基于matlab模拟滤波器的设计与仿真

本科生毕业论文（设计）

题目：

仿真

系 部 电子信息工程学院

学科门类 专 业

学 号 姓 名

指导教师

2012年 5 月 18 日

基于matlab的模拟滤波器设计与仿真

摘 要

几乎在所有的工程技术领域中都会涉及到信号处理问题 ，而滤波器信号处理的重要组成部分。本论文首先介绍了滤波器的滤波原理以及模拟滤波器的设计方法，然后系统地介绍了模拟滤波器（包括巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器）的设计原理和方法，并在此基础上论述了低通、高通、带通、带阻模拟滤波器的设计。最后，采用MATLAB对所述滤波器进行建模仿真。仿真结果表明用matlab设计的滤波器符合技术要求，且直观简便，有利于设计的优化。

关键字：模拟滤波器 频率转换 MATLAB

装

订

线

ABSTRACT

In almost all areas of engineering and technology, signal processing will be involved and signal processing is an important component of filter signal processing. This paper will first introduce the principle of filter and the design method of analog filters. Then the paper will present the design principles and methods of analog filters (including the Butterworth filter and Chebyshev filter) and on this basis, the analog filters (including low-pass, high-pass, band-pass, and band-stop) design will be discussed. Last is the use of virtual realization of analog filters MATLAB. It can be seen that based on the simulation result, the filter designed by MATLAB is coincident in technical requirements and handy in anchauung. What’s more, it is easy to adjust the performance of filters.

装

订

线 Key words: Filtering Analog filters MATLAB

第1章 绪论 .............................................. 1

1.1课题研究背景及意义 ..................................... 1

1.2国内外研究现状及趋势 ................................... 1

1.3本文的主要工作安排 ..................................... 2

第2章 基本理论知识 ...................................... 3

2.1滤波器的工作原理 ....................................... 3

2.1.1模拟滤波器的工作原理 .............................. 3

2.1.2数字滤波器的工作原理 .............................. 4

2.2滤波器的基本特性 ....................................... 5

2.2.1模拟滤波器与数字滤波器的基本特性 ................... 5

2.2.2无限冲激响应IIR和有限冲激响应FIR滤波器 ........... 7

2.3滤波器的主要性能指标 ................................... 8

第3章 模拟滤波器的设计 .................................. 9

3.1模拟滤波器的分类 ....................................... 9

3.2 模拟滤波器的设计方法 ................................... 9

3.3模拟原型滤波器及最小阶数选择 .......................... 11

3.3.1巴特沃斯滤波器及最小阶数选择 ..................... 11

3.3.2切比雪夫滤波器及最小阶数选择 ..................... 14

3.3.3椭圆滤波器及最小阶数的选择 ....................... 20

3.3.4贝塞尔滤波器 ..................................... 21

第4章 MATLAB仿真 ...................................... 22

4.1MATLAB简介 ............................................ 22

4.2对低通模拟滤波器的仿真 ................................ 23

4.3 模拟高通滤波器的仿真 .................................. 25

4.4 模拟带通滤波器的仿真 ................................. 26

4.5 对带阻模拟滤波器的仿真 ................................ 28

第5章 频率转换 ......................................... 30

5.1低通至高通的转换 ...................................... 30

5.2低通至带通的变换 ...................................... 31

5.3低通至带阻的变换 ...................................... 34

第6章 总结与展望 ....................................... 36

参考文献 ................................................. 37

2012届本科生毕业论文（设计）

4.2对低通模拟滤波器的仿真 ................................ 23

4.3 模拟高通滤波器的仿真 .................................. 25

4.4 模拟带通滤波器的仿真 ................................. 26

4.5 对带阻模拟滤波器的仿真 ................................ 28

第5章 频率转换 ......................................... 30

5.1低通至高通的转换 ...................................... 30

5.2低通至带通的变换 ...................................... 31

5.3低通至带阻的变换 ...................................... 34

第6章 总结与展望 ....................................... 36

参考文献 ................................................. 37

第1章 绪论

1.1课题研究背景及意义 凡是有能力进行信号处理的装置都可以称为滤波器。近代电信装备和各类控制系统中，滤波器应用极为广泛；在所有的电子部件中，使用最多，技术最复杂要算滤波器了。滤波器的优劣直接决定产品的优劣，所以，对滤波器的研究和生产历来为各国所重视。随着教育事业的发展，滤波器的设计在教学研究中占有越来越重要的地位，对滤波器的研究也越来越多，滤波器的性能也越来越高，功能越来越多。我国滤波器研制和生产与上述要求相差甚远，为缩短这个差距，电子工程和科技研究人员负有重大的历史责任。

Matlab(Matrix laboratory)是美国Math Works公司推出的具有强大数值分析、矩阵运算、图形绘制和数据处理等功能的软件,现已广泛应用到教学、科研、工程设计等领域。随着Matlab软件信号处理工具箱的推出,Matlab已成为信息处理,特别是数字信号处理(DSP)应用中分析和设计的主要工具[1]。就Matlab信号处理中的滤波器设计而言,在很大程度上能快速有效地实现滤波器的分析、设计及仿真,大大节约了设计时间,相对传统设计而言,简化了滤波器设计难度。

