高中数学形象思维的教育功能研究

辽宁师范大学

硕士学位论文

高中数学形象思维的教育功能研究

姓名：耿慧英

申请学位级别：硕士

专业：学科教学·数学

指导教师：李莉

20070601

高中数学形象思维的教育琦能研究

学位论文独创性声明

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学位论文作者签名：取蔻，瑛日期：加７，罗

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学位论文作者签名：酉％引定指导教师签名

日期麓７，

高中数学形象思维的教育功能研究

高中数学形象思维的教育功能研究

研究生：耿慧英

指导教师：李莉

专业：学科教学・数学

摘要：数学具有高度的抽象性，因此学习数学需要有较强的抽象思维能力。长期以来，人们对数学抽象思维的研究关注较多，而对于数学形象思维却问津较少。根据高中生思维发展特点，高中生学习数学要经历从形象思维到抽象思维的过渡阶段，这个过渡要贯穿于高中数学学习的全过程，如果不科学进行的话，会影响高中生数学思维能力的发展，造成严重的学习负担，影响后续学习。本论文从这一担忧出发，在阐述数学形象思维的含义、特点及其分类以后，对在课堂教学中如何发挥数学形象思维的教育功能作了一定的理论探究，在此理论指导下，进行大量的教学实践，并以一个典型的教学案例展示课堂教学中如何充分利用形象思维的优势及其产生的良好效果，最后对前、后测成绩做出统计分析，旨在突出利用形象思维思考问题的优势和重要意义，引起人们对数学形象思维教育功能的重视，从而能够通过多方面努力促进学生数学形象思维和抽象思维的有机融合，以实现提高学生整体思维能力的目的。

关键词：数学形象思维抽象思维能力教学实践教育功能

高中数学形象思维的教育功能研究

引言

数学是一门研究客观世界数量关系和空间形式的科学，它的最终形态是以抽象的形式呈现在人们面前，导致人们看不到它被发现、被创造的艰辛历程，也看不到人们为了获得它所使用的非逻辑手段，致使许多人在谈论“数学思维”时，常将其等同于抽象思维。在以往的数学教学中，由于忽视青少年心理，生理发展特点，不注重与学生生活实际的联系，忽视形象思维的作用，不重视形象思维与抽象思维的有机结合，过分强调数学形式化的要求，不重视数学形象思维能力的培养，使大量学生感到没有过人的智慧就无法学习数学，误认为数学里只有抽象没有具体，只有推理没有猜想和想象，只有逻辑方法没有非逻辑方法。这往往使刚刚跨入数学大门的中小学生产生敬畏的心理，怕学数学或者对数学敷衍了事，对数学产生不了浓厚的兴趣，因此，从数学学习的本质看，在课堂教学中需要重视数学形象思维能力的培养。近些年虽然有一些教育工作者在非逻辑方法教学工作上做了许多探索，并取得了一些成绩，但还有待于深入研究．本文就是要在给出数学形象思维概念、特征的基础上，结合教学实践对数学形象思维在教学中的教育功能进行一定的探讨，旨在唤醒一种意识——开发数学形象思维潜力的意识，从根本上减轻学生学习数学的负担，为科学地进行素质教育尽一份微薄之力。

一．思维与形象思维

１．思维是人脑对客观事物的本质和内在规律性关系的概括的、间接的反映，是认识过程的高级阶段。

在心理学中，根据思维的抽象程度通常将其分成直观行动思维、具体形象思维和抽象逻辑思维。

就思维的起源来说，不管是种系发展还是个体发展，思维的发生和发展都要经历直观行动思维一具体形象思维一抽象逻辑思维这样三个阶段，并在儿童青少年的发展过程中，表现出一定的年龄特征。但是，由于思维活动的复杂性，这三种思维之间又能相互渗透。对思维成熟者，例如成人来说，每一种思维都可以高度发展。从这个意义上说，这三种思维是“平等”的，不能说有好有坏。

２．具体形象思维是以具体表象为材料的思维。它是一般的形象思维的初级形态。具体形象思维是抽象逻辑思维的直接基础，通过表象概括，发挥言语的作用，逐渐发展为抽象逻辑思维。具体形象思维也是一般的形象思维或言语形象思维的基础，通过抽象逻辑成分的渗透和个体言语的发展，形象思维本身也在发展着，并产生新的质。

形象思维以表象或形象为思维的重要材料，借助于鲜明，生动的语言作为物质外壳，在认识中带有强烈的情绪色彩。它的主要心理成分有联想、表象，想象和情感。

抽象逻辑思维是以抽象概念为形式的思维。尽管它依靠于实际动作和表象，但其主要是以概念、判断和推理的形式表现出来的１。

形象思维的最终目的是反映客观事物的本质与规律，它与抽象思维一样都属于理性认识，都是对客观事物的概括性的、间接性的反映；与抽象思维不同的是，它主要是通过创造出一般性、典型性的形象来反映事物的本质，因此它具有思维的一般特征，

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是一种思维活动。

３．有形，有结构，就存在“形象”。在数学上，我们必须指出，数学中的形象已经不是形象思维初级阶段的那种形象，既单凭人的感官在所能感知阈限的限度以内的形象，而是在前一步抽象的基础上通过抽象逻辑思维的渗透和数学语言做物质外壳，运用典型化的手段概括出的理想化形象，因此对于数学形象的理解，绝不能仅仅的理解为几何图形，除几何图形之外，它还包括各种试验、实物、模型、表格等，甚至也不排除数学知识在头脑中形成的记忆形象和较直观地揭示问题本质的语言和符号等。如结合数轴解不等式中的数轴；利用图像讲解函数性质的图像；利用韦恩图讲解集合有关知识的韦恩图等均属于数学形象。又如在讲解一元二次方程根与系数的关系时，可让学生解几个方程实例，再引导学生分析根与系数之间的内在规律，抽象出一般的韦达定理。这里解的几个方程实例对学生来说就是数学形象。因此，数学的形象大体属于观念形象的范畴。从这个意义上说，数学形象思维与抽象思维一样属于认识的高级阶段，同样可以揭示、反映事物的本质和规律。

因此，可以说，数学形象思维是人们在认识数学对象的过程中。采取典型化概括的思维方式获取对象固有的或可能有的形象如图形作为思维材料，并对其进行反复思维加工，以揭示对象如图形与量的关系及变化规律的一种数学思维活动‘。

二．数学形象思维的特点

从数学形象思维所使用的思维材料方式加以分析，它既可以简洁明了、形象直观地反映出数学对象问的数量关系和空间形式，又可以不受任何逻辑规律的约束，游刃有余地做大范围的思维跳跃，开辟了更大的思维空间，正因为如此，也显现出它模糊不确定的不足。

数学形象思维除了具备一般形象思维的形象性、概括性的特点外，还有着不同于一般形象思维的特征。概括下来主要有以下几点：

１．形象性

形象性（又称直观性）是数学形象思维区别于抽象思维的主要特征。它体现在数学形象思维是借助于具体的形象与理想的形象来展开思维的。

倒１：集合间的交、并、补运算。借助于韦恩图，

可以十分直观、清晰地反映出集合间的关系，易于

学生理解运用．（如图２－－１）

法国数学家阿达玛（Ｈａｄａｍａｒｄ）的研究表明：

许多数学家都是借助于模糊的图像进行思考的，尽

管模糊的图像与严密的逻辑推理之间有一定的距

离，但在许多情况下却成了解决数学问题的关键所在。图２—１

在数学抽象思维活动中，思维加工的对象是数学概念、判断和数学推理，加工的方法是分析、综合、演绎等逻辑思维的方法，思维的结果则是形成新的概念、判断和推理，这与形象思维完全不同。数学形象思维的对象是数学形象材料：加工的方法是联想和想象；思维的结果是在数学形象的基础上形成的新的更高级的数学形象。

２．整体性和跳跃性

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数学形象思维的思维过程不遵守形式逻辑的规律，不必由一些形象一步一步地严格推演出另外一些形象，它是对多种形象性特征进行并行性综合加工。因此它能从全局上、整体上把握思维的本质，让思维从不同方向上得到发散，形成思维的跃进。

３．模糊性

抽象思维要求思想明确，力求精确；而形象思维总是带有模糊性的特点。在抽象思维中，抽象思维的基本规律，要求思维过程保持确定性。在形象思维中，形象本身就具有模糊性。作为整体进行思考的任何一个联想或想象中的形象，其边界往往是模糊的，是舍去了许多个性的大致轮廓。只有这样，形象或图像才能容纳更多的信息，可以把许多逻辑言语信息概括起来，缩短思维周期，提高思维效率；同时在形象思维过程中的跳跃性也导致了思维的结果具有一定的猜测性。正是由于形象思维这些特征，造成形象思维的许多结果是不确定的，需要运用抽象思维进行验证．

