =1时，有y max =1∴m ≥1.

3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题 答案：(1)-

21

www.cakestudy.com

(2)y =3-10x , x ∈[0,lg2]

⎧2-2x >02-2x

0⎩

得1

2-2x

⎧-1

21⎪

因为x +1>0, 所以x +1

33-

得 -

21

(2)当 x ∈[1,2]时 , 2-x ∈[0,1]因

此 y =g (x ) =g (x -2) =g (2-x ) =f (2-x ) =lg(3-x )

由单调性可得y ∈[0,lg2]. 因为x =3-10, 所以所求反函数是y =3-10x , x ∈[0,lg2]

y

4.2014年华约自主招生数学试题第3题 答案：答案见解析

-1-1-1

分析：（1）由y =f (g (x )) 得g (x ) =f (y ) ，x =g (f (y )) ，

故所求反函数是y =g (f （2）由G (x ) =f

-1

-1-1

(x )) ．

(-x ) 得G -1(x ) =-f (x ) ，

-1

事实上，设y =G (x ) 和y =f

-1

(-x ) ，

-1

由y =G (x ) 得反函数y =G (x ) ；由y =f

(-x ) 得反函数y =-f (x ) ；

-1

于是由F (x ) =G (x ) 有f (-x ) =-f (x ) ，所以f (x ) 为奇函数．

5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题 答案：答案见解析

www.cakestudy.com

分析：(1)由题意得：a =

x

x -1y -1

，x ∈(-∞, -1) ⋃(1,+∞) . >0 故 g (x ) =log a

x +1y +1

(2) 由 log a

x -1t x -1t

得①当a >1时， >log a 2>2>0又因

x +1(x -1)(7-x ) x +1(x -1)(7-x )

为x ∈[2,6]，所以

0

所以h (x )=5 ，

所以02

t >(x -1) (7-x ) >令0

x -1t

, ∈h (x ) =(x -1) 2(7-x ) =-x 3+9x 2-15x +7, x ∈[2,6]由①知h (x ) =32x 所[2, 6以

t ="">32综上，

当a >1时，0

1

，则 p ≥1当 n =1时, 1+p

f (1)=1+

2

≤3

当n ≥2 时设 k ≥2, k ∈N *时则

1+a k 22f (k ) ==1+=1+1

1-a k (1+p ) k -1C k p +C k 2p 2+f (k ) ≤1+

2444

从而=1+=1+-1

C k +C k 2k (k +1) k k +1

+C k k p k

所以

www.cakestudy.com

f (2)+f (3)+⋯+f (n ) ≤n -1+

所

以

44-

f (+1) f +(2f ) +⋯(f +3) n

+

f (+1) f +(2f ) +. ⋯(f +3) n

6.2012年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 答案：见解析 分析：(1) 由 ⎨

⎧2-2x >0,

得-1

⎩x +1>0

2-2x 2-2x

21

因为x +1>0，所以x +1

33

由0

⎧-1

21⎪

-

33-

(2) 当 x ∈[1,2] 时，2-x ∈[0,1]

因此y =g (x ) =g (x -2) =g (2-x ) =f (2-x ) =lg(3-x ) 由单调性可得y ∈[0,lg2]．

因为x =3-10，所以所求反函数是x =3-10，x ∈[0,lg2]．

y

y

7.2012年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 答案：见解析

⎧2-2x >0

分析：(1) 由⎨，得-1

x +1>0⎩

2-2x 2-2x

21

因为x +1>0，所以x +1

33

由0

www.cakestudy.com

⎧-1

21⎪

-

33-

(2) 当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此

y =g (x )=g (x -2)=g (2-x )=f (2-x )=lg (3-x )，

由单调性可得y ∈[0,lg2]，

因为x =3-10，所以所求反函数是y =3-10x ，x ∈[0,lg2]．

y

8.2014年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 答案：(1) y =f

-1

(x ) =log 2

4x +4

，x ∈(-∞, -1) ⋃(1,+∞) ；(2) 见解析 x -1

2x +44y +44y +4

=y ，∴2x =分析：(1)∵a =4，∴f (x ) =x ，∴x =log 2， 2-4y -1y -1

∴y =f

-1

(x ) =log 2

4x +4

，x ∈(-∞, -1) ⋃(1,+∞) ． x -1

2x +a 2-x +a

=-x (2) 若f (x ) 为偶函数，则f (x ) =f (-x ) ，∴x ，

2-a 2-a

x -x

整理得a (2-2) =0，∴a =0，此时为偶函数

2x +a 2-x +a

=--x 若f (x ) 为奇函数，则f (x ) =-f (-x ) ，∴x ， 2-a 2-a

2

整理得a -1=0，∵a ≥0，∴a =1，此时为奇函数．

当a ∈(0,1)⋃(1,+∞) 时，此时f (x ) 既非奇函数也非偶函数．

9.2014年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 答案：(1) f

-1

(x ) =2+log 2

x +1

, x ∈(-∞, -1)⋃(1, +∞) (2) 见解析 x -1

www.cakestudy.com

4(y +1)2x +4

分析：(1) 因为y =x ，所以2x =，得y 1，且x =2+l o g

2-4y -1

因此，所求反函数为f

-1

2

y +1

． y -1

(x ) =2+log 2

x +1

, x ∈(-∞, -1)⋃(1, +∞)． x -1

(2) ①当a =0时，f (x ) =1，定义域为R ，故函数y =f (x ) 是偶函数；

2x +1

②当a =1时，f (x ) =x ，定义域为(-∞,0)⋃(0, +∞)，

2-12-x +12x +1

f (-x ) =-x =-x =-f (x ) ，故函数y =f (x ) 为奇函数；

2-12-1

③当a >0且a ≠1时，定义域为(-∞,log 2a )⋃(log 2a , +∞)关于原点不对称， 故函数y =f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数． 综上可知，①当a =0时，故函数y =f (x ) 是偶函数； ②当a =1时，函数y =f (x ) 为奇函数；

③当a >0且a ≠1时，故函数y =f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数．