1.2国内外研究现状及趋势

1917年美国和德国科学家分别发明了LC滤波器，次年导致了美国第一个多路复用系统的出现。50年代无源滤波器日趋成熟,自60年代起由于计算机技术集成工艺和材料工业的发展，滤波器发展上了一个新台阶，并且朝着低功耗、高精度、小体积、多功能、稳定可靠和价廉方向努力，其中小体积、多功能、高精度、稳定可靠成为70年代以后的主攻方向，导致RC有源滤波器、数字滤波器、开关电容滤波器和电荷转移器等各种滤波器的飞速发展。到70年代后期，上述几种滤波器的单片集成被研制出来并得到应用。80年代致力于各类新型滤波器性能提高的研究并逐渐扩大应用范围。90年代至今在主要致力于把各类滤波器应用于各类产品的开发和研制[2]。当然，对滤波器本身的研究仍在不断进行。

我国广泛使用滤波器是50年代后的事，当时主要用于话路滤波和报路滤波。经过半个世纪的发展，我国滤波器在研制、生产应用等方面已有一定进步，但由于缺少专门研制机构，集成工艺和材料工业跟不上来，使许多新型滤波器的研制应用与国际水平有一段距

离。我国现有滤波器的种类和所覆盖的频率已基本上满足现有各种电信设备。从整体而言，我国有源滤波器发展比无源滤波器缓慢，尚未大量生产和应用。从下面的生产应用比例可以看出我国各类滤波器的应用情况：LC滤波器占50%；晶体滤波器占20%；机械滤波器占15%；陶瓷和声表面滤波器各占1%；其余各类滤波器共占13%[3]。从这些应用比例来看，我国电子产品要想实现大规模集成，滤波器集成化仍然是个重要课题。

1.3本文的主要工作安排 基于MATLAB软件,拟重点介绍模拟滤波器的设计和仿真。系统研究模拟滤波器（包括巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器）的设计原理和方法，并在此基础上论述模拟滤波器（包括低通、高通、带通、带阻）的设计[4]。在此基础上，用MATLAB虚拟实现模拟滤波器。此设计扩展性好，便于调节滤波器的性能，可以根据不同的要求在MATLAB上加以实现。通过MATLAB的仿真与实现，可以看出传统的模拟滤波器设计方法繁琐且不直观，而MATLAB具有较严谨的科学计算和图形显示这一优点，使设计结果显示的更加直观，而且对滤波器的精度也有了很大的提高，能更好的达到预期效果。同时，又对模拟滤波器低通至高通、带通、带阻的转换进行了理论上的阐述。

第2章 基本理论知识

2.1滤波器的工作原理

2.1.1模拟滤波器的工作原理

我们知道，模拟滤波器是对模拟信号实行线性滤波的一种线性时不变系统如图2－1所示。在时域内，它的动态特性可以用系统的单位冲激函数的响应ha(t)来描述，也就是该滤波系统在任何时刻对输入单位冲激信号xat=δ（t）的输出响应yathat。这个函数从时域上反映了该滤波系统的传输特性[5]。对于任意输入信号xat，系统的输出yat可以卷积表示：

yathaxatd 

 =xahatd 

（2－1） yathaxatd=xahatd 

上式表明在对线性滤波器系统进行时域分析时，采用了叠加原理，先将任意输入信号波形分成不同时间的窄脉冲之和，再分别求出各个脉冲通过滤波器之后的响应，并进行线性叠加从而得到总的输出信号。

t s

图2－1 模拟滤波器原理

在频域分析时，线性滤波器的转移函数HaS等于系统的单位冲激函数的响应ha(t)的拉普拉斯变换：

stHahtedt （2－2） 

很明显，当s=jω，上式就是傅立叶变换的表达式，它反映了滤波器的传输特性对各种频率的响应，也就是滤波器的频率响应函数Haj，它决定着滤波特性。当滤波器输入信号xat与输出信号yat的拉普拉斯变换，得

YasHasXas （2－3）

这表明两信号卷积的变换等于各自变换的乘积。在频谱关系上，一个输入信号的频谱Xaj，经过滤波器的作用后，被变换成HajXaj的频谱。因此，根据不同的滤波要求来选定Haj，就可以得到不同类型的模拟滤波器。还可以看出，滤波器的滤波过程就是完成信号xat与它的单位冲激函数响应hat之间的数学卷积运算过程。

2.1.2数字滤波器的工作原理

在数字滤波中，我们主要讨论离散时间序列。如图2－2所示。设输入序列为xn，离散或数字滤波器对单位抽样序列n的响应为hn。因n在时域离散信号和系统中所起的作用相当于单位冲激函数在时域连续信号和系统中所起的作用。

 

