一元二次方程讲义(2)

一元二次方程

考点一、概念

(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式：ax2bxc0 （a、b、c为常数，a≠0）.

（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②二次项系数不为“0”③一定是整式方程。 典型例题：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

112

A、3x12x1 B、220

xx

C、ax2bxc0

D、x22xx21

变式：1.当k 时，关于x的方程kx22xx23是一元二次方程。 2. 关于x的方程：①ax2bxc0；②x2

一元二次方程的编号为___________________.

4

30；③x24x50；④3xx2中，是 x

例2、方程m2xm3mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为 。 变式：若关于x的方程m3xm1m5x50是一元二次方程，试求m的值，•并计算这

个方程的各项系数之和．

针对练习：

1．方程8x27的一次项系数是，常数项是。

2．若方程m1x2mx1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。

3．把方程(2x1)2x(x1)(x1)化成一般形式是．

4．一元二次方程2x2x6的二次项系数、一次项系数及常数之和为 5．关于x的方程(m1)x22mx30是一元二次方程，则m的取值范围是 ．

6．若方程kx2x3x21是一元二次方程，则k的取值范围是

7. 如果关于x的方程m3xm7x30是关于x的一元二次方程，那么m的值为________.

2

8. 若ax5x30是关于x的一元二次方程，则不等式3a60的解集是______________. 9. 若关于x的方程k24x2k1x50是一元二次方程，求k的取值范围．

2



考点二、方程的解

⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：①利用根的概念求代数式的值； 典型例题：

例1、已知2y2y3的值为2，则4y22y1的值为。

例2、关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0，则a的值为 。

例3、已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足acb，则此方程必有一根为 。

例4、已知ab，a22a10，b22b10，求ab变式：若a22a10，b22b10，则针对练习：

1、已知方程x2kx100的一根是2，则k为2、已知m是方程x2x10的一个根，则代数式m2m 。 3、已知a是x23x10的根，则2a26a 。 4、方程abx2bcxca0的一个根为（ ）

A 1 B 1 C bc D a

ab

的值为 ba

5、若2x5y30,则4x32y 。

6、已知x1是方程x2ax60的一个根，则a 7、已知x23x6的值为9，则代数式3x29x2的值为

8、关于x的一元二次方程(a1)x2xa210的一个根是0，则a的值为_________.

9、已知2是关于x的方程

32

x2a0的一个解，则2a1的值是____________. 2

10、关于x的一元二次方程x25xp22p50的一个根为1，则实数p的值是___________.

11、已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根,求代数式(m2-m)错误！未找到引用源。的值. 12、

能力提升

1．已知

x+3x﹣10=0

3-a

和

x3b-4+6x+8=0

都是一元二次方程，

求

的值．

2．已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为．

3．试说明：无论a取何值时，关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0都是一元二次方程．

4．已知方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）=0，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）=0（其中m，n都是正整数，且m≠n≠1）有一个公共根，求mn•nm的值． 5．若α是方程x2+x﹣1=0的根，求代数式2000α3+4000α2的值．

6．已知三个不同的实数a，b，c满足a﹣b+c=3，方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实根，方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实根．求a，b，c的值．

7．阅读下列材料：

（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：

即

，

（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）． 根据以上材料，解答下列问题： （1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求

8．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+3）的值．

a219．设a是方程x﹣2016x+1=0的一个根，求代数式a﹣2017a+的值．

2016

2

2

= ，

的值．

=

，= ；

10．已知

是关于x的方程x2﹣x+a=0的一个根，求a﹣2﹣

的值．

11．已知：a、b为实数，关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+b+3=0的一个实根为a+1． （1）用含a的代数式表示b； （2）求代数式b2﹣4a2+10b的值．

12．设α是一元二次方程x2﹣8x﹣5=0的一个正根，求α3﹣7α2﹣13α+6的值．

13．已知x的方程kx2﹣k（k+2）x=x（2x+3）+1． （1）当k取何值时，这个方程是一元二次方程； （2）当k取何值时，这个方程是一元一次方程； （3）﹣1是不是这个方程的根？为什么？

考点三、解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：x2mm0,x

※※对于xa2

m，axm2

bxn2

等形式均适用直接开方法

典型例题：

例1、解方程：12x280; 22516x2=0; 31x2

90;

