海淀2月月考高三数学试卷

高三数学（文科） 2012.2

学校： 班级： 姓名： 成绩：

一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1. 全集U =R ，集合A ={x |x 2-2x ≤0}, B ={x |y =lg(1-x )}，则A B 等于（ ）

A. {x |0

B. {x |0≤x

C. {x |1

D. {x |1≤x

2．1．设复数z 满足iz =1，其中i 为虚数单位，则z =

A ．-i B ．i C ．-1 D ．1

3．下列命题中正确的是 （ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题 B ．“sin α=

12

”是“α=

π

6

”的充分不必要条件

C ．l 为直线，α, β为两个不同的平面, l ⊥β, α⊥β⇒l ∥α D ．命题“∀x ∈R , 2x >0”的否定是“∃x 0∈R , 2

x 0

≤0”

a 3+a 4=9，4．等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若a 1+a 2=5，则S 10的值为 （

）

D. 70

5. 如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为

A ． B ．4 C ． D ．2

图3

A. 55 B. 60 C. 65

正视图 图1

图2

6. 某程序框图如图所示，则输出的S =

A ．120 B ． 57

C ．56 D ． 26

7．若函数f (x ) =log 2(x +

(A) (-log 2

52, -1)

1x

) -a 在区间(1,2) 内有零点，则实数a 的取值范围是

(B) (1,+∞)

(C) (0,log 2

52

)

(D) (1,log 2

52

)

8. 一圆形纸片的圆心为点O , 点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点. 把纸片折叠使点A 与Q 重合，然后展平纸片，折痕与O A 交于P 点. 当点A 运动时点P 的轨迹是

A ．圆 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ．抛物线 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9．已知角α的终边经过点(-4, 3) ，则cos α= ． 10． 已知A (-2, )3B (,

)1, (C 2

uu u r uuu r

2, AB 0=a , BC =b ，则), , 设

a -2b = ； cos a , b = .

11．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则数据在区间

[8,10)上的频数是．

12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是 ． ⎧x -y ≤0

⎪

13．若⎨x +y ≥0, z =x +2y 的最大值是3，则实数a 的值是 ．

⎪y ≤a ⎩

14．已知定义域为D 的函数y =f (x ) ，若对于任意x ∈D ，存在正数K ，都有|f (x ) |≤K |x | 成立，那么称函数y =f (x ) 是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f (x ) =2x ；

②f (x ) =2sin(x +

π

4

) ； ③f (x ) =x -2x +x ； ④f (x ) =

32

x

2

2

x +x +1

，

其中是“倍约束函数”的是_____________．（将你认为正确的函数序号都填上 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题共13分）

已知函数f (x ) =2cos 2

x 2-

x ．

（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若α为第二象限角，且f (α-

π

3) =

13

，求

cos 2α1-tan α

的值．

16. （本小题共14分）（本小题共13分）

为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查. 已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班. （Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；

（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中

至少有1个来自甲学校的概率.

17．（本小题满分14分）

如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）求证：A 1B ∥平面A D C 1； （Ⅲ）求三棱锥C 1-ADB 1的体积．

18．（本小题满分13分）

已知f (x ) =x ln x , g (x ) =-x +ax -3. （I ）求函数f (x ) 在[t , t +2](t >0) 上的最小值；

（II ）对一切x ∈(0, +∞), 2f (x ) ≥g (x ) 恒成立，求实数a 的取值范围.

x a

22

2

19．已知椭圆G :+

y b

22

=1(a >b >

0) 3

1的

直线l 与椭圆G 交于A , B 两点，以A B 为底边作等腰三角形，顶点为P (-3, 2) 。 （Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求 P A B 的面积。

20．（本小题满分14分）

已知数列{a n }满足a 1=

14

，a n =

a n -1

(-1)

n

a n -1-2

(n ≥2, n ∈N ) ．

⎧1n ⎫（Ⅰ）试判断数列⎨+(-1)⎬是否为等比数列，并说明理由；

a ⎩n ⎭

（Ⅱ）设c n =a n sin

T n

23

(2n -1) π

2

，数列{c n }的前n 项和为T n ．求证：对任意的n ∈N *，

．

一、选择题：每小题5分，共40分.

二11．30 12．

2

；14（1）（4）

15. （本小题共13分）

解：（Ⅰ）因为 f (x ) =1+cos x - =1+2cos(x +

π

3

x „„„„„„„1分

) ， „„3分

所以函数f (x ) 的周期为2π，值域为[-1, 3]． „„„„„5分 （Ⅱ）因为 f (α-

π

3) =

13

，

13

所以 1+2cos α=

cos 2α1-tan α

13

，即cos α=-

2

2

． „„„„„„6分

因为 =

cos α-sin αcos α-sin α

cos α

„„„„„„„8分

=cos α(cosα+sin α)

=cos α+cos αsin α， „„„„„„10分

3

2

因为α为第二象限角， 所以 sin α=． „„„„11分

所以

cos 2α1-tan α

=

19

-

9

=

1-9

． „„„„„„13分

16. （本小题共13分）

解：（Ⅰ）由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12:6:18=2:1:3， „„„„„„„„1分、 所以甲学校抽取教学班数为6⨯学班数为6⨯

36

26

=2个，乙学校抽取教学班数为6⨯

16

=1个，丙学校抽取教

=3个， „„„„„4分

所以分别抽取的教学班个数为2，1，3. „„„„5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为A 1，

A 2，B 1，C 1，C 2，C 3，则从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件为：

(A 1, A 2) ，(A 1, B 1) ，(A 1, C 1) ，(A 1, C 2) ，(A 1, C 3) ，(A 2, B 1) ，(A 2, C 1) ，(A 2, C 2) ，(A 2, C 3) ，(B 1, C 1) ，(B 1, C 2) ，(B 1, C 3) ，(C 1, C 2) ，(C 1, C 3) ，(C 2, C 3) 共15