４．抽象住

抽象性是数学的基本特征之一，它不仅仅表现在数学概念和数学理论上。数学中的形象，如数学图形同样具有抽象性，因为数学图形同数学概念和理论一样，是客观事物的属性在不同侧面、不同程度的显现，他所不同的仅仅是表现形式的不同而已．数学概念或理论主要是用数学语言或数学符号表述的，而数学形象的表述形式则是数学图形等等３。

数学形象思维的认识对象既可以是现实世界中的原始图形和关系等，也可以是数学中的某些内容，如定理、公式、法则等，还可以是某些数学元素，如点、线、面、集合、函数、矩阵等．

作为数学形象思维表述形式的数学图形，不同于现实世界中的原形和艺术中所反映的形象，但它与艺术中的形象有相通之处，即它们都运用了典型化的方法进行概括，只是在通常的情况下数学图形的抽象程度高于艺术形象的概括程度。

５．创造性

由于数学形象思维不存在固定不变的逻辑通道，所使用的思维材料和思维产品绝大部分都是加工改造或创新出来的形象，因此形象思维具有很强的创造性。曾写过突变理论的美国数学家斯蒂恩（Ｓｔｅｉｎ）就说过：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并能创造性地思索问题的解法。”

三．数学形象思维的分类

根据数学形象本身的抽象概括程度可将数学形象思维分为三个层次：１．几何思维

直观形象包括平面几何图形、立体几何图形、函数图像等。这样的形象属第一层次的几何思维，它常用于研究尚具有直观特点的几何问题，画出文字语言所表示的图形，添加几何证明中的辅助线，把实际问题数学化为几何问题，皆属于这个层次的数学形象思维。

２．类几何思维

类几何思维是主体把己知和与已知类似的经验形象沟通，从而解决数学问题的一种思维。一定的“形”或“结构”常对应一定的“式”。如在解代数题时，或联想与

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构特征，联想与之对应的熟悉一结构”，负Ｊｔａｎａ—ａ．，ｋ，苎二：２互都是斜率的结构等

Ｄ羞一矗

等，通过研究结构的特点使问题得到解决。

倒２：已知点Ｐ（‘ｙ）满足√：了＿石了了矛＋０７ｉ石二丽．４，求点Ｐ的轨迹方程。经观察可联想到点Ｐ（ｘ，ｙ）到两定点（ｏ，．压），（ｏ，括）的距离和为４，又因为４＞２压，根据椭圆定义可知：点Ｐ的轨迹为椭圆，从而写出所求方程：

￡＋矿．１

这种由式而产生的图形或结构，也就是经验形象，其中的联想过程就是类几何思维。

３．意会形象思维

意会形象即对各种数学关系的形象化的感觉，这种感觉更为抽象、更为朦胧，一般不进入人类公认的知识体系，只存在于单个人的头脑中，它是主体本人对数学对象的一种整体把握。只可意会不可言传是其主要特点．在很多时候进入了具有神秘色彩的直觉领域。著名数学家阿达玛（Ｈａｄａｍａｒｄ）说：“在我所从事的全部数学研究中，我都会构作这样的图像，它一定是一幅模糊的东西，有了这个图，我才不会误入歧途。”阿达玛（Ｈａｄａｍａｒｄ）所说的“图像”即是意会形象。

综上可知，数学形象思维是人们通过形象反映数学对象间关系的过程，是一种理性思维。它既具有形象性，又具有抽象概括性；它不仅活跃在几何学习中，而且在其它领域的数学学习中也有充分体现。

四．数学形象思维的教育功能

形象思维在数学课堂教学中的教育功能，具体而言可以概括为以下几点：

１．能有效促进对数学知识的理解、记忆和提取，是培养抽象思维能力的基础

学生往往难以接受高度抽象的数学概念和数学规则，他们需要通过具体模型组织者把抽象的结果“翻译”、“转换”成他们能直接感知、想象的意象，借助于数学形象思维，完成对抽象概念和规则的理解、记忆等。

数学虽以其抽象性、严谨性著称，但是数学思维中也有形象思维的成分，这是人们建立和理解数学概念的基础。在数学科学的演绎体系中，从原始概念到命题结论，无一不是从具体事物中抽象出来的理想事物，显然，对理想事物的形象感知在不能纯抽象、纯逻辑地解决全部问题时起着极其重要的作用４。所以数学概念的形成、学习离不开形象思维。

法国著名教育家Ｇ・绍盖认为：一堆没有亲身体验或视觉形象所支持的概念不能开发智力，只能关闭思路。比如学习函数概念时，不让学生接触现实生活中具体对应关系的量、事物，那么学生就无法进行积极的思维，造成学习上的不理解、囫囵吞枣，最终往往只能把思维的负担转嫁给记忆，听数学课就象听天书。

根据心理学理论，任何概念都包括概念名称、概念例证、概念属性和概念定义四个要素。也就是说，我们学习任何数学概念都离不开例证这个具体形象的支持。

数学定理的学习、证明也离不开数学形象思维。学习一条数学定理及其证明，只有当我们把其直观含义和证明的直观思路弄明白时，才是真正懂了。学生学习数学知识也同样如此，比如对加法原理，乘法原理的教学，教材中先给出一个生活中的实际例子，从学生已有的经验出发，使问题得以解决，从而使学生对问题有了一个整体认识，然后再给出原理内容，这样使学生领会了数学知识的本源，不会因为所学知识过于抽象而难以理解。

这样从天而降的加法原理、乘法原理成为学生积极思考过程的结果，学生不但掌握了知识，还能掌握其思考方法，同时也使学生进一步认识到数学定理在现实生活中的价值。

只要我们充分利用现实提供的生动形象的事实，积极发挥数学形象思维的作用，抽象的数学对象是不难把握的。数学教学的内容应该是课程标准中所提出的“现实性的数学”及与学生的现实生活密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学。那种过于强调数学的抽象形式，忽视生动的模型，过于强调数学内在的逻辑关系，割裂它与现实的密切联系的数学是病态的数学，只会使学生失去学习的兴趣和探求欲望。

２．数学形象思维有助于思维的深刻性、概括性的发展

生理学和心理学的大量实验证明，形象思维与抽象思维相互作用、相互转换，。形象思维的发展将促进抽象思维的发展。

形象可以分为三大类：ａ．实物直观如实物、标本，实验、参观等；ｂ．模型直观如模型、图片、图表、幻灯、录像等；ｃ．语言直观如数学教学中用形象化语言来讲解概念、定理等。这三种形象思维类型的抽象度是不一样的，从实物、模型到形象化的语言，其形象程度递减，而抽象程度递增。利用这个规律，我们可以把学生的数学思维由不同层次的形象直观逐步引导到纯粹的数学抽象。

倒３：在讲椭圆定义时，用实物演示下述过程：在平面上固定两个螺丝钉Ａ、Ｂ，将一定长无弹力的绳两端分别系在Ａ、Ｂ上其绳长大于点Ａ、Ｂ间距，然后用粉笔拉紧绳在平面上移动，画出的曲线为椭圆。

让学生用形象化语言描述椭圆的特点，最后再用严格的数学语言表达出来。在此基础上，学生能更容易进行对双曲线的学习，从而掌握学习圆锥曲线的思想方法。

３．形象思维有助于发散性、创造性数学思维能力的培养

首先，抽象思维按照逻辑，运用推理将条件和结论连接起来，每前进一步都必须有充分的理由；而形象思维是从全局上、整体上把握事物的本质，又有形象性、跳跃性等特点。这些特点表明形象思维有助于创造性和发散性思维能力的培养。甚至有人认为形象思维与发散性思维基本上是等同的。形象思维具有使若干要素同时进行加工的特性，并且容易操作、消除、重建。例如：爱因斯坦（Ｅｉｎｓｔｅｉｎ）说过：“我思考问

题时不是用语言进行思考，而是用活动的跳跃的形象进行思考，当这种思考完成之后，我要花很大力气把它们转换成语言。”这表明人们在获取知识和解决问题的过程中，通常是先从形象思维开始的。

例４：设ｎ、ｂ、ｃ、ｄ，求证：√口２＋６２＋√ｃ２＋ｄ２２√（口＋ｃ）２＋（６＋ｄ）２。从不等式两边表达式的形式结构看，联想出两点间距离公式的形象，向量模的形象，向量坐标的形象，向量加法（平行四边形法则）的形象，三角形两边之和大于第三边的形象。学生将一系列的形象联系起来，对问题的解决有了整体的认识。