变式练习：

解下列方程：

（1）(2x）2

=9; (2) 1-3x2

50

(3) xm2

n(n0) (4) 16(x1)29(x1)2

例2、若9x12

16x22

，则x的值为 。

针对练习：

1、下列方程无解的是（ ）

A.x232x21 B.x20 C.2x31x D.x290

2

2、用直接开平方法解下列方程

（1）（3x﹣2）（3x+2）=8． （2）（5﹣2x）2=9（x+3）2．

（3）

﹣6=0 （4）（x﹣m）2=n．（n为正数）

类型二、因式分解法:xx1xx20xx1,或xx2

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：如axmbxn，xaxbxaxc ，x22axa20

2

2

典型例题：

例1、2xx35x3的根为（ ）

A x

525

B x3 C x1,x23 D x 252

2

例2、若4xy34xy40，则4x+y的值为 。 变式1：a2b2a2b260,则a2b2 。

2

变式2：若xy2xy30，则x+y的值为 。

变式3：若x2xyy14，y2xyx28，则x+y的值为 。 例3、方程x2x60的解为（ ） A.x13，x22 B.x13，x

2

2 C.x13，x

2

3 D.x12，x22

例4、解方程： x221x240 例5、已知2x23xy2y20,则

xy

的值为 。 xy



变式：已知2x23xy2y20,且x0,y0,则

针对练习：

xy

的值为 。 xy

1、下列说法中：正确的有__________________.

①方程x2pxq0的二根为x1，x2，则x2pxq(xx1)(xx2) ② x26x8(x2)(x4). ③a25ab6b2(a2)(a3)

④ x2y2(xy)(xyxy)

⑤方程(3x1)270可变形为(3x17)(3x17)0

2、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 3、若实数x、y满足xy3xy20，则x+y的值为（ ） A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2 4、方程：x2

1

2的解是 。 2x

5、若方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是 ．

6、如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则▱ABCD的周长是

bb24ac2

类型三、配方法axbxc0a0x 2

2a4a

2

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题：

例1、试用配方法说明x22x3的值恒大于0，10x27x4的值恒小于0。 例2、已知x、y为实数，求代数式x2y22x4y7的最小值。

变式：若t23x212x9，则t的最大值为 ，最小值为 。 例3、已知x2y24x6y130，x、y为实数，求xy的值。 变式1：已知x2

1x2

x1x40，则

x1x . 变式2：如果ab424,那么a2b3c的值为 。

针对练习：

1．（1）若实数x，y满足，则x=y=

（2）若实数a，b满足，试求a，b的值．

2．已知A=﹣a﹣1，B=a2+a，C=2a2﹣5a﹣1 （1）当a≠﹣1时，请你说明B﹣A＞0；

（2）请你比较A与C的大小？并说明理由．

3．阅读材料：本册数学学习中，我们认识了“完全平方公式”，即（a±b）2=a2±2ab+b2，并把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．

把形如ax2+bx+c（a≠0）的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的过程叫配方．配方的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如 ①选取二次项和一次项配方：x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3； ②选取二次项和常数项配方：x2﹣2x+4=（x+2）2﹣6x， 或x2﹣2x+4=（x﹣2）2+2x； ③选取一次项和常数项配方：x2﹣2x+4=（x﹣2）2+x2． 根据上述材料，解决下面问题：

（1）写出x2+4x+9的两种不同形式的配方； （2）已知4x2+y2﹣4x+6y+10=0，求xy的值；

（3）试求当x为何值时，﹣x2+4x+5有最大值，最大值是多少？

4．求证：不论x为何值，多项式2x2﹣4x﹣1的值总比x2﹣6x﹣6的值大．

5．已知x、y、z满足x2﹣4x+y2+6y

++13=0，求代数式（xy）z的值．

6．已知实数x、y、z满足|4x﹣4y+1

|+

+z2﹣z

=0，求（y+z）2•x2的值．

7．求代数式2x2+4x﹣6的最小值，并求代数式取得最小值时x的值是多少？

8．△ABC三边的长a，b，c满足a2+b2+c2=4a+6b+8c﹣29，求a，b，c的值．

9．用配方法解关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（其中n2﹣4mp＞0）．

10．证明：不论a，b为何值，多项式

11．已知：a、b为实数，且a2+ab+b2=5，a2﹣ab+b2=k，求k的最大值和最小值，并求出当k取到最大值和最小值时，对应的a、b的值分别是多少？

12. 设b为正整数，a为实数，记M=a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+，在a，b变动的情况下，﹣a2﹣b2﹣3ab﹣5的值一定小于0． 求M可能取得的最小整数值．并求出M取得最小整数值时a、b的值．

13. 用配方法证明代数式2x2﹣x+3的值不小于

11

类型四、公式法

⑴条件：a0,且b24ac0

⑵公式： bb2

x4ac

2a,a0,且b24ac0

典型例题：

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴31x26. ⑵x3x68. ⑶x24x10

⑷3x24x10 ⑸3x13x1x12x5

考点四、根的判别式b24ac

根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

12

典型例题：

例1、若关于x的方程x22kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。

例2、关于x的方程m1x22mxm0有实数根，则m的取值范围是( )

A.m0且m1 B.m0 C.m1 D.m1

例3、已知二次三项式9x2(m6)xm2是一个完全平方式，试求m的值.