图2－2 数字滤波器原理

数字滤波器的序列yn将是这两个序列的离散卷积，即



ynhkxnk （2－4）

k

同样，两个序列卷积的z变换等于个自z变换的乘积，即

YzHzXz （2－5）

用zejT代入上式，其中T为抽样周期，则得到

YejTHejTXejT （2－6）



式中XejT和YejT分别为数字滤波器输入序列和输出序列的频谱，而HejT为单位抽样序列响应hn的频谱。由此可见，输入序列的频谱XejT经过滤波后，变为

HejTXejT，按照XejT的特点和我们处理信号的目的，选取适当的HejT使的滤波



后的HejTXejT符合我们的要求。

2.2滤波器的基本特性

2.2.1模拟滤波器与数字滤波器的基本特性

如利用模拟电路直接对模拟信号进行处理则构成模拟滤波器，它是一个连续时间系统。如果利用离散时间系统对数字信号（时间离散、幅度量化的信号）进行滤波则构成数字滤波器。

数字滤波器的差分方程表示为：

y(n)

b

i1

N

k

y(ni)akx(nk)（2－7）

k0

M

系统函数表示:

H(z)

Y(z)

X(z)

a

k0

N

M

k

zk

（2－8）

i

1biz

i1

数字滤波器的特性通常用其频率响应函数H(ej)来描述，包括幅度特性H(ej)和相位特性arg(H(ej))。

按信号通过系统时的特性（主要是幅频特性）来分类：可以有低通、高通、带通和带阻四种基本类型。

（1） 低通数字滤波器：图2－3所示

j

jH(e)c

)

0 c

H(e

-fs

-fs/2 -fc

csfs

图2－3 低通数字滤波器的频谱

（2） 高通数字滤波器：图2－4所示

H(e

j

jH(e)  c

)

0 c

图2－4 高通数字滤波器的频谱

（3） 带通数字滤波器：图2－5所示

j

H(e) 12

H(e)

0  1,2||0

j

图2－5 带通数字滤波器的频谱

（4）带阻数字滤波器：图2－6所示

j

H(e) 1,2||0

H(e)

0 12

j

图2－6 带阻数字滤波器的频谱

其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合。

2.2.2无限冲激响应IIR和有限冲激响应FIR滤波器

按系统冲激响应可以分成无限冲激响应和有限冲激响应滤波器两类。这两种滤波器都可以实现各种频率特性的要求，但它们在计算流程、具体特性逼近方面有差别的。

(1)FIR滤波器(非递归型):

y(n)h(m)x(nm) （2－9）

m0N1

H(Z)h(n)Zn （2－10）

n0N1

(2)IIR滤波器（递归型）：

y(n)aky(nk)bkx(nk) （2－11）

k1

k0

N

M

M

H(z)

Y(z)

X(z)

bz

k

k

1akzk

k1

k0

N

（2－12）

还有一些其他的分类方法，例如在特定场合使用的滤波器。

2.3滤波器的主要性能指标

滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体的有最大通带增益即通带允许起伏；最大阻带增益；通带截止频率p；阻带截止频率s。如图2－7所示：

0dBαdB

β

7 滤波器的主要技术指标 图2－

第3章 模拟滤波器的设计

3.1模拟滤波器的分类

模拟滤波器的理论和设计方法已经发展的相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯（Butterworth）滤波器，切比雪夫（Chebyshev）滤波器等。这些工作的理论分析和设计方法在20世纪30年代就完成，然而烦琐.冗长的数字计算使它难以付诸实用。直到50年代，由于计算机技术的逐步成熟，求出大量设计参数和图表，这种方法才得到广泛应用。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有波动，可以提高选择性。这样根据具体要求可以选择不同类型的滤波器。

模拟滤波器按幅度特征可以分成低通、高通、带通和带阻滤波器。它们的理想幅度特性如图3－1所示，但我们设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器

带通

带阻

图3－1 模拟滤波器理想幅度特性

3.2 模拟滤波器的设计方法

利用频率变换设计模拟滤波器的步骤为：

（1）给定模拟滤波器的性能指标，如截止频率0或上、下边界频率1,2等。 （2）确定滤波器阶数。

（3）设计模拟低通原型滤波器。

（4）按频率变换设计模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）。

模拟低通滤波器的设计指标有p，p和s，其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率。p是通带Ω（=0~p）中的最大衰减系数，s是阻带Ω≥s的最小衰减系数，p和s一般用dB表示[6]。对于单调下降的幅度特性，可表示成：

Ha(j0)

22

p10lg

（3－1）

Ha(jp))Ha(j0)

22

p10lg

（3－2）

Ha(js))

如果Ω=0处幅度已归一化为一，即Haj1，p和s表示为

p10lgHa(jp) （3－3） s10lgHa(js) （3－4）

以上技术指标用图3－2表示，图中c称为3dB 截止频率，因

Hajc

12

2

2

,-20Hajc3dB

Hajpc

s

图3－2 低通滤波器的幅度特性

滤波器的技术指标给定以后，需要设计一个传输函数Has，希望其幅度平方函数

满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此

Ha(j)Ha(a)Ha(s)|sj



(j) (3－5) =Ha(j)Ha2

如果能由p，p，s，s求出Haj，那么就可以求出所需的Has，对于上面介绍

2

的典型滤波器，其幅度平方函数有自己的表达式，可以直接引用。这里要说明的是Has必须是稳定的。因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的Has的极点落在右半平面。