由√４２＋６２＋√ｃ２＋ｄ２２√（口＋ｃ）２＋（６＋ｄ）２联想到：

己知向量ｒａｉ（４，６），ｎ一（ｃ，ｄ），Ｂ，ｔ＋ｎ一（口＋ｃ，６＋ｄ），则ｌｍＩｔ、／口２＋６２，一．一一●一Ｉｒ‘：——●Ｉ引．√孺，每＋习．√石：ｉ产；丽，当向量一ｒａ与ｎ一共线同向时：ｌｍｌ＋ｌ二ｌ—Ｉ鬲＋二ｌ；

当向量鬲与ｎ一不共线时：

（如图４—１）

图４－一１卧州鬲＋司

最终证得Ｉ鬲Ｉ＋同乏｜＿＋；；ｌ，即√：丽＋√：丽２√石了石‘ｉ五ｊＦ．有了上面的联想作基础。可类比证明：√＝丽＋√＝了：７２√ｉ＝巧石ｉ珂；√：丽・√：丽≥∞＋６ｄ等结论。

其次，形象思维既是“问题信息源，又是途径信息源”，它是解决数学问题必不可少的思维方式。但是在传统的教学中，学生总是被要求去解由教师所给出的问题，很少积极主动地去提出问题，缺少形象思维展开的过程，这对于培养学生的创造思维能力也是十分不利的。“在创造性思维的过程中，他们还必须具备撇开对事实作逻辑思考，而把思维元素连接成新的形象系统的能力。没有这种能力，就不会用新的眼光看待问题，从司空见惯的东西里发现新的东西。”４所以说，形象思维的过程是必不可少的。例如：函数的连续性，是从画出图像是连绵不断或不间断的形象对比中引出概念，又如微分中值定理在赋予微商以曲线上一点的斜率的几何意义以前，很早就有了，而它的逻辑证明却远远落后于此。

所以形象思维首先是问题的信息源，它可以从中提出问题，激发抽象思维，并使抽象思维定性化。

４．数学形象思维有助于培养学生良好的数学兴趣

认知富有情绪色彩，是形象思维的一个重要特征。数学的高度抽象性使许多学生

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认为数学枯燥难学，丧失了学习数学的兴趣，这对于学生数学思维能力的培养是非常不利的。正是由于数学的抽象形式往往舍弃了许多与研究角度无关的因素，舍弃了许多原有的“问题状态”，因而不具有任何具体的实际意义。这种高度的抽象性和形式化的操练，导致大量的学生丧失了学习数学的兴趣，认为数学是分辨好坏学生的“筛子”。

而数学形象思维的展开恰恰需要大量现实直观的知识作为背景，可以恢复数学原有的“问题状态”，再加上其形象化的特点，它可以还原高度抽象、高度形式化的数学以本来面目，使学生学到的数学贴近自己的生活，让学生感受到数学的价值，从而培养学生学习数学的积极兴趣，让更多学生乐学、愿学数学。而且学生对学习数学有了积极的情绪，就会积极主动参与到数学学习中来，充分发挥他们的自由联想力和想象力，这样可以促进形象思维的发展。可以说没有良好情绪的参与数学形象思维是很难展开的。

因此教师应注意在课堂教学中有效地使用形象思维，突出形象思维的直观、形象的特点，就会使更多的学生远离高度抽象的数学。例如：在介绍诱导公式时，需要学生掌握六组基本公式，抽象而琐碎。若在证得六组公式后，把其特点编成顺口溜：“奇变偶不变，符号看象限”，实践演练后会收到意想不到的效果。

青少年在求知过程中，喜欢新鲜、有趣、多样化。因此，学习时配以贴切形象的歌诀，能引起他们的兴趣，且便于记忆。此外，我们还可以通过构图来实现形象化，使数学学习化抽象为具体、化深奥为浅显，激发学生学习数学的兴趣。

正是从这些角度去分析，数学形象思维能力的培养在课堂教学中有重要的意义，它不但使学生学会了思维，而且对提高学生的整体思维能力有不容置疑的作用。

在充分肯定形象思维的意义和作用的同时，也要辩证地看到抽象思维的意义和作用。以经验为背景的形象思维，不可能完全脱离抽象思维。一个科学家如果只凭想象而不会运用概念、判断来确定形象，那就只能是一个空想家。在形象思维的过程中，抽象思维时隐时现地起着指引、规范和制约的重要作用，只是有时看起来不很明显或不很自觉而已。

在实际思考问题的过程中，形象思维和抽象思维就如同人的左右两目一样，交织在一起而很少出现“单独工作”的情况，二者同时存在、互相作用、互相补充：只不过在处理不同的问题时，思维形式的侧重不同而已。从数学学习的角度看，一方面数学中的抽象与形象两者是不可能绝对分割的，而是相互渗透、对立统一的。例如：对于数学教学中函数概念的认识。从集合形象角度看，函数是两个集合间元素的一种抽象的对应形象，但若从其来源的途径看，则是对现实事物之间多种对应形式的一种高度的抽象概括。因此，数学概念本身存在着形象思维和抽象思维的辩证统一，通常从问题的观察角度来确定其主要的思维形式。另一方面，数学问题的解决往往是逻辑推理和似真推理的有机结合。所以在数学学习中，二者应互相配合，相辅相成。不能割裂，在数学教学中，两种思维的训练均不可轻视，更不可缺少任一方面。

过去那种过分重视抽象思维训练的数学教学，我们已经付出了沉重代价，所以不仅仅要重视数学形象思维能力的培养，而且更要重视二者的协调发展，只有这样才能提高学生的整体思维能力。

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基于数学形象思维的上述教育功能，我们必须改变过去过于侧重抽象思维教学而不太重视形象思维的状况，在课堂教学过程中加强形象思维教学，使其掌握数学学习的方法、途径，培养学生数学形象思维能力，在教学中使抽象思维与形象思维有机结合，以促进学生大脑思维的整体发展，更好地提高学生的整体思维能力，同时培养学生学习数学的兴趣和自信心，感受良好的情绪体验。

五．实现数学形象思维教育功能的教学措施

在教学实践过程中，为了实现数学形象思维的教育功能，主要从形象思维的三个基本成分（意象、联想、想象）的培养入手，并结合数学思想方法的教学，促使学生的数学形象思维能力向更深层次发展，更好地促进其数学形象思维与抽象思维的有机融合，最终使学生的整体思维能力得到提升。

１．揭示形象的产生过程，建立丰富意象

数学形象思维的意象与数学抽象思维的“概念”在各自思维中具有同等作用。因此，在进行数学形象思维时就必须善于迅速而正确的建立意象，可以说，没有很强的建立意象的能力，难以形成数学形象或者某种“心智图像”，因而难以展开数学形象思维。意象不同于感性直观、数学表象。它是具体形象的某种抽象，是抽象性的感性，因而他总离不开事物粗浅的直观表象。所以在数学教学中，应充分展示意象的建立过程。例如：在‘椭圆及其标准方程》的课例中，我将两枚钉子固定在木板上，然后将一段无弹力的细线固定在钉上（绳长大于两钉子间距），然后用粉笔将绳拉紧，画出椭圆曲线，并让学生观察思考这个过程中的不变量，让学生感受椭圆上任一点的共性，引导他们从表象加工的水平上，进一步形成意象，然后用准确的数学语言加以表述，这样使学生对椭圆的认识形象生动，理解透彻，为后续学习打下扎实基础。

２．提供背景，使学生有整体观察思考的过程

我们可能都有这样的体会，对一个新的问题，有时局部考虑抓不住问题的本质，而整体考虑则豁然开朗。

１

例如：研究Ｙ－工＋二型函数的最值问题。

工

１

例５：求函数Ｙ－工＋二（ｘ＞０）的最小值。

工

１

工

１１工．解：・．・工＞０，由均值不等式：ｚ＋二≥２，当且仅当Ｘ一二，即∥一１，ｘ一１时取“＝”

．‘．Ｙ１ｚ＋二任＞∞的最小值是２，此时ｘ一１。’

工

１

倒６：求函数Ｙ－工＋二（工２２）的最小值，再用均值不等式求解，取不到等号，

Ｘ

怎么求解呢？

１’倒７：求函数Ｙ一工＋二（工＜０）的最大值。

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解：），．一（－ｘ＋土）ｓ一２，当且仅当一ｘ．一三即Ｘ－－－－１时取“＝一－－Ｘ工

