现代控制理论课后题及答案

第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答

2.1有电路如图P2.1所示，设输入为u1，输出为u2，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。

图P2.1

解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。

设C1两端电压为uc1，C2两端的电压为uc2，则

uc1C2

duc2

R2uc2u1 (1) dt

C1

duc1uc1du

C2c2 (2) dtR1dt

选择状态变量为x1uc1，x2uc2，由式(1)和(2)得：

duc1RR2C111

1uc1uc2u1 dtR1R2C1R2C1R2C1duc2111uc1uc2u1 dtR2C2R2C2R2C2

状态空间表达式为：

R1R2C111xxxu1121

R1R2C1R2C1R2C1



111

xxxu1212

R2C2R2C2R2C2



yu2u1x1

R1R2C1R1R2C1x1

即: 

x21

R2C211

R2C1x1R2C1

u1 1x21RCR2C222

x1

y10u1

x2

2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。

1

图P2.2

解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令f(t)为输入量，即uf，M1，M2的位移量y1，y2为输出量， 选择状态变量x1y1，x2= y2，x3=根据牛顿定律对M1有：

dy1dy

，x42。

dtdt

M1x3Kx1B1

对M2有：

M2x4f(t)B1

经整理得：

d(x2x1)

dt

d(x2x1)dx

B22 dtdt

x1x3

xx

42

BBK

x11x31x4状态方程为： x3 MMM111

BBB1

ux41x3(12)x4

MMMM2222

yx11

输出方程为： 

y2x2

写成矩阵形式为：

00x1x

2Kx3M1x4

0

000

10B1M1B1M2

0



x0110

x2B1

0uM1

x31

B1B2x4()M2

M2M2

x1

y11000x2y0100x

32

x4

2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的x1、x2、x3作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u、y分别为系统的输入、输出，1、2、3均为标量。

图P2.5系统结构图

解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器

的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。

着眼于求和点①、②、③，则有

11x1x2 ①：x

22x2x3 ②：x

33x3u ③：x

输出y为yx1du，得

x1a1

x02x30

1a2

0x10x0u 12a3x31

x1

du

y100x2

x3

2.7 试求图P2.8中所示的电网络中，以电感L1、L2上的支电流x1、x2作为状态变量的状态空间表达式。这里u是恒流源的电流值，输出y是R3上的支路电压。

xxu

图P2.8 RL电网络

解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程

x1x2R3R2x2L2x2

ux1L1x1x1x2R3/R1

yx1x2R3

整理得状态空间表达式为

R3R1R3

R

L1L1x11x1L1uxR2R3x22R3

0 LL22x

yR3R31

x2

4y5y3u； yy2.8 已知系统的微分方程 (1) 

3yuu； y(2) 2

23y5y57u。 yyu(3) 

试列写出它们的状态空间表达式。

(1) 解 选择状态变量yx1，yx2，yx3，则有：

x1x2xx23



x35x14x2x33uyx1

状态空间表达式为：

x1010x10

x001x0u22x3541x33

x1y100x2x3

(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件下取拉

氏变换得：

2s3Y(s)3sY(s)s2U(s)U(s)

121s2 Y(s)s1

U(s)2s33ss33s

2

由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为



x1010x10x001x0u

22

3x31x300

21y

2

x11

x2 2x3

(3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件下取拉

氏变换得：

s3Y(s)2s2Y(s)3sY(s)5Y(s)5s3U(s)7U(s)

Y(s)5s37

3

2

U(s)s2s3s5

在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即m是否小于n，若mn需作如下处理

Y(s)5s3710s215s18

353

22

U(s)s2s3s5s2s3s5

再由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为

x1010x10x001x0u 22x3532x31

y1

x1

50xu 2x3

2.9 已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。

s3s1s22s3

(1)g(s)3 (2)g(s)3 22

s6s11s6s2s3s1

(1) 解

首先将传函(1)化为严格真有理式即：

Y(s)6s210s5g(s)131g(s) 2

U(s)s6s11s6

令g(s)

Y(s)

，则有 U(s)

6s110s25s3

Y(s)U(s)，

16s111s26s3E(s)U(s)

1

，

16s111s26s3

即：

E(s)U(s)6s1E(s)11s2E(s)6s3E(s)Y(s)6sE(s)10sE(s)5sE(s)

由上式可得状态变量图如下：

1

2

3

由状态变量图或公式(2.14)、(2.15)直接求得能控标准型状态空间表达式

10x10x10

x0x0u

0122

x36116x31

x1

u

y=-6-11-6x2

x3

(2) 解 由已知得：

s12s23s3

Y(s)U(s)，

12s13s2s3

令： E(s)U(s)

1

，

12s13s2s3

2

3

得： 状态变量图如下：

E(s)U(s)2s1E(s)3s2E(s)s3E(s)Y(s)sE(s)2sE(s)3sE(s)

