例谈初中数学解题中转化思维的有效应用

例谈初中数学解题中转化思维的有效应用

摘 要：数学作为一门工具性学科，其对学生思维能力、推理能力的具有十分积极的促进作用。在初中数学教学中，转化思维是一种需要学生重点掌握的思维模式。让学生掌握转化思维，有益于学生更好地掌握数学这门学科。本文主要结合苏科版的初中数学教材，就转化思维在初中数学解题中的应用进行简要分析。 关键词：初中 数学 解题 转化思维

所谓转化思维，引用著名数学家雅洁卡娅的话说，就是：“解题就是把要解的题转化为已经解过的题。”在初中数学解题中应用转化思维，可以将陌生的问题转化为熟悉的问题，将难度大的问题转化为简单的问题。学生在应用转化思维的时候可以串联所学习过的知识网络，加强并巩固自己对于所学知识的内化，并同时锻炼自身的逻辑思维能力，加强思维的灵活性，提高综合数学素养。就转化思维在初中数学解题中的应用，本文主要总结出以下三点。

一、利用转化思维化陌生为熟悉

利用转化思维解答数学问题，可以将陌生的问题转化为熟悉的问题。在学生自身基础牢固的情况下，转化思维能够让学生在面对新问题的时候迅速寻找到突破口，从过去学习过的知识或者是解答过的问题中找出方法，从而快速解答。下面以一道题为例。

例，如图所示，试说明∠ADB=∠CDF ，已知

AB=AC，∠BAC=90°，D 是AC 的中点，AF ⊥BD 于E ，

交BC 于F ，连结DF 。

这道题若是按照表面意思而去直接证明

∠ADB=∠CDF ，无疑较难入手。但是运用转化思维，

那么就可以把两角相等的求证转化成其他因素的

求证。分析此题，不难发现，∠ADB 其实是直角三

角形ADB 或者直角三角形ADE 的内角。既然直接求

证∠ADB=∠CDF 比较难，那么就可以考虑找到一个

和∠ADB 相等的角，然后再证明∠CDF 与那个角相等即可。于是可以作AC 的垂线CM ，并于直线AF 的延长线相交于点M 。由已知条件AB=AC可以很容易得出直角三角形ADB 和直角三角形AMC 全等，这样也就得出∠ADB 和∠AMC 相等。于是题目要求求证的关系就转化为了求证∠AMC=∠CDF 。由图可以猜想三角形CDF 和三角形CMF 关于CF 对称，于是只要证明三角形CDF 和三角形CMF 全等即可得出题目要求求证的结论。

解：

作直线AC 的垂线CM 于直线AF 的延长线相较于点M

∵AF ⊥BD

∴∠3+∠2=90°

∵∠BAC=90°

∴∠1+∠2=90°

∴∠1=∠3

即在直角三角形ADB 和直角三角形AMC 中，有

∠1=∠3 AC =AB

∠ACM =∠BAD

∴直角三角形ADB 和直角三角形AMC 全等

∴∠ADB=∠AMC

∴AD=CM

由题意已知D 是AC 的中点

∴AD=CD

∴CD=CM

又由题意可知∠DCF=∠ABC=45°

∵∠ACM=90°

∴∠MCF=∠DCF=45°

即在三角形CDF 和三角形CMF 中，有

CD =CM ∠MCF =∠DCF

CF =FC

∴三角形CDF 和三角形CMF 全等

∴∠AMC=∠CDF

∴∠ADB=∠CDF

在这道例题的解答过程中，通过转化思维的运用，本来是一道证明两角相等的问题，却变成了让学生更加熟悉的直接证明两个三角形全等的问题。在这一过程中，学生又还同时巩固了对三角形相关知识的记忆和联系，强化了逻辑思维能力。

二、利用转化思维联系知识结构

指导学生学习转化思维的好处，就是可以让学生通过只掌握少量的基本的知识点或是基础性问题，便能由此及彼解决一类问题。转化思维具有互相串联学生知识网络的作用。因此，教师在开展初中数学课堂教学时，要想学生学会运用转化思维，就必须先重视对学生基础性知识和问题的教学，让学生做到稳扎稳打，步步为营。如在教学苏科版初中数学七年级下册“二元一次方程组”的相关内容时，就可以让学生通过加强对一元一次方程的理解来提高课堂教学效率，让学生自然而然地运用转化思维将二元一次方程和一元一次方程联系起来。而在教学八年级上册“中心对称图形”的相关内容时，则又可以让学生运用转化思维联系到三角形的内容上来。通过这种由此及彼互相联系的知识结构，学生不仅能强化自身对于基础性知识的理解和记忆，还可以锻炼学生的思维能力，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