．．．ｙ．ｘ＋三的最大值是一２，此时ｘ．一１。

Ｚ

倒８：求函数），。工＋三（工量一２）的最大值，

Ｘ

用均值不等式取不到“＝”，怎么求解呢？

什么原因造成同一函数关系式在定义域不同情况

下，最值的变化呢？如何解决这个问题。

如果我们能对函数ｙ。工＋三的图像有个整

工

体认识，就不难理解和解决这类问题了。图５—１

通过对ｙ。工＋三的导数的分析，我们可以求其极值点（如图卜２），并判断出其单

工

调性，从而画出其草图（图５—１）。

Ｘ（－∞，－１）．１（－１．ｏ）（Ｏ，１）１（１ｔ－ｂｏｏ）

ｙ

ｙＯＯ递增递减递减递增

图５—２

１

从图像上可整体把握函数ｙ一石４－二的走向。

Ｘ

１

。１函数ｙ－工＋二（工乏２）或ｙＩｘ＋二（工主一２）在其单调区间上，

Ｘ

气

二Ｘ气二因此ｘ≥２时，），女一三；工‘一２时，ｙ一－一吾・

１

有了这个认识，求ｙ－工＋二型函数最值时就能够运用自如・

Ｚ

另外，在研究‘立体几何》中空间直线位置关系时，使学生认识到正方体就是一个典型的立体空间，各种直线的位置关系都可以在正方体中去建立、寻找、判断，而不至于茫然不知所措，或思考不全面，导致其失去学好数学的自信心．

３．提供丰富的感性材料，突出其本质

在任何情况下对事物和现象的具体知识所积累的总量，都是各种概括活动的先决条件，因此在教学过程中应提供一定的感性材料，且这些材料应当是多种变式的，以便将事物的本质属性从各种表现形式的非本质属性中显露出来。这样，概括出来的结论就容易具有科学性，防止概括的单一性和片面性。

例如，在学习直线方程的截距时，为学生提供下面习题：

例９：分别写出：直线ｙ－２ｘ＋ｌ与直线Ｙ１３ｘ在两坐标轴上的截距。

１

解：因为直线），－２ｘ＋１上有点（ｏ，Ｉ）、（一妻，ｏ），所以其在矗Ｙ轴上截距分别是‘

１

一去，ｈ直线Ｙ一３工上有点（ｏ，ｏ），其在就Ｙ轴上截距都是０。Ｚ

第一，使学生掌握求截距的方法；

第二，使学生明白截距的几何意义不是距离，而是直线与坐标轴交点的对应坐

标。

在“感知——概括”的过程中，要尽可能地保留事物的原有性质，这样容易暴露事物的本质特征，有利于反映同种特征的表象的不断积累和概括。

倒１０：已知口“－２ａ：，且ｑ一４２・写出ａｎ的表达式・

ｑ．压，ａ２—２・（√秒，ａ３—２・２３（压）３２，口．。２・２３・２３２（压）矿…这里各项都不必化简，否则难以归纳概括出４。的本质特征・

４．教学中应引导学生发现新旧知识的联系与区别，认清所学知识的本质，学会思考

学生学习数学离不开现实的生活经验。对学生来说，数学知识并不是“新知识”，在一定程度上是一种“旧知识”，是他们生活中有关数学现象和经验的总结与升华。每一个学生都从他们的现实数学世界出发，与教材内容发生相互作用，建构自己的数学知识。因此，对于与学生在生活中经常碰到的现象相近的材料，应注意突出其差别，建构正确的数学知识，减少负迁移．

倒ｎ：在立体几何中，研究两直线位置关系时，“若直线４上ｃ，ｂ上Ｃ，则ａ与ｂ位置关系如何。”学生的第一反应是“平行”，这是受平面几何学习的影响，教师可以通过实物模型：教室中墙面形成的各棱之间的位置关系，展示三维空间中，两直线位置关系不是二维空间的简单迁移，使学生意识到他们之间既有联系又有区别。

５．加强代数知识与其相应几何意义之间的联想，不断渗透数形结合思想，促进两种思维的有机融合

数学是研究数与形的科学，教材本身充分预示着代数知识与几何知识的有机融合，只不过教材有时未对他们一一指出罢了。作为教师必须注意自觉地对教材进行充实和完善，有意识地引导学生进行“遇到代数想几何”的训练。这样做不仅可以加深、强化对每一个代数知识点的理解和识记，还能促进学生的数形结合能力，从而提高学生的思维能力。

下面举例说明之：

５．１重视图形语言的掌握，加强多种语言的转化

对同一个数学对象可以用不同的数学语言来表达。基本的数学语言包括：文字语言、图形或图像语言、符号语言。用多种语言描述和呈现数学对象是一种有效地获得对概念本身或问题背景深入理解的重要策略，为划归思想的展开提供了便利条件。从数学学习心理角度看，不同的思维形式，它们之间的转换及其表达方式是数学学习的核心。在数学思维过程中，形象思维与抽象思维交织在一起，因此数学语言也要不断的进行转换，这样思维才能顺利的进行，提高学生的思维能力。

倒１２：已知ａ＞０，ｂ＞０，求证：

ａｂ

（４＋６）２－ａ２＋２口６＋６２．

分析：从式子各项观察式中；

（ａ＋∞２４２，ａｂ，ｂ２表示四个乘积。由此

构造边长为ａ－Ｉ－ｂ的正方形，则８ａ（４＋６）２，ａ２，ａｂ，ｂ２分别用小矩形面积来表

示（如图５—３）

证明：构造以ａ＋６为边长的正方形。在各

边上截取ａ，ｂ如图，并做出小矩形，由图可

知：四个小矩形的面积和等于整个正方形的

面积。６ｂａｂ

．・．（ａ＋∞２一ａ２＋２口６＋６２图５—３

在上面的例子中，已知条件是用符号语言给出的，我们可以联想与之对应的图形，将它转化为图形语言。利用图形语言的特点，使问题得到巧妙而简洁的解答。

可以看到数学语言的转化是解决问题的核心。同时我们更能看到图形语言在解决问题的过程中起到了关键的桥粱作用，它不但提高了形象思维能力，而且对发展学生的思维能力是大有好处的。

图形与数学图像是一种特殊的数学语言，它是一种视觉语言，它不同于一般的符号语言，它是多维的而不是一维的，它形象生动、容量大，便于学生观察、联想和记忆。

将图形语言符号化，也是发展学生数学形象思维，提高学生整体思维能力中不可忽视的方面。图形语言与符号语言各有其自身的特点。

教学过程中要准确交流思想，正确表达数学观点，不可避免地使用符号语言。进行符号语言的教学，其中～个重要的内容就是能够将图形语言翻译成有较强概括性、易于理解的符号语言。

例１３：在‘立体几何》中，证明：直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

高中数学形象思维的教育功能研究

己知：ａ《Ｏｔ，ｂＣａ，ａ／／ｂ。

求证：ａ／／ａ。

证明：（反证法）假设直线ａ不平行于平面Ⅱ，

．．．ａ旺口，．．．口与ａ交于一点，设口Ｎａ＝Ｐ，

若Ｐ∈ｂ，则ａｎｂ—Ｐ与ａ／／ｂ矛盾：图５—４

若Ｐ正６，则ａ与ｂ是异面直线，这与ａ／／６矛盾。

综上，假设不成立，即ａ／／ａ。

这个问题的解决过程：根据文字语言的叙述画出图形然后转化为符号语言，再用符号语言写出证明过程。

５．２．数形结合，丰富联想，启迪思维

从现代思维学的角度看，数学中数形结合的思想方法实质上是在抽象思维指导下的形象思维方法。数形结合与转换过程就是在数学概念、判断，推理的参与下，运用联想和想象的形象思维活动的过程，这种方法发挥了抽象思维与形象思维两种方法的优势，在探索、解决问题的过程中有着巨大的作用，因而成为具有普遍意义的数学思想方法。

ｒ‘——●

倒１４：当方程√１一ｒ—ｋ（ｘ＋劲一１只有一个解时，求ｋ的取值范围。

直接解方程是相当繁琐的。如果能转换角度：

令ｙｌ－√１一矿。Ｙ２－ｋ（ｘ＋２）－ｌ：

在同一平面直角坐标系中分别做出图像，本题可

转化为“ｋ为何值时，Ｙ。的图像与），２的图像

只有一个交点。”

如图５—５：Ｍ・√１一Ｐ的图像是上半圆，

Ｙ２ｔｋ（ｘ＋２）－１的图像是过定点（－２，・１）的直线系・图５—５

根据图形结合计算可得七∈弓，１）ｕ｛；｝时两曲线只有一个交点・

例１５：已知点Ｍ（３，５），在直线Ｚ：ｘ－２ｙ＋２—０和Ｙ轴上各找一点Ｐ和Ｑ，使ＡＭＰＱ的周长最小。

作图分析如下：

高中数学形象思维的教育功能研究

点Ｍ关于直线ｆ的对称点Ｍｌ（５，１），

点Ｍ关于ｙ轴的对称点Ｍ２（－３，５），

７．ＭＰ—Ｍ，，ＭＱ－Ｍ２Ｑ．

ＡＭＰＱ的周长＝ＭＰ＋ＭＱ＋ＰＱ≮一蔓蔓……＼Ｏ

＝ＭｌＰ＋Ｍ２Ｑ＋ＰＱ，

当且仅当Ｍ１、Ｐ、Ｏ、Ｍ２四点共线／／受Ｍ（Ｓ．５）Ｏ。时，周长最小＝ＭｔＭ２＝４垢。图５—６

总之，各种语言的相互转化是培养学生数学形象思维能力，促进两种思维的有机融合，提高学生的整体思维能力不可缺少的方面。各种语言的相互转化重点是图形语言与符号语言的相互转化，只有这两方面都得到全面的发展，才能培养学生完善的数学形象思维能力，使学生对数学问题的理解、叙述顺畅无阻。