3.3模拟原型滤波器及最小阶数选择 3.3.1巴特沃斯滤波器及最小阶数选择

巴特沃斯滤波器是最基本的逼近方法形式之一。它的幅频特性模平方为

Ha(j)

2

1(

2N

)c

2 (3－6)

式中N是滤波器的阶数。当Ω=0时，Haj1；当Ω=c时，Haj3dB截止频率。

12

，c是

不同阶数N的巴特沃斯滤波器特性如图3－3所示，这一幅频特性具有下列特点[7]： （1）最大平坦性，可以证明：在Ω=0点，它的前（2N-1）阶导数都等于0，这表明巴特沃斯滤波器在Ω=0附近一段范围内是非常平直的，它以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器。“最平响应”即由此而来。

（2）通带，阻带下降的单调性。这种滤波器具有良好的相频特性。

（3）3dB的不变性：随着N的增加，频带边缘下降越陡峭，越接近理想特性，但不管N是多少，幅频特性都通过-3dB点。当Ω≥c时，特性以20NdB/dec速度下降。

图3－3 不同阶数N的巴特沃斯滤波器特性

现根据式（3－6）求巴特沃斯滤波器的系统函数Ha（s）[8]。令Ω=s/j，带入式（3－6）

2

Ha(j)

s



j

(jc)2N1 Ha(s)Ha(s)

s2Ns2N(jc)2N

1()

jc

2N

对应的极点：s2Njc

0

1

j2k1

22N

skjc1

2

2N

ce

(3－7)

sk即为HasHas的极点，此极点分布有下列特点：

(1) HasHas的2N个极点以π/N为间隔均匀分布在半径为c的圆周上，这个圆称为巴特沃斯圆。

(2) 所有极点以jΩ轴为对称轴成对称分布，jΩ轴上没有极点。

(3) 当N为奇数时，有两个极点分布在sc的实轴上；N为偶函数时，实轴上没有极点。所有复数极点两两呈共轭对称分布，图2－4画出了N=3时的HasHas极点分布。全部零点位于s=∞处。

图3－4 N=3时Ha（s）Ha（-s）极点分布

为得到稳定的Has，取全部左半平面的极点。

Has

Nc

ss

k

k1

N

（3－8）

当N为偶数时

Has

Nc

N2



Nc

N2

（3－9）





22k12sssss2cosskkcc

2N2

k1

k1



当N为奇数时

Has

N

c

（3－10）

22k12s2cossccsc22Nk1

N12

为使用方便把式（3－9）和式（3－10）对c进行归一化处理，为此，分子分母各除

N

以c，并令s

s

，s称为归一化复频率： c

Has

1（N为偶数）（3－11）

N

22k1s2coss122Nk1

1



Has

（N为奇数）（3－12）

s



k1

N12



2

2k1

2coss1s1

22N

用归一化频率/c表示的频率特性称为原型滤波特性（Ωَ即归一化复频率sَ 的虚部）。对式（3－6）所示的低通巴特沃斯特性用Ωَ表示得到：

Haj

2

1

2N

1 （3－13）

称Haj为巴特沃斯低通原型滤波器幅频特性。在低通原型滤波频率特性上，截止频率

c=1。

若给出模拟低通滤波器的设计性能指标要求：通带边界频率p，阻带边界频率s，通带波纹Rp(dB)，阻带衰减RS(dB)，要确定butterworth ,，低通滤波器最小阶数N及截止频率C(3dB)。p，S，RS，RP的意义如图所示[9]。 当=P时，H(j)10

RP20

即RP10lg H(j)2，以截至频率c（幅值下降3dB）为1，

化为相对为相对c的相对频率由上式可写为

c

R

P

1

10lg10

p2N

)1(

c





同理，当=c时，H(j)10

RS

20

，

R

P

1

10lg10

S)2N1(

C





由此可见

(10N

RP/10

1)(10RP/101)



p

2lo10g()

s

N

应向上取整c

p

2(10

RP/10

1)

，

c

S

2(10

RS/10

1)

再用MATLAB编程计算滤波器最小阶数N和截止频率c。

3.3.2切比雪夫滤波器及最小阶数选择

巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到[10]。

切比雪夫滤波器的振幅特性就是具有这种等波纹特性。它有两种型式：振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的切比雪夫I型滤波器；振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的切比雪夫II型滤波器。采用何种型式切比雪夫滤波器取决于实际用途。 这种滤波器的幅频特性模平方为：

Haj

2

1221TN

c



 （3－14） 

式中ε是决定通带内起伏的等波纹参数，TNx是第一类切比雪夫多项式，定义为：

cosnarcosx,TNx=

coshNarcoshx,

x1x1

（3－15）

表3－1列出了对应不同阶数N时的切比雪夫多项式TNx。图（3－5）画出了T1x—T4x多项式特性曲线，从这组特性曲线可以看出：│x│1，TNx单调上升。此外，切比雪夫多项式满足下列递推公式