1

状态表达式如下：

x1010x10x001x0u 22x3132x31

x1



y321x2

x3

2.13 列写图P2.10所示系统的状态空间表达式。

图P2.10

解 设

x1(s)y1(s) x2(s)y2(s) 则由系统方框图P2.10可得

xc

1(s)u1(s)x2(s)

sa xud

2(s)2(s)x1(s)sb 对式710进行拉氏反变换得

x1(t)ax1(t)cx2(t)cu1(t)x2(t)dx1(t)bx2(t)du2(t)y

1(t)x1(t)y2(t)x2(t)

则系统状态空间表达式为

x1acxbx1c0u1

2dx0du22

y10

1y201x1x2

2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。

(1) 

x1x01x156

x0

u 221

 (2) x1x0

10x123230215u1x2x3

1276x3 71

u2(1) 解

① 求特征值

(7) (8)

(9) (10)

IA



1

(6)5(5)(1)0

56

解得

② 求特征向量

11,25

a、对于11：

有

1IAv1

11v110

 

55v120

v111

解得 v1

v121

b、对于25：

有 解得

2IAv2

51v210

 

51v220

v211v2

v225

③ 构造P，求P

1

11

Pv1v2

1515

4P141144

④ 求，。

10

, P1AP

05

541

PB

14

11

404 11144

1410

u 则得对角标准型 

051

4

(2) 解

① 求特征值：



IA3

12

10

2(1)(2)(3)0



7

6

11,22,33

② 求特征向量

a、对于11有：

110v110v111312v0v1 12121275v130v131

b、对于22有：

210v110v112322v0v4 12124127v130v131

c、对于23有：

310v110v111332v0v3 12121273v130v133

③ 构造P，求P。

1

95

122121

,P1321

P143

531131

22

④ 求，。

100

,P1AP020

0039537

12722232

1520P1B32115537127

116

222

则得对角标准型

37

272100

1520u

020

27003162

2.15 试将下列状态方程化为约当标准形。

x1412x131

x102x27u1 22u

2x113x5333

解 ① 求特征值：

41

IA1

1

1

2

2(1)(3)20

3

11,

② 求特征向量

233

a、对于1有 (iIA)vi0

312v110v110v2

即 112v12012

112v130v131

b、对于3有 (iIA)vi0

01112v21v210v1

即 132v22

22

110v230v231

(iIA)vivi

11112v21v21

1v0

即 132v22

22

110v231v230

③ 构造P，求P。

1

011,P210

110

④ 求，。

011



P1012

112

10

P1AP03

0001

P1B01

11

则得约当标准型

0

1,3

131342781225352

10034x81u

031

00352

2.16 已知系统的状态空间表达式为

512xx5u31 y12x4u

求其对应的传递函数。

解

512A，B5，C12，d4

31

g(s)C(sIA)1Bd

s51sIA

3s1

s1111

(sIA)

s5(s5)(s1)33

g(s)C(sIA)1Bd

s1121

1254

3s5(s2)(s4)

4s236s91

s26s8

2.19 设离散系统的差分方程为

y(k2)5y(k1)3y(k)u(k1)2uk

求系统的状态空间表达式。

解 对差分方程取Z变换，得：

Z2y(z)5Zy(z)3y(z)Zu(z)2u(z)

y(z)z2

g(z)2

u(z)z5z3

离散系统状态方程式为

x1(k1)01x1(k)0x(k1)35x(k)1u(k)

22

x(k)

y211

x2(k)

第3章 “状态方程的解”习题解答

3.1计算下列矩阵的矩阵指数e。

At

(1)

200

;(2)A020

002200



A031

003

0001

(3) A; (4) A40

10

（1）解 e

At

e2t

00

0e2t00e3t0

0

0 e2t0

te3t e3t

e2t

At

（2）解 e0

0

（3）解

s0

sIA

1s1

1s0s1

sIA2

s1s1

s2



0 1s

1t01

eAtL1sIA t1t

（4）解： sIA

s1

 4s

sIA

1

1s12

s44s12 s

s242s24



2s222s4s4



12

2s24

s2

s4

s

s24At1

eL

22s24

cos2t

2sin2t

3.2 已知系统状态方程和初始条件为

1sin2t2

cos2t

100

x,x010

012

(1) 试用拉氏变换法求其状态转移矩阵；

1



x00

1

(2) 试用化对角标准形法求其状态转移矩阵； (3) 试用化e为有限项法求其状态转移矩阵； (4) 根据所给初始条件，求齐次状态方程的解。

At

100

A1

（1）解 A010O012

O

， A2

其中， A11,

10

A212

eA1t

则有 e

0

At0

A2te

而 e

A1t

1

et， eA2tL1sIA2



sIA2

1

s10

1s2

s201



1s1(s1)(s2)1

s1

11s2s1



01s2

1

e

所以状态转移矩阵为

A2t

LsIA2

1

1

et



e2tet



0ete2tet

0 2te

00 e2t

et

1

eAtL1sIA0



0

（2）解

IA2

1

10

(1)(2)0 2

11,22

对于11，

000111P10P11 

对于22，

100010P20P21 10101

PP

1111

e

A2t

etP

011

01

P2te0et10

010

 2t11e

et

2ttee

0e2t

et

00ePt0

et0

0e2tet

t e2

（3）解 矩阵的特征值为1,21,

32

对于32有： e2t0(t)21(t)42(t) 对于1,21有： et0(t)1(t)2(t) 因为是二重特征值，故需补充方程 tet1(t)22(t) 从而联立求解，得：

