二次函数与圆综合(压轴题+例题+巩固+答案)
【例1】. 如图,点M (4,0),以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A ,B .已知抛物
1
y =x 2+bx +c 过点A 和B ,与y 轴交于点C .
6⑴ 求点C 的坐标,并画出抛物线的大致图象.
1
⑵ 点Q (8,m )在抛物线y =x 2+bx +c 上,点P 为此抛物线对称轴上一个动点,求PQ +PB
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最小值. ⑶ CE 是过点C 的⊙M 的切线,点E 是切点,求OE 所在直线的解析式.
【巩固】已知抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴的交点为C ,顶点为M ,直线CM 的解析式 y =-x +2并且线段CM 的长为(1)求抛物线的解析式。
(2)设抛物线与x 轴有两个交点A (X 1 ,0)、B (X 2 ,0),且点A 在B 的左侧,求线段AB 的长。
(3)若以AB 为直径作⊙N ,请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系,并说明理由。
【例2】如图,在平面直角坐标系中,以点C (0,4) 为圆心,半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ,
动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动,点Q 从O AB 是⊙C 的切线.
Q 从点A 和点O 同时出发,点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动,且动点P 、
设运动时间为t (秒) . ⑴当t =1时,得到P 1、Q 1两点,求经过A 、P 1、Q 1三点的抛物线解析式及对称轴l ; ⑵当t 为何值时,直线PQ 与⊙C 相切?并写出此时点P 和点Q 的坐标; ⑶在⑵的条件下,抛物线对称轴l 上存在一点N ,使NP +NQ 最小,求出点N 的坐标并说明理由.
提示:(1)先求出t=1时,AP 和OQ 的长,即可求得P 1,Q 1的坐标,然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式.进而可求出对称轴l 的解析式.
(2)当直线PQ 与圆C 相切时,连接CP ,CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC (M 为PG 与圆的切点),因此可设当t=a秒时,PQ 与圆相切,然后用a 表示出AP ,OQ 的长即PM ,QM 的长(切线长定理).由此可求出a 的值.
(3)本题的关键是确定N 的位置,先找出与P 点关于直线l 对称的点P′的坐标,连接P′Q,那么P′Q与直线l 的交点即为所求的N 点,可先求出直线P′Q的解析式,进而可求出N 点的坐标.
【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ,对称轴为y 轴.一次函数y =kx +1的图象与 二次函数的图象交于A ,B 两点(A 在B 的左侧) ,且A 点坐标为(-4,4).平行于x 轴的直线
l 过(0,-1)点. ⑴ 求一次函数与二次函数的解析式; ⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系,并给出证明; ⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位,再向下平移t 个单位(t >0),二次函数的图象与x 轴交于M ,N 两点,一次函数图象交y 轴于F 点.当t 为何值时,过F ,M ,N 三点的圆的面积最小?最小面积是多少?
0),顶点D 在⊙O 上运动.【例3】如图1, ⊙O 的半径为1,正方形ABCD 顶点B 坐标为(5,
⑴ 当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切;
⑵ 当直线CD 与⊙O 相切时,求OD 所在直线对应的函数关系式; ⑶ 设点D 的横坐标为x ,正方形ABCD 的面积为S ,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值与最小值.
图1
【巩固】如图,已知点A 从(1,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动,以O ,A 为顶点作菱形OABC ,使点B ,C 在第一象限内,且∠AOC =60︒;以P (0,3)为圆心,
PC 为半径作圆.设点A 运动了t 秒,求: ⑴ 点C 的坐标(用含t 的代数式表示); ⑵ 当点A 在运动过程中,所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值.
1【例4】
已知:如图,抛物线y =x 2+m 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,
3∠ACB =90︒ ⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标; ⑵ 过A ,B ,C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ,连结DM 并延长交⊙M 于点E ,过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F ,G ,求直线FG 的解析式;
⑶ 在条件⑵下,设P 为CBD 上的动点(P 不与C ,D 重合) ,连结PA 交y 轴于点H ,问是否存在一个常数k ,始终满足AH ⋅AP =k ,如果存在,请写出求解过程;如果不存在,请说明理由.
【巩固】如图,已知点A 的坐标是(-1,0),点B 的坐标是(9,0),以AB 为直径作O ',交y 轴的负半轴于点C ,连接AC 、BC ,过A 、B 、C 三点作抛物线.
⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 点E 是AC 延长线上一点,∠BCE 的平分线CD 交O '于点D ,连结BD ,求直
线BD 的解析式; ⑶ 在⑵的条件下,抛物线上是否存在点P ,使得∠PDB =∠CBD ?如果存在,请求
出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.
E
课后作业:
1. 如图,直角坐标系中,已知两点O (0,0),A (2,0),点B 在第一象限且∆OAB 为正三角形,∆OAB 的外接圆交y 轴的正半轴于点C ,过点C 的圆的切线交x 轴于点D . ⑴ 求B ,C 两点的坐标; ⑵ 求直线CD 的函数解析式; ⑶ 设E ,F 分别是线段AB ,AD 上的两个动点,且EF 平分四边形ABCD 的周长.试探究:∆AEF 的最大面积?
参考答案
例
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【巩固】
例2 分析:(1)先求出t=1时,AP 和OQ 的长,即可求得P
1,Q 1的坐标,然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式.进而可求出对称轴l 的解析式.
(2)当直线PQ 与圆C 相切时,连接CP ,CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC (M 为PG 与圆的切点),因此可设当t=a秒时,PQ 与圆相切,然后用a 表示出AP ,OQ 的长即PM ,QM 的长(切线长定理).由此可求出a 的值.
(3)本题的关键是确定N 的位置,先找出与P 点关于直线l 对称的点P′的坐标,连接P′Q,那么P′Q与直线l 的交点即为所求的N 点,可先求出直线P′Q的解析式,进而可求出N 点的坐标.
【巩固】
例
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【巩固】
例
4
【巩固】
作业