TN1x2xTNxTN1x N=1，2 „ （3－16）

图3－6（a）是按式（3－14）画出的切比雪夫等波纹滤波器的幅频特性，图3－6（b）是通带内起伏与TN的关系。切比雪夫滤波器的滤波特性具有下列特点：

1

2

（1） 所有曲线在Ω=c时通过频率。

点，因而把c定义为切比雪夫滤波器的截止角

（2） 在通带内│Ω/c│≤1，Haj在1和│>1，特性呈单调下降，下降速度为20NdB/dec。

1

2

之间变化；在通带外，│Ω/c

（3） N为奇数，Haj0=1；N为偶数，Haj0=实际上这种逼近称为最佳一致逼近。

1

2

。通带内误差分布是均匀的，

（4） 由于滤波器通带内有起伏，因而使通带内的相频特性也有相应的起伏波动。即相位是非线性的，这给信号传输时带来线性畸变，所以在要求群时延为常数时不宜采用这种滤波器。

15

s

现根据式（3－14）求切比雪夫滤波器的系统函数Has。将Ω=带入式（3－14）

j

HsHs

1

（3－17）

aa12T2N

sj

为求极点分布需求解方程：

12T2sN



j0 c

表3－1 N=0-7时切比雪夫多项式TN（x）

图3－5 T1—T4切比雪夫特性曲线

16

3－18）

（

考虑到

s

是复变量，为解出切比雪夫多项式，设： jc

s

=coscosjcoscoshj （3－19） jc

c

(a)

(b) 0.95



图3－6 切比雪夫滤波特性及内波纹TN关系

另把

s1

=cosθ代入式（3－15），并且令此式等于j，求解α，β：jc

ss1

TNcosNarcoscosN （3－20） jjjcc

解的满足上式的α，β为

2k1

N2 

11arsinh

N

（3－21）

把α，β值代回式（3－19），求的极点值：

12k11

skkjkcsinsinharsinh

2NN

17

2k111

+jccoscisharsinh，k=1,2,„，2N (3－22) 

2NN

sk就是切比雪夫滤波器HasHas的极点，给定N，c，ε即可求的2N个极点分

布。由式（3－22）实部与虚部的正弦和余弦函数平方约束关系可以看出，此极点分布满足椭圆方程，其短轴和长轴分别为

11asinharcsinhc （3－23） N

11bcosharcsinhc

N

图3－7画出了N=3时切比雪夫滤波器的极点分布。

极点所在的椭圆可以和半径为a的圆和半径为b的圆联系起来，这两个圆分别称为巴特沃斯小圆和巴特沃斯大圆[11]。N阶切比雪夫滤波器极点的纵坐标，而横坐标等于N阶巴特沃斯小圆极点的横坐标取左半平面的极点：

2k1asink

2N

k=1,2„，N （3－24） 

2k1bcosk

2n

则切比雪夫滤波器的系统函数：

Has

A

(ss

k1

N

（3－25）

k

)

18

cNjc

其中skkjk，常数A=。因而切比雪夫滤波器的系统函数表示为：

2N1

Has

Nc/2N1

ss

k

k1

N

（3－27）

切比雪夫滤波器的截止角频率c不是像巴特沃斯滤波器中所规定的（-3dB）处角频率，而是通带边缘的频率。若波纹参数满足

1

0.5，可以求的-3dB处的角频率为: 12

11

3dBccosharcosh （3－28）

N

将式（3－27）表示的Has对c归一化，得到切比雪夫I型低通原型滤波器的系统函数:

1

N1

（3－29） N1

aN1sa1sa0

Has

sN

对不同的N，式（3－29）的分母多项式已制成表格，供设计参考。和butterworth低通模拟滤波器设计一样，若给定性能指标要求：c，s，RP，Rs确定Chebyshev低通模拟滤波器最小阶数N和截止频率c（-3dB频率）[12]。

1、ChbbyshevI型 由式HajA(2)

2

1RP/101,A10RS/20故阶数N可可得22

1CN(/C)

由下式求得N

log10(gg21)log10(

s

(s)21))pp

式中，g(A21)/2，截至频率cp由上

面两式用Matlab编程计算滤波器最小阶数N和截止频率c

2、ChbbyshevII型

19

ChbbyshevII型通带内是平滑的，而阻带具有等波纹起伏特性。因此，在阶数N的计算公式上是相同的，而-3dB截止频率c则不同。

3.3.3椭圆滤波器及最小阶数的选择

圆的模拟低通滤波器圆形的平方幅值响应函数为

1

12

H(j)2A(2)

（3－30）

(/C)

E

N

式中，为小于1的正书，表示波纹情况；c为截止频率；En(/c）为椭圆函数，定义为

当N为偶数（N=2m）时:

