5.二次函数.最简分式函数
5.二次函数、最简分式函数
一.基础知识自测题:
1.二次函数y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)的图象当 a>0 时为 开口向上 的抛物线;当 a
2.二次函数y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0),当系数a, b, c满足条件 b=0 时为偶函数。
4acb2
3.二次函数y=ax+bx+c (a、b、c为常数,a≠0),当a>0时,函数的最 小 值是; 当a
4a
2
45
67812345例1 例2. 设x1, x2是方程2x2-4mx+(5m2―9m―12)=0的两个实数根, (1) 将x12+x22表示为m的函数; (2) 求x12+x22的最大值和最小值。
解:(1) 方程有两个实数根,∴ △≥0, 16m2-8(5m2―9m―12)≥0, 解得-1≤m≤4, x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=-m2+9m+12, 其中-1≤m≤4; (2) y=-m2+9m+12, 对称轴为x=4.5在区间-1≤m≤4的右边, ∴函数的最大值是ymax=f (4)=32, 函数的最小值是ymin=f (-1)=2
评注:求二次函数的最大值与最小值的问题,要注意原函数的定义域,分析抛物线的对 称轴是否在定义域内,且要比较定义域的两个端点到对称轴的距离。 例3. 已知函数y=4x2-4ax+(a2-2a+2)在区间[0, 2]上的最小值是3,求实数a的值。 解:函数y=4x2-4ax+(a2-2a+2)的对称轴是x=
a
, 1 2 ,则它的值域是{y|y2}。
3sinx2
3 4.已知函数y=
5.下列四个命题中正确的是(
(A)函数y=3x+4的最大值是4 (B)函数y=-(x+a)2-b的最大值是-b (a, b∈R)
64acb22
(C)函数y=的最小值是0 (D)函数y=ax+bx+c的最大值是(a≠0)
x4a
6.已知二次函数x2+kx+(k-2),其图象的对称轴是x=-2,那么它的最小值是 -2 。
7.函数
2x
的值域是 [-1,1]。 2
1x
8.已知f (x2-x)=x4-2x3+x2+1,则f [f (x)]的表达式是 x4+2x2+2。
四.试题精选
(一)选择题:
1.若二次函数y=x2+x+m的图象总在x轴的上方,那么实数m的取值范围是( B )。 (A)0
1111 (B)m> (C)m≥ (D)0≤m≤ 4444
2.二次方程x2+(a2+1)x+a-4=0有一个实根大于1,另一个实根小于1,则a的取值范围是( C )。
(A)(1, +∞) (B)(―∞, ―2) (C)(-2, 1) (D)[-2, 1]
9.抛物线y=x2+(m-2)x+5-m与x轴的两个交点都在点(2, 0)的右方,则m的取值范围是(A)。 (A)(-5, -4] (B)(-∞, -4] (C)(-∞, -2) (D)(-∞, -5)∪(-5, -4)
10.若f (x)=(m-1)x2+2mx+3是定义在(-∞, +∞)上的偶函数,那么f (x)在(0, +∞)上(B)。 (A)是增函数 (B)是减函数 (C)部分增,部分减 (D)不能确定 (二)填空题: 11.已知函数f (
2x2(1x)
)=x,则函数f (x)的表达式是f(x)。 2xx1
12.已知函数f (x)=x2-x+1,则函数f [f (-x)]= x4+2x3+2x2+x+1 。
13.已知函数f (x)=x2―2x―3, x≤0, 则f 14.已知函数y=
1
(x)=1x4 x3。
abcosxabab
(a>b>0), 则它的最小值是;最大值是。
abcosxabab
(三)解答题:
15.已知二次函数y=x2-2ax+a2-1在[0, 1]上是减函数,问当a取何值时,函数y在[0, 1]上的值满足y>0恒成立。
为 (x)=
>2
时, y在区间[-1, 1]上递减,最小值为f (1)=-2a+5;
a2
当-2≤a≤2时, y在区间[-1, 1]上的最小值为3-;
2
2a5a2a22a2 ∴f (a)=32
52aa2
(2) f (a)>0, 当- 当2
5
5
时, 5-2a为递减,f (a)为递增; 2
a2a2
当-2≤a
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