高中数学排列组合题讲义和答案(分难易程度)
选修2-3第一章第二节和第三节 排列组合
一、排列.
1. 排列定义:从n 个不同的元素中任取m(m≤n ) 个元素,按照一定顺序排成一......
列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
2. 排列数:从n 个不同元素中取出m (m≤n) 个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排
m 列数,用符号A n 表示.
3. 排列数公式:
A m =n (n -1) (n -m +1) =n ! (m ≤n , n , m ∈N ) (n -m )!
注意:n ⋅n ! =(n +1)! -n ! 规定0! = 1
m m m m -1m m -101 A n m =nA n m -- 规定C n =C n A n +n =1 1=A n +A m ⋅C n =A n +mA n 1
二、组合.
2. 组合定义:从n 个不同的元素中任取m (m≤n) 个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
A m n (n -1) (n -m +1) n ! n 2. 组合数公式:C =m =C m =n m ! m ! (n -m )! A m m n
3. 两个公式:①C n =C m n -m n ; ②C m -1m m n +C n =C n +1
①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素
中取出 n-m个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同
元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. (或者从n+1个编号不同的小球中,
n 个白球一个红球,任取m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选
m m -1法有C m -
n 1⋅C 1
1=C n 一类是不含红球的选法有C n )
②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时,
对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n
1个元素中再取m-1个元素,所以有C m -
n ,如果不取这一元素,则需从剩余n
个元素中取出m 个元素,所以共有C n 种,依分类原理有C m m -1m m +C =C n n n +1.
三、排列与组合的联系与区别.
联系:都是从n 个不同元素中取出m 个元素.
区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无
顺序关系.
四、几个常用组合数公式
012n C n +C n +C n + n =2 n
024135C n +C n +C n + =C n +C n +C n + =2n -1
m m m m +1C m +C +C C =C n m +1m +2m +n m +n +1
k -1kC k
n =nC n -1
11+1C k =C k
n n +1k +1n +1
五、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型:
①直接法. ②排除法.
③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待
整体排好之后再考虑它们“局部”的排列. 它主要用于解决“元素相邻问
题”.
④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的
空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.
⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再
排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,
然后再排其他剩余位置. 即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥平均法:若把kn 个不同元素平均分成k 组,每组n 个,共有n n C kn ⋅C (k -1) n n C n
A k
k .
⑦隔板法:常用于解正整数解组数的问题.
II. 排列组合常见解题策略:
①特殊元素优先安排策略;
②合理分类与准确分步策略;
③排列、组合混合问题先选后排的策略(线组合再排列);
④间接法;
⑤相邻问题插空处理策略;
⑥不相邻问题插空处理策略;
⑦ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略;
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组:将n 个不同元素分成不编号的m 组,假定其中r 组元素
个数相等,不管是否分尽,其分法种数为A /A r (其中A 为非均匀不编号分r
组中分法数). 如果再有K 组均匀分组应再除以A k . k
②非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组
间的顺序,其分法种数为A ⋅A m m
③均匀编号分组:n 个不同元素分成m 组,其中r 组元素个数相同且考虑各组
m 间的顺序,其分法种数为A /A r . r ⋅A m
例题(简单)
例1. 5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则
不同的报名方法共有( )
A .10种 B .20种 C .25种 D .32种
例2.用数字1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A .8 B .24 C .48 D .120
例3. 6名同学排成1排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共
有 种站法.
例题(稍难)
例1. 某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队
中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人
入选的方法种数为 ( )
A .85 B .86 C .91 D .90
例2. 在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期. 从这30瓶饮料中任取2瓶,则至
少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 .
例3. 将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.
(1)不出现空盒子时放入方式共有 种.
(2)可出现空盒时的放入方法共有 种.
例题(难)
例1. 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数
字的四位数的个数为( )
A .300 B .216 C .180 D .162
例2. 用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百
位上的数字之和为偶数的四位数共有 个.
例题(很难)
例1. 国家教育部为了发展贫困地区的教育,在全国重点师范大学免费培养教育
专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教. 现有6个免费培养的教育专业
师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有 种不同的分派方法.
例2. 将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少1本的不同分法共
有 种.
例3. 将6名教师分到3所学校任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有 种
不同的分法.
例4. 有甲、乙、丙3项任务,任务甲需要2人承担,任务乙、丙各需要1人承
担,从10人中选派4人承担这3项任务,不同的选法共有 种.
例5. 4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,恰好有1个空盒子的
放法有 种.
例6. 如图所示的花圃中的5个区域中种入4种不同颜色的花,要求相邻区域不
同色,有
________种不同的种法.
同步基础
排列
1.用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000
大的五位偶数共有
( )
A .48个 B .36个 C .24个
D .18个
2.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人
相邻但不排在两端,不同的排法共有( )
A .1440种 B.960种 C.720种 D.480
种
3.一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6
名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安
排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人,则不同的安排方案共
有( )
A .24种 B.36种 C.48种 D.72
种
4.某次文艺汇演,要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单,如下
表:
如果A 、B 排序方式有( )
A .192种 B .144种 C .96种 D .72种
5.某中学一天的课表有6节课, 其中上午4节, 下午2节, 要排语文、数学、
英语、信息技术、体育、地理6节课,要求上午第一节课不排体育,数学必
须排在上午,则不同排法共有( )
A .600种 B .480种 C .408种 D .384种
6.5人排成一排照相,要求甲不排在两端,不同的排法共有________种.(用数
字作答)
7.有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝
色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标
的数字之和等于10,则不同的排法共有________种(用数字作答) .