2

2

EN

 （3－31）

()1

m

K

2

2

k1

K

当N为奇数（N=2m+1）时:

2

2

EN

 （3－32）

()1

m

K

2

2

k1

K

（其中/c）。

椭圆模拟滤波器特点是：在通带和阻带内均具有等波纹起伏特性。何以上滤波器相比，相同的性能指标所需要的阶数最小。但频率响应应具有明显的非线性。由式

HajA(2)

2

1

（3－33） 22

1EN(/C)

滤波器的阶数可由下式确定RP/10

1，A10

RS/20

，N

K(k)K(K12K(k1)K(K)

2

，



np式中kp，k1

sN和截止频率C。



A1

2

/2

，K(x)



dxsin

2

2

由上式计算滤波器的最小阶数

3.3.4贝塞尔滤波器

塞尔模拟低通滤波器原型的特点是在零频时具有最平坦的群延迟，并在整个通带内延

(2N)!迟几乎不变。在零频时的群延迟为NN!2

1/N

。由于这一特点，贝塞尔模拟滤波器通带内保

持信号形状不变[13]。滤波器传递具有下面形式

H(S)

k

（3－34）

(sp(1))(sp(2))(sp(n))

第4章 MATLAB仿真

4.1MATLAB简介

整个MATLAB系统有五个主要部分[14]：

① MATLAB语言。它是基于矩阵/数组的高级语言，它包括流程控制语句、函数、数据结构和输入/输出等，它还具有面向对象编程的特点。它既适合编写小巧玲珑的程序，也适合于开发复杂的大型应用程序。

② MATLAB工作环境。它集成了一系列的工具和应用，方便用户管理环境变量，输入/输出数据，开发、管理、调试用户自己的M文件以及MATLAB的应用程序。

③ MATLAB图形处理。它既包括二维和三维的数据可视化、图像处理、动画等高层指令，也包括低层的绘图指令，允许用户为应用程序设计自己的用户图形界面。

④ MATLAB数学函数库。它包括数量庞大的计算函数，从简单的基本函数到复杂的矩阵求逆，矩阵的特征值，贝塞尔函数和快速傅里叶变换等。

⑤ MATLAB应用程序界面(API)。它是一组动态的库函数，使得用户在自己的C和Fortran程序中可以和MATLAB交互，调用MATLAB的动态链接库作计算。

MATLAB软件包括基本部分和专业扩展部分。基本部分包括:矩阵的运算和各种变换、代数和超越方程的求解、数据处理和傅里叶变换、数值积分等等.专业扩展部分称为工具箱.它实际上是用MATLAB的基本语句编成的各种子程序集，用于解决某一方面的专门问题，或实现某一类的新算法。易扩展性是MATLAB最重要的特点，每一个MATLAB用户都可以成为对其有贡献的人。在MATLAB的发展过程中，许多科学家、数学家、工程技术人员用它开发出了一些新的、有价值的应用程序，所有的程序完全不需要使用低层代码来编写。通过这些工作，已经发展起来的工具箱有控制系统、信号处理、图像处理、系统辨识、模糊集合、神经元网络、小波分析等20余个。如果使用MATLAB来开发光学方面的应用程序，在不久的将来，也可能出现专门用来解决光学问题的工具箱。

4.2对低通模拟滤波器的仿真

第3章所讨论的设计思想，在MATLAB对模拟滤波器进行仿真的过程中依然适用，其具体步骤总结如下[15]：

（1）确定模拟滤波器的性能指标，如截止频率0（对于低通和高通）或上、下边界频率

1,2；波纹特性；带阻衰减等。 （2）确定滤波器阶数。

（3）计模拟低通滤波原型滤波器。MATLAB信号处理工具箱的滤波器原型函数buttap,cheb1ap。

（4）按频率变换设计模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）。

MATLAB信号处理工具箱的频率变换函数lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs。但是，按照这种设计思想的编程较为麻烦。MATLAB信号处理工具箱还提供模拟滤波器的完全设计函数：butter,cheby1等。用户只需调用一次设计函数就可自动完成全部设计过程，编程十分简单。下面将以模拟低通Butterworth滤波器的设计为例，解释这种设计方法。

设计指标：通带截止频率p=200π，阻带截止频率s=300π，通带衰减Rp=1dB，阻带衰减Rs=16dB。仿真结果见图4－1

%Matlab program2.1

%Design a buttworth analog lowpass filter ws=300*pi; wp=200*pi; Rp=1; Rs=16;

%compute oder and cuttoff frequency [N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s')

Fc=Wn/(2*pi) [b,a]=butter(N,Wn,'s'); %output

w=linspace(1,3000,1000)*2*pi; H=freqs(b,a,w); magH=abs(H);

phaH=unwrap(angle(H)); plot(w/(2*pi),20*log10(magH)); xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('Magnidute(dB)'); grid on N = 7 Wn =725.7292 Fc =115.5034

图3.1 模拟低通滤波器仿真

图4－1 模拟低通滤波器仿真

4.3 模拟高通滤波器的仿真

函数cheby1用于chebyshev I型模拟滤波器的设计。调用格式为：

[b,a]=cheby1(n,Rp,n,'s')

