初中数学几何证明技巧

辅助线的添加

一、添辅助线有二种情况：

1. 按定义添辅助线：

如：证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加 倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2. 按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性 质，但基本图形不完整时。因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线

也有规律可循。

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时，添辅助线的关键是：添与二条平行线都相交的第三条直线

（2）等腰三角形是个基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时，往往要补全完整的等腰三角形；

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点，添底边上的中线；

（4）直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点，往往添斜边上的中线。

（5）三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时，往往添加三角形中位线基本图形

（6）相似三角形：

相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直 线上时，（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。

（8）特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为 1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3

（9）半圆上的圆周角

出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；

二、基本图形的辅助线的画法

1. 三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种 方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三 角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长 法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段

2. 平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅 助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形 问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理 （1）连对角线或平移对角线

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等

3. 梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化 归为平行四边形问题或三角形问题来解决。 （1）在梯形内部平移一腰 （2）梯形外平移一腰 （3）梯形内平移两腰

（4）延长两腰 （5）过梯形上底的两端点向下底作高 （6）平移对角线

（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。 （8）过一腰的中点作另一腰的平行线。 （9）作中位线

将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

4. 圆中常用辅助线的添法

（1）见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论 间的联系。 （2）见直径作圆周角

若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用" 直径所对的圆周角是直角" 这一特征来证明问题

（3）见切线作半径

条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用" 切线与半径垂直" 这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有 关的角的关系。

（5）两圆相交作公共弦

对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆 周角或圆心角联系起来。

口诀与联想

一、由角平分线想到的辅助线

口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三 角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a. 对称性；b. 角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。 与角有关的辅助线

（1）截取构全等

（2）角分线上点向角两边作垂线构全等

（3）作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边 上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性 质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

（4）以角分线上一点做角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的 点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。

二、由中点想到的辅助线

口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质）

（1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

（2）由中点应想到利用三角形的中位线

（3）由中线应想到延长中线

（4）直角三角形斜边中线的性质

（5）角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

（6）中线延长

三、梯形的辅助线

口诀：梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中 位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。

常见的几种辅助线的作法如下：

四、圆中作辅助线的常用方法：

（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。

（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论

（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角 三角形。

（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。

（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O 中，BD ⊥OA 于D ，经常是：①如图1（上）延 长BD 交圆于C ，利用垂径定理；②如图1（下）延长AO 交圆于E ，连结BE ，BA ，得Rt △ABE 。

图1（上） 图1（下）

（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，

（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切 点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。

（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边 形解决，有时还引两连心线以得到结果。

（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。

（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。 口诀

图中有角平分线，可向两边作垂线。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。