例，如图所示，需要求等腰梯形ABCD 的高H ，已知AD ∥BC ，

AB=CD，AC ⊥BD ，AD+BC=26。

对于这道问题，如果要进行计算解答，似乎题目中提供

的信息都无法直接利用。因此，这就需要利用到转化思维，

将需要求得的信息转化为求另一种信息。在这道问题中，利

用已经提供的条件AC ⊥BD ，作出AC 的平行线DE ，并于BC 的

延长线相交于点E 。然后作BC 的垂线DF 与BC 交点F 。这样就

得到了直角三角形DFE 。于是求等腰梯形ABCD 的高H ，就变成了求直角三角形DFE 的高DF 。最后利用直角三角形的有关性质便能顺利求出等腰梯形ABCD 的高H 。

解：

作DE ∥AC ，与BC 相交于点E 。

∵AD ∥BC ，DE ∥AC

∴四边形ADEC 是平行四边形

∴CE=AD

∴DE=AC

又根据题意

∴DE=AC=BD

∴三角形BDE 是等腰三角形

∵DF ⊥BC

根据三线合一定理

∴BF=EF

∵AC ⊥BD

∴∠BOC=90°

又∵DE ∥AC

∴∠BDE=∠BOC=90°

∴三角形BDE 是直角三角形

∵BF=EF

∴DF=BE／2

∵BE=CE+BC

∵CE=AD

∴BE=AD+BC=26

∴DF=26／2=13

在这道例题的解答过程中，通过转化思维的运用，问题的难度大大降低。转化思维促进了学生对所学知识的联系，在这道例题的解答过程中，正是因为运用了转化思维，引入了“等腰三角形三线合一”以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”等三角形的知识点，才让这道题迎刃而解。

三、利用转化思维化繁杂为简单

在数学这门学科中，很多时候学生会遇到十分复杂的问题。这些问题往往陌生，需要考生联系的知识点比较多。运用转化思维，可以让这类问题由复杂变简单。学生通过对问题的一一拆解，并运用转化思维将其转化为一个个熟悉的基础问题，就能做到逐个击破，一步步将问题解决。

x x +1 3x +5y =144例，求解方程组 x 2+4x +5y =24

这道题乍一看，是一个二元三次方程组求解的问题。如果想要直接入手求解，那无疑超出了初中数学大纲，是难以求解的。因此，这道题需要运用到转化思维，对其进行转化降次，好让复杂的方程组问题变成简单的方程组问题，从而顺利求解出最终答案。

解：

根据题意，对方程组进行变换，可得，

x 2+x 3x +5y =144 2 x +x + 3x +5y =24

则设a=x2+x,b=3x+5y，

则可得出新方程组，

ab =144 a +b =24

求解该新方程组得到，

a =12 b =12

即，

x 2+x =12 3x +5y =12

则求解该方程组可得，

x =−4x =3 1或 2 y 1=4.8y 2=0.6

在这道题的求解过程中，通过运用转化思维对原方程组进行换元，可以使复杂的方程组变成学生所熟悉的简单方程组，从而提高学生解题的效率和正确性。 总 结：

在初中数学解题教学中，转化思维是一项非常重要的思维。数学中的很多问题都需要运用转化思维来进行计算解答。因此，学生对于转化思维掌握的好坏，在很大程度上影响着学生能否学好数学这门学科。因此，教师在开展数学课堂教学时，一定要重视对学生转化思维的培养，重视对学生基础知识和问题的教学，让学生充分掌握转化思维，从而为他们的成长发展打下基础。

参考文献：

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[2]吴庆思. 例谈数学思想在解题中的应用[J].文理导航（中旬），2010（10）

[3]戴荣科. 用转化思想打造初中数学高效课堂[J].中学教学参考，2011（14）

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