[b,a]=cheby1(n,Rp,n,'ftype','s')

其中，Rp为通带波纹（dB）,n为滤波器截止频率，‘s’为模拟滤波器，确省时为数字滤波器。

本例给出利用chebyshev函数设计模拟高通的设计方法：

技术指标：通带截止频率p=1500Hz，阻带截止频率s=1000Hz，通带衰减Rp=1dB，阻带衰减Rs=20dB。仿真结果见图4－2

ws=1000*pi;

wp=150000*pi;

Rp=1;

Rs=20;

[N,Wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,'s')

[b,a]=cheby1(N,Rp,Wn,'high','s');

w=linspace(1,3000,1000)*2*pi;

H=freqs(b,a,w);

magH=abs(H);

phaH=unwrap(angle(H));

plot(w/(2*pi),20*log10(magH));

xlabel('Frequency(Hz)');

ylabel('Magnidute(dB)');

grid on

N=1，Wn=4.7124e+005

图4－2 模拟高通滤波器仿真

4.4 模拟带通滤波器的仿真

函数BUTTER用于Butterworth滤波器设计，调用格式：

[b,a]=butter(n,n,’s’)，[b,a]=butter(n, n,’ftype’,’s’)

其中，n为滤波器阶数；n为滤波器截止频率，‘s’为模拟滤波器，确省时为数字滤波器。

‘ftype’滤波器类型；

‘high’为高通滤波器，截止频率n；

‘stop’为带阻滤波器，n=12（12）；

‘ftype’缺省时为低通或带通滤波器。

以下设计一个Butterworth模拟带通滤波器，设计指标为：逼近频率1000—2000Hz,两侧过渡带宽500Hz，通带衰减1dB，阻带衰减大于100dB。结果见图4－3。

%Matlab program4.1

%Design a butterworth analog bandpass filter

Wp=[1000 2000]*2*pi;

Ws=[500 2500]*2*pi;

Rp=1;

Rs=100;

[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')

[b,a]=butter(N,Wn,'s');

N =23

Wn =1.0e+004 *

0.6220 1.2695

图4－3 模拟带通滤波器仿真

4.5 对带阻模拟滤波器的仿真

这里设计一个chebyshevI型模拟带阻滤波器，设计指标为：阻带频率1000Hz—2000Hz，两侧过渡带宽500Hz，通带衰减1dB，阻带衰减大于50dB。仿真结果见图4－4。

%Matlab program5.1

%Design a chebyshev I analog bandstop filter

ws=[1000 2000]*2*pi;

wp=[500 2500]*2*pi;

Rp=1;

Rs=50;

%compute oder and cuttoff frequency

[N,Wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,'s')

[b,a]=cheby1(N,Rp,Wn,'stop','s');

%output

w=linspace(1,3000,1000)*2*pi;

H=freqs(b,a,w);

magH=abs(H);

phaH=unwrap(angle(H));

plot(w/(2*pi),20*log10(magH));

xlabel('Frequency(Hz)');

ylabel('Magnidute(dB)');

grid on

-50

-100

-150

-200

-250

-300

-350

-400Magnidute(dB)[1**********]0

Frequency(Hz)[1**********]0 图4－4 模拟带阻滤波器仿真

第5章 频率转换

上述模拟滤波器的设计，只是讨论了低通滤波器的设计问题，高通、带通、带阻滤波器可以通过对滤波器特性的频率变换，转换成低通滤波器的设计。这种频率变换的方法又称原型变换，变换得到的低通滤波器称为低通原型滤波器。频率变换是指低通原型传递函数与其他类型（高通、带通、带阻）滤波器传递函数中频率之间的转换关系。具体做法是：先根据对高通、带通、带阻等滤波器特性指标要求，导出相应的低通原型的指标来，确定低通原型的H(s)，再根据一定变换关系得出高通、带通、带阻滤波器的H(s)。

5.1低通至高通的转换

设低通滤波器传递函数为HL(p)，角频率为，截止频率为c；高通滤波器传递函数为HH(s)，角频率，通带始点角频率为c。设有如下的变换关系

p

p

 （5－1）

而sj，有

j()j （5－2）

上市表明：S平面中的虚轴正好映射到P平面的虚轴上，其频率变换关系为





（5－3）

与之间存在：0， 

， 0

c， c

相应的关系可表示成如图5－1所示的曲线

图5－1 通至高通的频率变换系

根据上述的频率变换，将高通滤波器的特性指标：高通通带始点频率c，阻带始点频率z，分别代入式（4.3）中，求出低通原型的通带截止频率c，阻带始点频率z；而高通的通带衰减1及阻带衰减2即为对低通原型通带与阻带的要求。根据c、z、1和2确定低通原型传递函数HL(p)，即可求出高通传递函数为：