个. „„„7分

设“从6个教学班中随机抽取2个教学班，至少有1个来自甲学校”为事件D ，„„„8分

则事件D 包含的基本事件为：(A 1, A 2) ，(A 1, B 1) ，(A 1, C 1) ，(A 1, C 2) ，(A 1, C 3) ，

(A 2, B 1) ，(A 2, C 1) ，(A 2, C 2) ，(A 2, C 3) 共9个. „„„10分

所以 P (D ) =

915

=

35

. „„„„„„12分

所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个，且这2个教学班中至少有1个来自甲学

校„„„„„„„13分

17. （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，

所以 C C 1⊥平面ABC . 又 AD ⊂平面ABC ，

所以 CC 1⊥AD . „„„„„„3分 因为 △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，

所以 BC ⊥AD ， „„„„„„4分 所以 AD ⊥平面B 1BCC 1. „„„„„„5分

（Ⅱ）证明：连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结O D

.

由 ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，

得 四边形AC C 1A 1为矩形，O 为A 1C 的中点. 又D 为BC 中点，所以O D 为△A 1BC 中位线，

所以 A 1B ∥O D ， „„„„„„8分 因为 O D ⊂平面A D C 1，A 1B ⊄平面A D C 1，

所以 A 1B ∥平面A D C 1. „„„„„„10分

（Ⅲ）解：因为 V C

1-

ADB 1

=V A -B 1DC 1， „„„„„„12分

所以

V C

1-ADB 1

=

13

S ΔB 1DC 1⋅AD =

3

. „„„„„„14分

18. （本小题共13分）

18．解：（1）f (x ) 定义域为(0, +∞)，f '(x ) =ln x +1，

⎛⎝

1⎫e ⎭

当x ∈ 0, ⎪, f '(x )

1e

当x ∈(, +∞) ，f ' (x ) >0, f (x ) 单调递增. „„„„„„„„„„„„„„2分 ①当0

1e

1e

1e

, t 无解；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

1e

1e

时，f (x ) min =f () =-

e

11e

； „„„„4分

≤t

时，f (x ) 在[t , t +2]上单调递增，f (x ) min =f (t ) =t ln t ；

„„„5分

⎧1

⎪-e , =⎨

⎪t ln t , ⎩

0

,

e „„„6分 1t ≥.

e

3x

(x +3)(x -1)

x

2

1

所以f (x ) min

2

（2）2x ln x ≥-x +ax -3，则a ≤2ln x +x +

，对一切x ∈(0, +∞)恒成立. „„7分

，

设h (x ) =2ln x +x +

3x

(x >0) ，则h ' (x ) =

当x ∈(0, 1), h ' (x )

当x ∈(1, +∞), h ' (x ) >0, h (x ) 单调递增. „„„„10分

h (x ) 在(0, +∞) 上，有唯一极小值h (1) ，即为最小值.

所以h (x ) min =h (1) =4，因为对一切x ∈(0, +∞), 2f (x ) ≥g (x ) 恒成成立，

所以a ≤h (x ) min =4. „„„„„„„„„„„13分 19．【解析】：（Ⅰ

）由已知得c =2

2

c a

=

3

解得a =又b =a -c =4.

222

所以椭圆G 的方程为

x

12

+

y

4

=1.

⎧y =x +m

⎪222

（Ⅱ）设直线l 的方程为y =x +m . 由⎨x 2得4x +6mx +3m -12=0. 设A 、B y

+=1⎪

4⎩12

的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)(x 1

x 1+x 2

2

3m 4

m 4

中点为

E (x 0, y 0)

，则

x 0=

=-

, y 0=x 0+m =m

因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB. 所以

2-

PE 的斜率k =

-3+

4=-1. 解得m=2。此时方程①为4x 2+12x =0. 解得

3m 4

x 1=-3, x 2=0. 所以y 1=-1, y 2=2. 所以|AB|=32. 此时，点P （—3，2）到直线AB ：

x -y +2=0的距离d =

|-3-2+2|

2

=322

, 所以△PAB 的面积S=

12

|AB |⋅d =

92.

20．（本小题满分14分）

已知数列{a n }满足a 1=

14

，a n =

a n -1

(-1)

n

a n -1-2

(n ≥2, n ∈N ) ．

⎧1n ⎫

+(-1)⎬是否为等比数列，并说明理由； （Ⅰ）试判断数列⎨⎩a n ⎭

（Ⅱ）设c n =a n sin

T n

23

(2n -1) π

2

，数列{c n }的前n 项和为T n ．求证：对任意的n ∈N ，

*

．

解（1）由已知a n =

a n -1

(-1)

n

n

a n -1-2

2

得

1a n

1

=

(-1)n a n -1-2

a n -1

n -1

=(-1)-

n

2a n -1

,

1a n

+(-1)=2⋅(-1)-

n

a n -1

=-2[

a n -1

+(-1)

]. 又

1a 1

-1=-

34

≠0，

⎧1n ⎫故⎨+(-1)⎬为公比为-2的等比数列. …………7分 ⎩a n ⎭

（2）由（1）得

1a n

+(-1)=(4-1) ⋅(-2)

n

n -1

=3⋅(-2)

n -1

.

所以

1a n

=3⋅(-2)

n -1

-(-1)，a n =

n

1

3⋅(-2)

n -1

-(-1)

n -1

n

，

c n =a n sin

(2n -1) π

2

=

1

3⋅(-2)

n -1

-(-1)

n

⋅(-1) =

13⋅2

n -1

+1

13⋅2

n -1

.

1n

[1-() ]

21n 2所以T n

13231-

2

1