8.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成________个数字不重复含2,3且2,3相邻
的四位数.
9.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数,
(1)可组成多少个不同的四位数?
(2)可组成多少个四位偶数?
(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列,问第85项是什么?
10.用0、1、2、3、4、5这六个数字组成无重复数字的六位数,其中个位数字
小于十位数字的六位数的个数是多少个?
组合
1.50名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生
有30名,参加乙项的学生有25名,则仅参加了一项活动的学生人数为( )
A .50 B .45 C .40
D .35
2.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、
女医生都有,则不同的组队方案共有( )
A .70种 B.80种 C.100种 D.140
种
3.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至
少有1名女生,那么不同的选派方案种数为( )
A .14 B.24 C.28 D.48
4.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每
个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A .10种 B.20种 C.36种 D.52
种
5. 某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项
目,则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( )
A .15 B .45 C .60
D .75
6.从0,1,2,3,4,5中任取3个数字,组成没有重复数字的三位数,其中能被5
整除的三位数共有________个.(用数字作答)
7.从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动,要求甲、乙中至少有1
人参加,则不同的挑选方法共有________种.
8.某校要求每位学生从7门课程中选修4门,其中甲、乙两门课程不能都选,
则不同的选课方案有________种.(以数字作答)
9.有5个男生和3个女生,从中选取5人担任5门不同学科的科代表,求分别
符合下列条件的选法数:
(1)有女生但人数必须少于男生.
(2)某女生一定要担任语文科代表.
(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表.
(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学
科代表.
10.一个口袋里有4个不同的红球,6个不同的白球(球的大小均一样)
(1)从中任取3个球,恰好为同色球的不同取法有多少种?
(2)取得一个红球记为2分,一个白球记为1分.从口袋中取出五个球,使
总分不小于7分的不同取法共有多少种?
过关训练
1.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中A 不参
加物理、化学竞赛,则不同的参赛方案种数为( )
A .24 B.48 C.120 D.72
2.已知集合A ={5},B ={1,2},C ={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构
成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A .33 B.34 C.35 D.36
3.从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一
天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不
同的选派方法共有( )
A .120种 B.96种 C.60种 D.48
种
4.甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
( )
A .150种 B .180种 C .300种
D .345种
5.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项
目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )
A .16种 B.36种 C.42种 D.60
种
6.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的
三块土地上,其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有________种.
7.安排3名支教教师去4所学校任教,每校至多2人,则不同的分配方案共有
________种.
8.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至
少安排一个班,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)
9.某小组学生举行毕业联欢会,人员到齐后大家彼此握手,其中有2名学生各握了3次手后提前离开,其他学生都彼此握了手.若知握手的总次数为83次,试问该小组共有多少名学生?
10.在一张节目表上原有6个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节目,求共有多少种安排方法?
自我超越
1. 12名同学合影,站成了前排4人,后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同的调整方法的种数是( )
A. 168 B. 20 160 C. 840 D. 560
2. 将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上,每辆车上分别有1名司机和2名售票员,则可能的分配方案种数是( )
22442224A. C2
8C 6C 4A 4A 4 B. A8A 6A 4A 4
224222 C. C2
8C 6C 4A 4 D. C8C 6C 4
3. 五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案共有( )
41444A. C1
4C 4种 B. C4A 4种 C. C4种 D. A4种
4. 从45名男生和15名女生中按分层抽样的方法,选出8人参加国庆活动.若此8人站在同一排,则不同的排法种数为( )
262853538A. C6
45C 15 B. C45C 15A 8 C. C45C 15 D. C45C 15A 8
5. 某校在高二年级开设选修课,其中数学选修课开三个班.选课结束后,有四名学生要求改修数学,但每班至多可再接收两名学生,那么不同的分配方案
有( )
A. 72种 B. 54种 C. 36种 D. 18种
6. 从10名男同学,6名女同学中选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种(用数字作答) .
7. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是________.
8. (创新题) 在一次文艺演出中,需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只,以不同的点亮方式增加舞台效果,设计要求如下:恰好有6只是关的,且相邻的灯不能同时被关掉,两端的灯必须点亮,则不同的点亮方式为________种.
9. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是________(用数字作答) .
10. 将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答) .
11. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )
A. 54 B. 90 C. 126 D. 152
12. 甲乙两人一起去游“2011西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( ) A. 1115 B. C. D. 963636 13. 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现
的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种
超级挑战
1. 把1个圆分成4个扇形,依次记为D 1,D 2,D 3,D 4,每个扇形都可以用3
种不同颜色中任何1种涂色,要求相邻的扇形颜色不同,则共有 种
不同涂色方法.
2. 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图,现要栽种4种
不同颜色的
花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同颜样色的花,不同的栽种方法有
3. 集合A ∪B ∪C={a1,a 2,a 3,a 4,a 5},且A ∩B={ a1,a 2},求,A ,B ,C 的所有可能组合的个数.
4. 如图,ABCD 为海上的四个小岛,要建三座桥将这四个小岛连接起来,则不同的剑桥方案共有( ).
A .8种 B.12种 C .16
种 D .20种
5. 甲、乙、丙、丁四个做互相传球练习,第一次传给除甲外其他三人中的一人,第二次由拿球者再传给其他三人中的一人,这样共传了4次,则第四次仍传回到甲的概率是( ).
A. 75721 B. C. D. 2727864
6. 一楼梯共12级,每步可以向上跨1级或2级,共有 种上楼梯方法.