HH(s)HL(p)|

p （5－4）

5.2低通至带通的变换

设低通原型的传递函数为HL(p)，角频率为，截止角频率为c；带通通带中心频率为2，带通滤波器的传递函数为HB(s)，角频率,1与3为通带的上、下边界频率，通带带宽B=31。低通原型与带通传递函数的变换关系为

s222p （5－5）

s

222

而sj，有 pj j （5－6）



说明S平面中的虚轴证号映射到P平面的虚轴上，并有下列频率变换关系存在

222

（5－7） 



其频率变换关系曲线如图5－2所示，由上式曲线应对称于原点，图中只给出了0的部分。

图5－2 低通至带通的频率变换关系

0,2

由式（5－7）和图5－2，有c,3，显然，变换的结果是：把低通原型由直流

c,1至截止频率c通带范围内的频率特性平移至带通滤波器的2~3之间；而由直流至截止频率c通带范围内的频率特性平移至带通滤波器的1~2之间。由于与变换是非线性的，因此1~22~3。

由图5－2和式（5－7）可见，低通原型与带通之间的频率变换有如下关系：

2322

c

3



1

2122

（5－8）

解上述方程，可得

2 （5－9） c31B （5－10）

上两式表明：带通滤波器的中心频率是其上、下边界频率的几何平均值，宽带与低通原型的通带宽度相等。

利用频率变换方法求解带通传递函数的具体思路是：由给定带通指标：通带宽度B、带通通带中心频率2、通带衰减1、阻带始点频率z1与z2、阻带衰减2等，求出低通原型指标c及阻带始点频率z；然后按低通原型指标确定低通原型传递函数H(p)；再代入（5.4）可以得到带通传递函数HB(s)为

（5－11）

2s22

p

HB(s)HL(p)|

实际上，也可以讲一个低通滤波器与一个高通滤波器相联接，只要低通滤波器的截止频率Lc大于高通滤波器的截止频率Hc即可，如图5－3所示。

图5－3 低通与高通相联接组成带通滤波器原理

5.3低通至带阻的变换

变换的方法与上述两种滤波器相似，尤其与带通滤波器的变换类似。若低通原型的带阻传递的函数是HL(p)，带阻滤波器的传递函数是Hz(s)，两者之间有以下的变换关系：

2s

p （5－12）

s2

式中的2为阻带的中心频率，代入sj，有

2

pj222j （5－13）

2

可得到低通原型与带阻滤波器之间的频率转换关系为

2

222 （5－14）

2

根据上述的变换关系，可以得出带阻滤波器通带的上、下边界频率并表示为1和3，并可推出得低通原型与带阻特性指标存在以下关系：

2c2212

21c

3

2

223

2

2

（5－15）

解上述方程得

2 （5－16）

13

（5－17）

31

c

由上式可得带阻滤波器最带宽度为

B31

13

c

（5－18）

式（5－18）说明：组带宽度B与低通原型通带宽度c成反比。

用频率变换方法求带阻滤波器传递函数的步骤，同样是根据给定的带阻滤波器指标，利用频率变换式（5－12），指标关系式（5－13）和式（5－14），先求出相应低通原型的指标，再确定低通原型的传递函数HL(p)，最后，由下式得到带阻滤波器的传递函数Hz(s)，即

Hz(s)HL(p)| （5－19）

2sp2

与带通滤波器的组成相似，也可以用一个高通与一个低通滤波器并联连接，构成一个带阻滤波器，只要低通滤波器的截止频率Lc小于高通滤波器

HcHc即可信号低频部分（低于Lc频率）经由低通滤波器传输，高频部分（高于

于Hc的频率）经由高通滤波器输出，频率低与高于Lc的信号被抑制，如图5－4所示。

图5－4 低通与高通相联接组成带阻滤波器的原理

第6章 总结与展望

几乎在所有的工程技术领域中都会涉及到信号处理问题，滤波器作为信号处理的重要组成部分，已发展的相当成熟。本论文主要是针对模拟滤波器的设计与仿真。在以上章节的论述中，系统研究了模拟滤波器（包括巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器）的设计原理和方法，并在此基础上论述了模拟滤波器（包括低通、高通、带通、带阻）的设计。最后，利用MATLAB对所设计的模拟滤波器进行了仿真。

信号处理已有一段悠久而丰富的历史了,这一领域总是得益于它的理论,应用与实现信号处理系统的技术之间的紧密结合,日见增长的应用范围和日益增长的高级算法的需求总是与现实信号处理系统的器件技术的快速发展齐头并进.在许多方面都清楚的表明,信号处理的重要性和理系统也将会实现。因此，数字信号处理的重要性无疑仍会与日俱增，而滤波器作为数字信号处理的重要组成部分也必将迎来革命性的变革。地位在迅速提高和扩大。八十年代以来,DSP芯片的复杂性和容量一直成指数的增长着,并且没有放慢的迹象.随着整片集成技术的迅速发展,价廉、超微型和低功耗的很复杂的数字信号处

虽然数字信号处理是一个不断更新和飞速发展的领域，但是它的基础已经日臻完善。本设计的目的就是为了在数字信号处理滤波理论方面给出一种条理清晰的论述。

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