６．设计模型、深化想象

在数学教学过程中培养学生的想象能力，仅有丰富意象，而没有一定的模型设计能力，就会使想象永远停留在直观形象的水平上，而不能上升到高度抽象的层面。为了使学生便于想象，深化想象，教师必须用直观形象的语言为抽象的问题设计模型，做好抽象与直观的转化。唯有如此，才能使想象更具有概括性、深刻性和内在的逻辑性。

例１６：数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种重要方法。它仅用“有限”的几步就巧妙地证明了对自然数都成立的命题。

然而学生初次学习时对它的基本思想是不会一下子完全理解的，他们对数学归纳法的合理性常常发生怀疑，表示难以想象。为了克服学生的思维障碍，排除想象困难，我们为学生设立一个无穷级梯子，把数学归纳法和无穷级梯子相比较．比如，证明所考虑的等式对于ｎ・１成立，就表示我们有能力登上无穷级梯子的第一级；证明能够从ｋ过度到ｋ＋１，就相当于我们有能力从梯子的任何一级走向更高一级。只有具备了这两种能力，我们才能达到梯子的任何一级。。无穷级梯子”这一模型的设计与推出，全靠直观形象化的语言的调节，使学生深化了想象，理解了概念，掌握了思考问题的思想方法。

通过上述论述我们可以看到数学形象思维能还高度抽象的数学以本来面目，使学生的心理活动更丰富，这样有助于他们更深刻地认识事物的本质和规律，更好地促进两种思维的有机融合，提高学生的思维能力，建立起学好数学的信心。

数学学习中学要培养数学形象思维能力，但是培养形象思维能力不是最终的目的，因为停留在直观形象层面的具体模型还不能等同于抽象的模式，也不能说已经领悟到数学的精神、思想与方法，直观形象地看出的结果，与严格准确地表达出来之间

有一个数学化的过程，而且形象思维本身跳跃性的特点也会导致错误，需要抽象思维进一步验证。抽象思维与形象思维是互相结合、互相渗透的。没有抽象思维的参与，形象思维是肤浅的，缺乏能动性；没有形象思维的作用，抽象思维是贫乏的、呆板的。我们最终的目的是要培养学生的整体思维能力。

因此数学教学也不应仅满足于形象化阶段，而应考虑怎样上一个台阶，进一步发展学生的整体思维能力。要上台阶就要有相应的能力，包括对数学模型的概括能力、对数学方法的运用能力、对数学语言的组织能力、对数学技巧的创造能力等，这些问题还有待于在教学实践过程中进一步研究、探索。

六．探究数学形象思维教育功能的教学实践

１．实践介绍

自２００５年１月进入辽宁师范大学学习以来，在各位老师的指导下，我一边进行理论学习，一边用学到的知识指导教学实践，有理论指导的教学实践让我觉得效率高，信心十足，同时我也逐渐意识到，应该把一些教学感悟写出来，但由于我的这些感悟比较零乱，不容易组织，不知从何下手。后来在导师李莉副教授的指导下，我浏览了大量的文献资料，在这个过程中，我知道了自己的某些想法别人早就写出来了，自己以前的思想很封闭，也很狭隘，今后只有坚持学习才有可能跟上时代发展的步伐。

在李老师的指导下我经过仔细思考、实践，决定研究形象思维的教育功能这个课题。回想起自己的学习和工作经历，我感觉到这个课题的意义重大，虽然我的能力有限，但至少可以引起更多一些人的注意，这样就会有更多人去研究形象思维的教育功能及其应用。因为抽象枯燥的数学学习让太多的学生失去信心和乐趣，作为教育工作者有时感觉力不从心，尤其是看到那些学习数学很用功的学生，数学成绩总是不理想时，我想我们确实应该为从根本上减轻学生的学习负担做些什么了．

我阅读了李莉老师为我推荐的有关数学形象思维方面的文献资料及理论书籍，又上网查阅了更多相关方面的文献，对有关文献反复的阅读，感觉受益匪浅。

在此基础上，我制定出研究数学形象思维教育功能的实施方案，然后具体实施。我于２００６年７月进行前测，选出两个各方面水平相当的班级作为实验班和对比班。在教学过程中：备课时，总是要求自己挖掘其中可以运用形象思维解释的方面（但这并不总是容易的）；课堂上，尽可能地调动学生的形象思维活动，让学生以最轻松的方式理解所学内容，当然这需要教师在课下的不懈努力和课上的随机应变。比较典型的课例是圆锥曲线——椭圆的定义以及两个计数原理的讲解，我觉得效果不错。

于２００７年１月，对两班进行了后测，并对各项成绩进行了统计分析，实验班的成绩（包括总平均分，形象思维能力的各方面水平）都要比对比班好一些，统计结果显示，充分发挥数学形象思维的教育功能可以提高教学质量。

２．教学案例：

在课堂教学实践过程中，以提高学生数学形象思维能力为主要教学策略，使其贯穿在某些新授课、练习课、巩固课和复习课中，并已经取得了较好的教学效果。下面仅以高中“分类计数原理与分步计数原理”一节新授课的教学来说明探究数学形象思维教育功能的实践过程。

２．１教学目的

（１）通过图示，调动学生的形象思维，使其了解两个原理产生的实际意义，认识到两个原理的渊源关系，抓住其实质．

（２）在理解实际背景的基础上，借助形象思维，使学生掌握分类计数原理与分步计数原理，会用两个原理分析和解决一些简单的应用题．

（３）有意识引导学生思维过程的形象化、条理化、科学化。

（４）使学生掌握比较、类比、归纳等数学思想方法，养成借助形象思维进行学习的习惯，从而培养其应用所学知识解决问题的兴趣。

２．２教学设计：目前以“减轻学生负担，提高学生素质”为目标的教学思想正渗入课堂教学的每一个环节，倡导在课堂教学中最大限度地发挥教师的主导作用，落实学生的主体地位，努力创造条件调动学生的积极性，主动性，使其体验成功。

因为两个计数原理是学习排列、组合以及概率的基础，可见它在本章中的重要地位和掌握它的重要性。本节旨在利用形象思维使学生深刻理解两个原理产生的渊源，从而真正的理解、掌握并运用它们．

第一步：让学生自学教材，对所学知识有初步认识，并抓住难点、疑点；

第二步：教师进行讲解、设疑，学生能说明理由答对的进行肯定；重点是学生似懂非懂的难点问题，借助图示激发其形象思维，给以详细直观的解答，追根溯源，使学生想象到两个原理形成的过程和必要性以及两者之间的区别联系，能够因为理解而灵活运用两个计数原理，意识到为了适应社会发展的需要，它们还将继续发展生成为更具有概括性的数学结论，使学生感觉到数学知识的生命力，从而产生学习数学的好奇心和兴趣，并养成利用形象思维思考问题的习惯。

２．３教学过程：

师：这节课，我们来学习新的内容：分类计数原理与分步计数原理。首先大家要清楚什么是。计数”，计数就是计算数目。下面大家阅读教材９０—９２页例２结束。（学生静静阅读）