针对练习：

1、当k 时，关于x的二次三项式x2kx9是完全平方式。

2、已知方程mx2mx20有两个不相等的实数根，则m的值是 . 能力提升：

1.若a，b，c为实数关于x的方程2x2+2（a﹣c）x+（a﹣b）2+（b﹣c）2=0有实数根，求证：a+c=2b．

2.已知a，b，c是△ABC三边的长，判断关于x的一元二次方程cx2+（a+b）x+=0的根的情况．

13

3．求证：关于x的方程x2﹣（2a+3）x+a（a+3）=0恒有两个不相等的实数根．

4．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0．当m为何非负整数时．

（1）方程只有一个实数根？

（2）方程有两个相等的实数根？

（3）方程有两个不相等的实数根？

5．已知关于x的一元二次方程 （m﹣2）x2﹣（m﹣1）x+m=0．（其中m为实数）

（1）若此方程的一个非零实数根为k，

①当k=m时，求m的值； ②若记为y，求y与m的关系式；

（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．

6．已知关于x的一元二次方

程有两个相等的实数根，

的值．

7．已知关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1=0有两个不相等的实数根

（1）求m的取值范围；

求14

（2）若m为整数，且m＜3，a是方程的一个根，求代数式2a2﹣3a﹣3的值．

8. 已知关于x的方程x2+4x﹣6﹣k=0没有实数根，试判别关于y的方程y2+（k+2）y+6﹣k=0的根的情况．

考点五、根与系数的关系

⑴前提：对于ax2bxc0而言，当满足①a0、②0时，才能用韦达定理。 bc⑵主要内容：x1x2,x1x2 aa

⑶应用：整体代入求值。

典型例题：

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）

例2、解方程组：

15 A. B.3 C.6 D.

x2y210,xy10,(1)(2) xy24;xy2.

例3、已知关于x的方程k2x22k1x10有两个不相等的实数根x1,x2，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

典型例题：

1、关于x的方程m1x22mx30

⑴有两个实数根，则m为 ,

⑵只有一个根，则m为 。

2、解方程，判断关于x的方程x22xkk23根的情况。

3、如果关于x的方程x2kx20及方程x2x2k0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。

4、设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．

针对练习、提升：

1．方程x2﹣3x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a2﹣4a﹣b的值为 ．

16

2．如果a2+11a+16=0，b2+11b+16=0（a≠b），那么

3．设x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，那么x13﹣2x22+2008= ．

4．已知x1、x2为方程x2+5x+2=0的两实根，则x13+23x2+5= ．

5．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m=1，n2﹣2n=1，那么代数式2m2+n2﹣6m﹣4n﹣1999= ．

6．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足 ．

7．已知关于x的方程2（m+1）x2+4mx+2m﹣1=0有两个不相等的实数根，

（1）求m的值；

（2）已知x1，x2是已知方程的两个实数根，且x1+x2=1，试求出m的值．

8．关于x的一元二次方程4x2+4（m﹣1）x+m2=0

（1）当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？

（2）设方程有两个实数根x1，x2，问m为何值时，x12+x22=17？

（3）若方程有两个实数根x1，x2，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由．

9．关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣3x+2=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围．

（2）求当k取何正整数时，方程的两根均为整数．

17 的值等于 ．

10．已知：关于x的方程2x2﹣（3m+n）x+mn=0，且m＞n＞0．

求证：（1）这个方程有两个不相等的实数根；

（2）这个方程的两根中，有一个比n大，另一个比n小．

11．已知α，β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α2+αβ+β2=3．求证：q＜1．

12．已知关于x的方程x2+2（k﹣3）x+k2=0有两个实数根x1、x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若|x1+x2﹣9|=x1x2，求k的值．

