夏津一中高一数学竞赛试题(含答案)doc
夏津一中高一奥赛数学决赛试题
时间:2014/2/19
满分:150分 时间:120分钟
一、选择题(每题5分,共50分)
1.集合{0,1,2,2011}的非空真子集的个数是( )
A. 16 B. 15 C. 14 D. 7
2. 已知函数f (x )
满足f (
2
) =log 2则f (x ) 的解析式是( ) x +|x |
2
A.2- B.log2 x C. -log 2 x D.x -
x
3. 一个四面体的所有棱长都是2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) A 3π B
4π C 33π D 6π
2
4. 已知abc
5. 函数f (x ) =
1111
图像的对称中心是( ) +++…+
x +1x +2x +3x +2013
A. (-1006,0) B.(-1007,0) C. (1006,0) D. (1007,0)
6. 设f (x ) 是R 上的奇函数, 且在(0, +∞) 上递增, 若f () =0, f (log4x ) >0, 那么x 的取值范围是( )
12
111
A. x >2或2<x <1 B. x >2 C. 2<x <1 D.2<x <2
7. 已知定义域为R 的函数f (x ) 满足f (-x )= -f (x +2), 且当x >1时, f (x ) 单调递增. 如果x 1+x 2<2, 且(x 1-1)(x 2-1) <0, 则f (x 1)+f (x 2) 的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负 8. 若函数f (x )=25-
|x +5|
-4×5-
|x +5|
+m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( )
A. m >0 B. m ≤4 C. 0<m ≤4 D. 0<m ≤3
9.
已知f (x ) =1(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x ) 的图象关于直线l 对称, 则直线l 的方程为( )
1
A. x =2 B. x =1 C. x =2 D. x =0
10. 已知α, β分别满足α⋅1g αA. =1004, β⋅10β=1004,则α⋅β等于
1004
. C.2008
二、填空题(每小题8分,共48分)
11. 已知集合A={x | 4-2k <x <2k -8}, B={x | -k <x <k }, ⊂B, 则实数k 的取值范围是____________________ 若A ≠
12. 若函数y =loga (2x 2+ax +2)没有最小值, 则a 的所有值的集合是_________________
13.. 已知方程组
⎧log 81x +log 64y =4
⎨
⎩log x 81-log y 64=1
⎧x =x 1⎧x =x 2⎨⎨
y =y 1⎩y =y 2⎩的解为和,
则log 18(x 1 x 2 y 1 y 2)=________
14. 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ,满足f (x -4) =-f (x ) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f (x ) =m (m >0) 在区间[-8, 8]上有四个不同的根x 1, x 2, x 3, x 4,则
x 1+x 2+x 3+x 4=15. 若方程x -4x +3-x =a 有三个不相等的实数根,则a=
2
16. 若方程lg kx =2lg(x +1) 仅有一个实数根,那么k 的取值范围是 三、解答题(16题10分,17题12分,19、20题各15分共52分) 17.(1)
求函数y =
(2).已知集合A =
.
{x x
2
-6x +8
}{}
确定实数a 的取值范围.
18. 已知
f (t ) =
log 2t
,t ∈,对于f (t ) 值域内的所有实数m ,不等式
x 2+mx +4>2m +4x 恒成立,求x 的取值范围.
19. 一条直线L 过点P (1,4),分别交X 轴,Y 轴正半轴于点A ,B ,O 为坐标原点,求 (1)∆AOB 面积的最小值,并求此时的直线L 的方程。 (2)OA +OB 取最小值时直线L 的方程。 (3)PA PB 取最小值时直线L 的倾斜角。
20. 已知圆C :x +y +2x -6y +1=0,直线l :x +my =3. (1)若l 与C 相切,求m 的值;
(2)是否存在m 值,使得l 与C 相交于A 、B 两点,且OA ⊥OB (其中O 为坐标原点),若存在,求出m ,若不存在,请说明理由.
2
2
参考答案
一.CCACB ABDBB
15. -1或-16. k
17.. (1
(2)解:.
3 4
A ={x |2
A B ≠φ需且只需:
⎧∆≥0⎪f (2)>0⎪23⎪
f (2)f (4)0,整理有≤a
4⎪
⎪2≤a ≤4⎪⎩
2
g t ,t ∈,对于f (t ) 值域内的所有实数m ,不等式18. 已知f (t ) =
l o 2
x 2+mx +4>2m +4x 恒成立,求x 的取值范围.
解: f (t ) =log 2t , t ∈,∴m ∈[,3]
1
2
x 2+mx +4>2m +4x ⇔(x -2) m +x 2-4x +4>0令g (m ) =(x -2) m +x 2-4x +4,
由题意知:当m ∈[,3]时,恒有g (m ) >0, 当x =2时,不满足题意.
1
2
⎧1⎪g () >0
当x ≠2时,有⎨2,解得:x 2.∴x ∈(-∞, -1) (2,+∞)
⎪⎩g (3)>0
19. (1)∆AOB 面积的最小值为8,并求此时的直线L 的方程为4x +y -8=0。 (2)OA +OB 取最小值时直线L 的方程2x +y -6=0。
(3)PA PB 取最小值为8, k=-1时直线L 的倾斜角为135。
20. 解:(Ⅰ) 由圆方程配方得(x+1)+(y-3) =9, 圆心为C(-1,3) ,半径为 r = 3,
…2分 若 l 与C 相切,则得
22
|-1+3m -3|
1+m 2
=3, ……4分
∴(3m-4) =9(1+m) ,∴m =
22
7
. 24
2
2
……5分
(Ⅱ) m 满足题意。 由 x+y+2x-6y+1=0 ,消去x 得 -my (m+1)y-(8m+6)y+16=0,
2
2
2
2
……7分
7
, 248m +616
设A(x1,y 1) ,B(x2,y 2) ,则y 1+y2=,y 1y 2=.
22m +1m +1
由△=(8m+6)-4(m+1)·16>0,得m>
2
2
……8分
因为OA ⊥OB ,在三角形OAB 中,由勾股定理得:AB =OA +OB 由两点间的距离公式整理得: x 1x 2+y 1y 2=0 所以, x 1x 2+y 1y 2=(3-my 1)(3-my 2)+y1y 2
=9-3m(y1+y2)+(m+1)y1y 2=9-3m ·=25-
2
2
2
8m +6m +1
2
+(m+1)·
2
16m +1
2
24m +18m m +1
2
2
2
2
=0 ……13分
24m +18m=25m+25,m -18m+25=0, ∴m=9±2,适合m>
7, 24
……15分
∴存在m=9±2符合要求.