师：（大约九分钟后）看完一遍了么？

生：看完了（只有个别学生说没有）

师：再看两分钟，看完的同学做基础要点导学．

（没看完的学生集中了注意力赶紧看，其余同学做练习册）

师：（两分钟后）看明白了么？

部分生：明白了。

（有的学生没反应一一我认为这些学生中有的是真正进行思考了，并发现了疑问）师：好！我们一起来看：

问题１：一天中，从甲地到乙地只有３班汽车，５班火车，那么，一天中，从甲地到乙地乘这些交通工具最多有多少种不同走法？

生１：８种。

师：为什么？

生１：因为乘汽车有３种走法，乘火车有５种走法，所以共３－Ｉ－５种即８种走法。（众生不屑，认为太简单了）

师：好！大家是不是觉得太简单了！

（学生们笑着认同）

大家再看：

问题２：一天中，若甲地到丙地有５班汽车，丙地到乙地有３班火车，则一天中，从甲地经丙地到乙地，乘这些交通工具最多有多少种走法？

生２：（充满自信）１５种。

师：为什么？

生２：３Ｘ５＝１５。

５。师：为什么要３Ｘ

生２：乘法原理。

师：那你理解为什么要３

（其他同学也若有所思）Ｘ５么？生２：（不好意思地）不太明白。

师：对于以上两个问题，我们可借助图形来帮助理解。

（板示）

己

图６—１图６—２

师：上面的第一个问题比较容易解决，小学生也可以理解；

（部分学生的盲目自信有些受打击）

关键是第二个问题，怎么理解，为什么是乘而不是加？

（有的学生在下面小声说，大部分学生在等待解释，师巡视学生，发现生３跃跃欲试）请生３帮我们解释一下。

生３：若选定丙——乙的火车１，则画图可以很直观看出（如图６—３）：甲——丙的走法有５种；

乙

图６—３

选定丙——乙的火车２，甲——丙的走法有５种；

乙

图６—４

选定丙——乙的火车３，甲——丙的走法有５种。

乙

图６—５

所以从甲——乙的走法有３类，每类５种，共５＋５＋５种，

５＋５＋５即５的３倍等于５Ｘ３。

师：同学们觉得怎么样，合理么？

众生：啊，有道理。生４：老师，如果选定甲——丙的汽车１，则丙－－７，的走法有３种；选定甲——丙的汽车２，则丙－－７，的走法也有３种；

同理可知甲——丙的另外三辆汽车分别对应３种走法，

可以看成是５类走法，每类有３种走法，合计３＋３＋３＋３＋３种走法，

３＋３＋３＋３＋３即３的５倍等于３Ｘ５。这样看也可以吧！

师：大家分析一下，可以么？

众生：当然可以了，一回事么。

师：大家分析的很有道理，我们通过自己的思考知道了乘法原理的推得过程。现在大家想想这两个原理是相互独立，互不相干的么？

生６：不是的，从刚才的分析过程来看，乘法原理以加法原理为基础的。我想人们刚开始计数时都是用加法的，加时间长了，加的次数多了，就发现规律了，可以用乘法表示多次的重复相加，从而总结出乘法原理计数，乘法原理只是加法原理在形式上的进化，是由加法原理发展而来的，归根结底，两原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，都是计数求和。

（其他同学表示赞同）

师：从刚才的分析过程来看，两个原理都是用来计数的，乘法原理能计数的问题可通过分类用加法原理解决，那乘法原理还有存在的必要么？

生７：有必要。（大家都等着他的想法）

从图示及刚才的分析过程来看：同一个问题（问题２）用加法原理解答，在书写形式上要比乘法原理哕噱，也就是说，如果做一件事情需要两步以上才能完成，用乘

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法原理计数比较恰当，只要每一步的方法种数相乘即可。（同学们静静听着，表情严肃，点头，表示认同）．

师：同学们的分析都有一定道理，互相补充后更是让人信服，通过大家的分析，我们可以体会到数学知识和人类社会一样也在不断的成长、进化，并有其独特的生命力。通过对这两个具有普遍意义的计数原理的恰当选用，可以简化计数过程，提高工作效

率。

・

学生们（有些兴奋）：原来如此。

师：下面我们来看一个实际问题：

倒１７：一个口袋内装有５个小球，另一个口袋内装有４个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内任取一个小球，共有多少种不同的取法？

生：５＋４种。

师：为什么？

生８：要取出一个球，有两类选法，每一类分别有５种和４种选法，所以有５＋４种选法，画图看更直观。（走上讲台画图）

师：好，解释的简洁明了，能不能叙述一下分类计数原理。

囹园

图６—６

生８：如果完成一件事，有万类办法，在第１类办法中有Ｊ，１１种不同办法，在第２类办

法中有％种不同方法，……在第，ｌ类办法中有小．种不同方法，那么完成这件事共有

Ｎ一观＋册２＋……＋％

中不同的方法。分类计数原理也称加法原理。（用投影仪看下一例题）

倒１８：一种号码锁有４个拨号盘，每个拨号盘上由从０到９共１０个数字，这４个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？

（有的学生不能想象出题目所描述的情境，理解出现障碍，紧锁眉头）师：（为了引导学生进入解题状态，提示）大家看过电表么？

学生们（很兴奋）：看过。

师：这里的“号码锁的拨号盘”就像电表的电字显示盘一样。

（画出示意图）

（学生表示能够想象得出，露出笑容）

确定四位数字的号码可以看成是进行四步操作，每一步有１０种填法，并且每一步都不能省略。学生们：共有１０×１０×１０×１０＝－１００００种拨号方法。师：哪位同学能说明其根据？

图６—７

生９：根据分步计数原理，其内容是：如果完成一件事，需要分厅个步骤，做第１步有Ｊ，１１种不同方法，做第２步有—ｂ种不同的方法，……做第一步有厅～种不同的方法，

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那么完成这件事共有

Ⅳ－％。研２“…’‘％

种不同的方法。分步计数原理也称乘法原理。

师：请大家再看一个问题：

例１９：书架的第１层放有４本不同的计算机书，第２层放有３本不同的文艺书，第３层放有２本不同的体育书。

（１）从书架上任取１本书，有多少种不同的取法？

（２）从书架的第１、２、３层各取一本书，有多少种不同的取法？

分析：在相同的前提下，提出两个计数问题，画出三层书架的示意图，进入状态。（很快的，学生傲完了）

生１０：（１）题的最后结果是取出１本书，１步完成，有３类办法，共４＋３＋２－－９种取法。（２）题是每层各取一本，最后结果得到３本书，３步完成，缺少任何一步都不算完成任务。可以看成是第一步４种取法，第二步３种取法，第三步是２种取法，所以共有４ｘ３ｘ２＝２４种取法。

师：通过此例大家可以看到不同的问题要根据实际情况选择相应的计数原理，加法原理与乘法原理分别适合解决不同类型的问题：加法原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，把各类方法种数相加即可；乘法原理针对的是“分步”问题，各个步骤都完成才算做完这件事，需把每一步的方法种数相乘得到计数结果。课后大家应通过习题继续体会两原理的区别。

【课堂小结】

师：１．通过此节课的学习可知：在形式上，分步计数原理是分类计数原理的进化．在解决具体问题时，分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，把各类方法种数相加即可：分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤都完成才算做完这件事，需把每一步的方法种数相乘得到

计数结果。

２．解决问题时先要理解问题的要求，即审清题意，然后建立起相应的问题情境，进入其中，看完成相应任务的办法是要分步进行，还是分类进行，从而判断是用哪个原理来计数。

３．较复杂的计数问题可能不是简单的“分类”或“分步”就可以解决的，而是得把两者结合起来考虑，下一节课我们将进行重点探讨。

２．４教学反思；

本节课基本上能够达到教学设计的要求。第１步：学生自学，并在难点问题上产生疑问。

第２步：教师讲解和设闯相结合，根据实际情况和教学要求，对各部分知识点进行详略得当的解释。比如对分类计数原理进行简要说明，却重点分析分步计数原理为什么要使用乘法，这正是本节课的一个难点，切中要害，学生昕后，觉得受益匪浅。

第３步：为了加强学生对两个原理的长久记忆，教师引导学生联想人类社会最初的计数方式。体会到：随着人类社会的发展，计数结果不断增大，原始计数方式被迫

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要改进，经过人类长时间的摸索，逐渐形成越来越先进的计数方式，两个计数原理就是典型，它们还将随着人类社会的发展生成更高级的计数方式。从而使学生认识到两个原理被创造的艰辛历程，觉得很有信心用好它们。达到了预期的教学效果。

第４步：趁热打铁，布置学生做相应习题。在这里侧重引导学生形成科学合理的思维习惯。首先明确做事目的；然后分析所给条件，所提要求，选择对应的原理，提示学生作任何事情，其实都要先制定计划，而怎样制定一个最佳方案是关键。

２．５课后学生反映：此节课收获颇丰，但在解决实际问题时并不都顺利。

３．实践调查

３．１．实践目的

（１）有意识加强数学形象思维在数学教学过程中的运用。（２）探究提高数学形象思维能力的途径。

（３）发挥并进一步探究数学形象思维的教育功能。３．２实践的方法与步骤３．２．Ｉ实验对象

实验对象是盘锦市大洼县第一高级中学高－－（８）班和高二（９Ⅺ旺，两班人数分别是５５和５４人，高二（９＇班为实验班，高二（８）班为对比班，在实验班有意识加强运用数学形象思维进行教与学，在对比班采用传统教学方法施教，这两个班的选择条件基本满足：