13．已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．

18

（2）求使

+﹣2的值为整数的实数k的整数值．

14．关于x的方程x2﹣2k（x+1）x﹣k﹣2x=0有实根；

（1）若方程有一个实数根，求出这个根；

（2）若方程有两个不相等的实根x1，x2，且

15．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣9=0

（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；

（2）若这个方程两个根α，β满足2α+β=m+1，求m的值．

16．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9=0的两个实数根，求代数式x13+7x22+3x2﹣66的值．

17．已知x1，x2是方程x2+5x+4=0的两个实数根，求

19 +=﹣6，求k的值． +的值．

18．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1和x2，求：

（1）|x1﹣x2|和

（2）x13+x23．

考点六：一元二次方程应用题

典型例题一

例 某公司八月份售出电脑200台，十月份售出242台，这两个月平均每有增长的百分率是多少？

20

说明 在有关增长率的问题中，要掌握等量关系：a(1x)np，其中a为变化前的数，如本题中的200台，p为变化后的数，如本题中的242台，x为增长（降低）率，n为变化次数，如本题从八月到十月份共变化两次，因此n2.

典型例题二

例 某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21%，平均每年比上一年增长的百分率为 .

典型例题三

例 .如图，要建一个面积为150m的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35米.

（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中，墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？

2

典型例题四

例 将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？

典型例题五

例 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。

典型例题六

例 “坡耕地退耕还林还草”是国家对解决西部地区水土流失生态问题，帮助广大农民脱贫致富提出的一项战略措施，某村长为带领全村群众自觉投入坡耕地退耕还林行动，率先垂范，1999年将自家的坡耕地全部退耕，并于当年承包20亩坡耕地的还林还草及管护任务，而实际完成的亩数增加的百分率为.如果保持这一增长率不变，2000年村长可完成28.8亩坡耕地还林还草的任务.

（1）求增长率；

（2）如果该村有30户人家，每户均以村长2000年可完成的亩数为准，则全村2000年可完成坡耕地还林还草任务多少亩？如果国家按每亩坡耕地230元（折算资金）给予补助，则国家将对该村投入补助资金多少万元？

针对练习：

1．某公司2015年捐款1万元给希望工程，以后每年的捐款数将逐年增加，2017年计划捐款2.25万元，问该公司捐款的平均年增长率是多少？

2．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．设每千克核桃应降价x元．

（1）降价后的每千克核桃的售价为 元，每天的销售量为 千克．

（2）如果该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，同时尽可能让利于顾客，赢得市场，那么该店应按原售价的几折出售？

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，若点P从A点出发，沿射线AC方向以2cm/s的速度匀速移动，点Q从点B出发沿射线BC方向以1cm/s的速度匀速移动，问几秒后，△PCQ的面积为△ABC的面积的？

4．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．

5．一根长22cm的铁丝．

（1）能否围成面积是30cm2的矩形？

（2）能否围成面积是32cm2的矩形？并说明理由．

（3）设矩形的面积为Scm2，试说明：当S＞

的矩形．

6．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m）用80m长的篱笆围一个矩形场地ABCD．

（1）怎样围才能使矩形场地ABCD的面积为750m2，请说明理由．

（2）能否使所围矩形场地ABCD的面积为810m2，请说明理由． 时，不能用题设中的铁丝围成面积是S

6．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？

（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．

7．童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，

（1）降价前，童装店每天的利润是多少元？

（2）如果童装店每要每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？

8．某超市上月销售一种优质新米，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克．经市场调查，若将该种新米价格调低至x元/千克，则本月销售量y（千克）与x（元/千克）之间满足y=kx+b，且当x=7时，y=2000；当x=5时，y=4000．

（1）求y与x之间的函数关系式．

（2）已知该种新米上月的进价为5元/千克，本月的进价为4元/千克，要使本月销售该种新米获利比上月增加20%，同时又要让顾客得到实惠，则该种新米的价格应定为多少元？

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．

（1）几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的？

（2）填空：①点经过 秒，点P在线段AB的垂直平分线上．

②点Q经过 秒，点Q在∠BAC的平分线上．

10．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃ABCD．设花圃的一边AB为x（m）．

（1）则BC= （用含x的代数式表示），矩形ABCD的面积= （用含x的代数式

表示）；

（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？

（3）将（1）中表示矩形ABCD的面积的代数式通过配方，问：当AB等于多少时，能够使矩形花圃ABCD面积最大，最大的面积为多少？

11．如图，现有可建造60m围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的矩形仓库，墙长为am．

（1）能否围成总面积为225cm2的仓库？若能，AB的长为多少米？

（2）能否围成总面积为400cm2的仓库？说说你的理由．