（１）两班学生的数学摸底考试成绩基本一致。

（２）两班任课教师的水平及班主任的管理水平基本相当。

（３）两班使用课本相同（人教社统编教材），进行课堂教学授课时数与课外辅导时间大致相同。

３．２．２自变量

实验班与对比班在授课时数、课业内容完全相同的前提下，实验班根据教学内容有意识选择提高数学形象思维能力的教学策略施教，对比班按常规教学进行．

３．２．３因变量

实验结束后两班学生的成绩及思维水平是因变量．

３．２．４研究ｉ±程

整个研究为时两年，共分三个阶段：

（１）准备阶段：２００５年３月至２００６年７月，查阅文献资料，进行理论学习，编制实验方案。

（２）实施阶段：２００６年７月至２００７年１月。

前测：统计两班摸底成绩（满分１５０分）

后测：统计两班２００７年１月份数学

测试试卷（满分１００分）成绩及有关试题得分差异。

（３）总结阶段：２００６年９月至２００７年３月。

３．３实践结果与分析

３．３．１．实践结果

本实验采用独立样本ｚ检验对实验结果进行统计分析，并绘制成表。

表一：采用两种不同教法分别对实验班与对比班施教后，用同一份测试卷在同样的条件下测试形象思维能力的成绩统计；

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前测后测人

数

人

数

占全班人数的百分比（％）

占全班人数的百分比（％）分数段（分）

对比班（５５人）

实验班（５４人）

对比班（５５人）

实验班（５４人）

２

０

１６９伊一１００

３．６Ｏ

１．８

１１．１５

９２

８

８０一８９

９．１

１６．７３．６１４．８

５

７

１０

９７伊－７９

９．１

１３

１８．２１６．７１５

１０１４

８

６ｌ卜—６９

２７．３１８．５２５．５

１４．８７

６７５

５０—５９

１２．７

１１．１

１２．７９．３２１

２２

２１

１８

５０以下３８．２４０．７

３８．２３３３及格率６１，８

５９．３４９．１０％

５７．４０％

平均分

５５．９５４．７

５４．９６３．４标准差

１９．７

２２．２

１８．９

１９．４

Ｚ

０．３（‘１．９６）

２．３２（＞１．９６、

ｐ

＞０．０５

＜０．０５

备注．；。翌

ｓ。Ｚ＿

拄

表二：后测关于形象思维能力各个角度的测试结果：

全对人数

平均正确率题号

考察侧重点

对比班

实验班

对比班

实验班

（５５）

（５４）（５５）（５４）１

图形转化为

３２

３３

７．４

７．７式

２

图形转化为

２４

２６

６．５

６．９

文字

图形转化为

３

３０３５７．５

８．１

数量

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４

式转化为图

形

１０１５３．８５．２

５

文字转化为

图形

２０

２５５．８６．８

文字、数字、

６

图形相互转

化

４１０

２．８

４．２

７

形象识别能

力形象记忆能

力

２９

３０６．９７．６

８

８

１５３．９

４．８

９

空间想象能

力

灵活应用知

１４１６５．１５．８

１０

识能力

１６

２０

５．６６＿３

３３．２．结果分析：３．３．２．１后测试卷分析

（１）．第一题考查二次函数图像以及逻辑推理能力。通过对已知及所提供的图像特征的合理分析，判断可能图像，列出有关的式子，从而确定ａ的值．从测试结果可以看到学生们由图形到式的简单转化能力较强，这与教师平时教学经常采用图像法来帮助理解函数性质有很大关系，两班学生的水平基本相当。

（２）．第二题考查三垂线定理的逆定理及图形转化能力。通过三垂线定理的逆定理将垂直关系转化到平面ａ内，从而说明点Ｃ的轨迹是以Ａ，Ｂ为直径的圆（除去Ａ，Ｂ两点）。从结果看到学生对图形转化为文字的能力较强，但是由于刚接触立体几何，空间到平面的图形关系转化还不是很熟练。两班学生的水平基本相当。

（３）．第三题考查学生根据图形信息判断数量大小关系的能力。先用ａ、ｂ、ｃ表示两直线的交点坐标，据图判断ａ、ｂ、ｃ的大小关系，从而判断出点横纵坐标的正负，判断出交点所在的象限。学生大多能做出正确判断，比较来看，实验班的正确率要高一些。

“）．第四题考查学生将不熟悉式子转化为熟悉式子的能力以及将不等式组转化为相应图形的能力。

关键：将（ｘ－ｙ＋，ｘｚ＋ｙ—Ｄ之。转化为｛ｏ（ｘ一＋ｙｙ＋－Ｄ１）２，－。Ｏ或｛：：；：：：：，

学生在这方面的转化意识较弱，然后要画出不等式组对应的图形，由于不经常练习有些手足无措，正确做出的学生很少，说明这方面能力有待提高，比较来看，实验班答对人数稍多一些。

（５）．考查学生将文字转化为图形的能力以及对图形的理解能力。先据题画出立体

图形，这一点大多数学生都能做到，关键是能否认识到图形中呈现的角可能是异面直线所成的角也可能是其补角。大多数同学漏掉一解，说明其头脑中的图形不全面，只局限在几何体中，缺乏对图形的整体认识能力。这与刚接触立体几何有一些关系。实验班稍好一些。

（６）．第六题考查文字、数字和图形等复合信息相互转化的能力。对学生抽象思维和形象思维的相互转化能力要求较高。学生必须在经历艰难的阅读后，联想到将方程Ａｘ２＋Ｂｘ＋Ｃ－０解的情况对应到直线与双曲线的图像的交点的情况，然后据图像得出恰当的关系式。学生的得分率都很低，反映了学生综合处理信息的能力还处于较低水平。相对来说，实验班答对的人数多一些，这与平时不间断的形象思维训练有一定

关系。

（７）．第七题考查学生的形象识别能力。此题将立体几何与解析几何融于一体，看学生能否识别动点Ｐ到定点的距离等于其到定直线的距离，再据抛物线定义得出结论。大多数学生能够识别。两班全答对人数相当，平均成绩实验班好一些。

（８）．第八题考查学生运用形象思维解题意识的水平。此题解法较多，平时教学时使用多种证明方法：分析法、综合法、比较法、放缩法、三角代换、向量法等。由于不等式证明长时间没有练习，学生觉得生疏，得分率偏低。相对来说，实验班的成绩偏好，大多数学生采用了向量法证明，这与平时对形象思维解题方法的强调有很大关系，同时也说明形象记忆了的内容不容易遗忘。

（ｇ）．第九题考查学生的空间想象能力。空间想象能力是对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思考的能力。此题得分率较低从思维方式来看，此题需一个由平面到空间的形象思考的过程，学生平时锻炼较少，思维层次较高，反映了学生空间想象能力还处于较低水平。两班水平相差不大，实验班稍好。

∞．第十题考查学生灵活应用知识的能力．此题要求学生由己知画出图形后，根据图形设计出合理的解题思路。此题得分率不高，因为解题思路设计不很合理，解题效率低，反映了学生的创造能力有待提高。两班比较，实验班稍好。

３．３．２．２总体成绩分析

前测成绩反映了两个班级成绩相当，各方面的发展水平基本相同，两班成绩无显著性差异。

经过近一年时间的教学实验，对实验班加强形象思维应用意识的渗透后，又对两班进行了后测，结果显示：两班学生在形象思维能力的某些方面，如图形转化为数量、式转化为图形、文字转化为图形、文字、数字、图形相互转化、形象记忆能力、空间想象能力、灵活应用知识的能力上有了一些差距，实验班的学生比对比班的学生在思维能力上稍强一些，有显著性差异，参照前测成绩来看，可以说明强化数学形象思维的教学实验初见成效。

另外从总体成绩的平均水平来看，实验班的形象思维能力水平要高于对比班，说明加强形象思维能力训练能够较快提高学生的思维水平，效果显著。但是由于操作时间比较短，并且教师经验水平还有待提高，所以形象思维的教育功能还有很大的挖掘

潜力。

育功能。能够较快提高学生的思维水平，效果显著。

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ

ｉｓ

ａｌｌ

ｅｘｔｒｅｍｅｌｙａｂｓｔｒａｃｔｓｕｂｊｅｃｔ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ

ｃａｒｅ

ｔｈｅ

ｓｔｕｄｙ

ｏｆ

ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｎｅｅｄｓｒｅｌａｔｉｖｅｌｙｓｔｒｏｎｇａｂｓｔｒａｃｔｉｄｅａｔｉｏｎ．Ｆｏｒａｌｏｎｇｔｉｍｅ，ｐｅｏｐｌｅｍａｉｎｌｙｐａｙａｔｔｅｎｔｉｏｎ

ｔｏ

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ｆｏｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ

ｖｉｓｕａｌｔｈｉｎｋｉｎｇ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｓｏｆｓｅｎｉｏｒｈｉｇｈ

ｓｃｈｏｏｌｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｔｈｉｎｋｉｎｇ

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ａｂｓｔｒａｃｔ

ｔｈｉｎｋｉｎｇ，ａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｗｈｏｌｅｉｄｅａｔｉｏｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｖｉｓｕａｌｔｈｉｎｋｉｎｇ；ａｂｓｔｒａｃｔｉｄｅａｔｉｏｎ；ｅｄｕｃａｔｉｏｎｐｒａｃｔｉｃｅ；ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｏｆ

ｅｄｕｃａｔｉｏｎ

参考文献：

１．朱智贤林崇德：《思维发展心理学》北京师范大学出版社，１９８７年，第６－２２页

２．李莉：《教学形象思维及其特征》大连教育学院学报，１９９９年，第６期３．李莉：《数学思维的特点》数学教育学报，１９９５年，第２期

４．曹才翰：《中学数学教学概论》北京师范大学出版社，１９９０年版，第１３１页

５．周昌忠：Ⅸ创造心理学》中国青年出版社，１９８３年，第２６页

６．王千：《课堂教学中数学形象思维的培养》北京师范大学硕士学位论文，２００３０４０１７．李莉：《数学形象思维的功能》大连教育学院学报，１９９９年，第１２期

８．王志芳。顾建：《关于初中生数学形象思维能力的一次调查研究》中学数学月刊，

２００２年第１１期

９．钱学森：《关于思维科学》上海人民出版社，１９８６年版１０．卢明森：《恩维奥秘探索》北京农业大学出版社，１９９４年版

１１．钱佩铃：《数学思想方法与中学数学》北京师范大学出版社，１９９９年版１２．徐利治王前：《数学与思维》江苏教育出版社，１９９０年版１３．王健吾：《数学恩维方法论》安徽教育出版社，１９９６年版

１４．全日制义务教育Ⅸ数学课程标准》北京师范大学出版社，２００１年版１５．全日制义务教育《数学课程标准解读》北京师范大学出版社，２００２年版

１６．郑毓信：《数学思维与数学方法论》四川教育出版社，２００１年版１７．解恩泽徐本顺：《数学思想方法》山东教育出版社，１９８９年版１８．郭思乐喻纬：Ⅸ数学思维教育论》上海教育出版社１９９７年版１９．戴再平：《开放题一数学教学的新模式》上海教育出ｇ跃毒＆２００２年版２０．徐博良陈育彬：《图形与数学解题》湖南教育出版社１９９８年版

高中数学形象思维的教育功能研究

附录：

原始数据一览表

对比班

学号

ｌ２

实验班

前测成绩（均

９４８４９２

后测成绩（Ｙ）

９３

前测成绩（两

８９８５

后测成绩（Ｙ）

９２

９１

８０

７６

３

４

８１

７５６３

８５

８５

７９

８１５７６３

８７７５

７４

５

６７８

８１

９７７９９８

８３７９

８９

６８６３

６９

７５６４８４

６９

９

１０１ｌ

８９

８４７８

８４

９０

６８

７４７９６６６１７２７５

８０

７８８１

１２

１３１４１５１６１７

６１

８３

８３

８０６１７１

８１

６３７９

７３８１８４

７９

７３

６０７６６７６１６２５３６５

６７

６３６３６５４７

６９

５４６９

１８

１９２０

７３

７６

７６５２

６６６８

７３

７９６５

２１

２２２３２４２５２６２７２８

６７

６５７８５９

７５６３

９２

７３５５４５

５９６７４１

７３４９

６３６１

４３

４７５７

６２

６８６４

４６

６３５５５５５７４６

２９３０

３１

５５

６０

６７

６３

６８

４３

５８４８４０

６０

５８

３２

３３

５９

７０

４２

高中数学形象思维的教育功能研究

３４３５３６

３７

５３３１４１６５３９６１６４４１

３０

３１５７６０

３９

５５

４７

５４

４６

５６

５６４９３８２３３０２２３１４３

４４３７４８２１

４２４０５１４５４７

４４４６

３８

３９

６１３９３２４２

５５

４０

４１４２

４３

４４

７７

２３

３１３６３２３２１８

４３

‘

４０５５４７

４３

４５４６４７

４８４９

３５

４４

２７２３

２７５９

３１

２４

４３

３４

３４

２０

５０

５１５２

２３１７

ｌｌ１９

２５３５４０３２

４０

３４２７４８

２４１２

３５２２

３４３２

５３

５４

１０

５５２３

前测试卷

注意事项：每一道题目，无论你用什么方法解答的，无论解答对否，都要霹下解题过程或你的思考过程。

１．某中学高一（甲）班有学生５０人，参加数学小组的又５人，参加物理小组的有３２人，求既参加数学小组，又参加物理小组的人数的最大值与最小值．

ｚ求使不等式ｋ一４Ｊ＋ｋ一３Ｉ（口有解的ａ的取值范围．

．

３．ｏ解酏吨氚孤孤＾舒静艇【ｏ，＋咄Ａ、肌强硼上

不共线的兰个点，则Ｐ的轨迹一定通过ＡＡＢＣ的（

Ａ外心Ｂ．内心Ｃ重心Ｄ．垂心

）

高中数学形象思维的教育功能研究

４．若｛口。）是等差数列，首项口ｌ＞ｏ，球Ⅻ，＋口２００Ｉ如，口Ⅲ’口ｍＩ曲，则使翦再项和最如成立的最大自然数ｎ是（

Ｂ．４００６Ａ４００５）Ｃ．４００７Ｄ．４００８

５．用几何图形证明如＋６）２—４２＋２ａｂ＋ｂ２．

后测试卷

１．设６＞０，二次函数ｙ－∥＋ｈ＋４２一ｌ的图像为下列之一：

Ｊ’ＪＩＪ

｝｛ｆ

Ｏ１一

。飞／１一’＼／一

则ａ的值为

２．如图，定点Ａ和Ｂ都在平面ａ内，定点Ｐ砖ａ，ＰＢ上ａ，

Ｃ是ａ内异于Ａ和Ｂ的动点，且ＰＣ上ＡＣ，那么ｔ动点Ｃ

在平面口内的轨迹是什么？

３．如图，定圆半径是ａ，圆心为（ｂ，ｃ），

与直线Ｘ－－ｙ＋１－０的交点在第几象限？４－ｃ—ｕｙｎ＼—／０

●ｈｊ

４・画出不等式组【（ｘ－ｙ＋ｌｌｓＸｘ工＋‘ｙ２一１）≥

５．空间四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ—ＣＤ，且ＡＢ与ＣＤ成６０。角，Ｅ、Ｆ分别是ＡＣ、ＢＤ的中点，则ＥＦ与ＡＢ所成的度数为——．６．已知直线ｙ．七。一３）（七∈Ｒ）－㈣＃－－掰－－一蓦－１．菜学生作了如下变形：由消

高中数学形象思维的教育功能研究

去ｙ后得到形如舻＋既＋Ｃ－０的方程

当Ａ＝０时，该方程恒有一解；当Ａ≠０时，４＝Ｂ２—４ＡＣ≈Ｏ恒成立。

假设学生的演算过程是正确的，根据该学生的演算过程所提供的信息，则实数ｍ的取值范围为（

Ａ．［９，＋一））Ｂ．（０，９】Ｃ．（０，３】Ｄ．［３，＋一）

ＤＩＣ

７．如图，在正方体ＡＢａ卜＾ＥｃｌＤｌ中，Ｐ是侧面踞ｃ．１ｃ内

一动点，如Ｐ到直线ＢＣ与直线ｃ１Ｄｌ的距离相等，则动点Ｐ

轨迹所在的曲线是（

Ａ．直线Ｂ．圆）Ｃｃ双曲线Ｄ．抛物线

目条线段

Ｇ

，ＩＸ＼ＮＤ

ｈ／Ｅ

：标。＼

高中数学形象思维的教育功能研究

致谢

这篇论文的形成，使我不能不回首三年来的学习过程。在尊敬的导师——李莉副教授耐心的指导下，我大量查阅文献资料，深入思考如何在数学课堂教学中利用形象思维的优势，渐渐懂得了教学的实质，懂得了数学学习是将形象思维与抽象思维有机融合的过程，这又使我深入心理学、思维学领域探索数学教学的方法，最后形成这篇论文。

我深深铭记于心的是李老师的严格要求、热情指导和深情的关杯，还有她那严谨的学术态度和一丝不苟的钻研精神。她是我的恩师，也是激励我不断向上的榜样。

在辽师学习期间，数学学院的多位教授在学业上给予我们热情的指导，孙效斌主任在学习和生活方面给予我们极大的关心和帮助，在此，一并致以诚挚的谢意！