0(t)e2t2tet

1(t)3tet2e2t2et 2(t)e2tettet

eAt0(t)I1(t)A2

2(t)Ae2t2tet0

0e2t2tet03te2e2e1t2tt0

00e2t2tet0100 e2tettet010100012010

012

et000et0 0e2tete2t

（4）解：

00

1012



x(t)eA(tt0)x(t0)eAtx(0)

et00

0ete2tet

01et000

e2te2t1

3.3 矩阵A是22的常数矩阵，关于系统的状态方程式xAx，有

e2t1

x(0)时， x2t

1e2et2

x(0)时， xt

1e

试确定这个系统的状态转移矩阵(t,0)和矩阵A。 解：

因为系统的零输入响应是

xt(t,0)x(0)

所以

e2t1

(t,0)2t1，

e

将它们综合起来，得

2et

t(t,e20) 1

e2t2te2et12

(t,0) t11e

2et12

et11

1

e2t

(t,0)2t

e

e2t2te

2et12

 t11e

2et2e2t

2e2tet

2ete2t2ttee

而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵(t,t0)满足微分方程

d

t,t0At,t0 dt

和初始条件 t0,t0I 因此代入初始时间t00可得矩阵A为：

d

A(t,t0)1(t,t0)

dttt00

2et2e2t2tt2ee0213

3.9 已知系统xAx的转移矩阵(t,t0)是

2et4e2t

2tt4eet0

2ete2t

(t,t0)t2t

ee

时，试确定矩阵A。

解 因为 (t,t0)是状态转移矩阵， 所以有 A将t00，(t0,t0)I代入得：

2(e2tet)

2tt2ee

d

(t,t0)(t,t0) dt

02

A

13

3.10 已知系统状态空间表达式为

011xxu 

341

y11x

(1) 求系统的单位阶跃响应； (2) 求系统的脉冲响应。

011

（1）解 A，B1,C11

34

IA



1

(4)3(3)(1)0

34

11,23

11时， P1P1 

3301

1101

23时， P2P2 

3103

11

P13

3

13121

P2111

2

1

2 12

3101

et

eP

0

At0111et

P3te130

11ete3t22



1t33tee22

3

023te121

212

3t13t

2e2e

3et3e3t22

将u(t)1(t)代入求解公式得：

3t13t

2e2ex(t)

3et3e3t2211

ete3t

x1(0)22



1t33tx2(0)ee22

ete3(t)1

d t3(t)e3e1

t

13ete3(t)

+t

203e3e3(t)

3ete3tet

x1(0)2 

et3et3e3t

x1(0)2e3t

x2(0)et12

3t3e

x2(0)et12

et1

若取x(0)0，则有 x(t)t

e1

et1

y11x(t)11t2et2

e1

（2）解 由（1）知

eAt

3t13t2e2e

3et3e3t2211

ete3t22



13ete3t22

取u(t)(0)，则有

1t13t3t13t

eeee2x1(0)222x(t)3313ete3tete3tx2(0)2222t

ete3(t)113ete3(t)

t(0)d 3(t)t3(t)203e3ee3e1

3ete3tet

x1(0)2

t

et3e3e3t

x1(0)2

e3t

x2(0)et23t3e

x2(0)et2

etet0

若取x(0)，则有x(t)t，y(t)11t2et

0ee

3.11 求下列系统在输入作用为：① 脉冲函数；② 单位阶跃函数；③ 单位斜坡函数下的状

态响应。

1baa0

(1) xx1u

0b

ab

(2) x

（1）解

atea0

AeAt

0b0

100

xu abab1

0

bte

① u(t)(t)，

ext

0

at

0x10te

0btex200

a(t)

1

0ba

0db(t)e1ab

1atat

ex(0)e1ba

1ebtx(0)ebt2

ba

取x00，则

1at

baext

1ebtba

② ut1t，

eatx101tea(t)

xtbtb(t)1d0

ex20bae

at1eat ex1(0)a(ba)a(ba)

btbte1

ex2(0)

b(ba)b(ba)

1eata(ba)a(ba)

 若取x00，则有 xtbte1



b(ba)b(ba)

t

eatx1(0)ea(t)1

③ utt， xtbtb(t)td ex2(0)ba0e

teat1



eatx101aa2a2

btbt

ex20bate1

bb2b2

atteat1

ex0122

abaabaaba

bttebt1

22ex20

bbabbabba

若取x00，则有

teat1abaa2baa2ba

xtbtte1

22

bbabbabba

（2）解

100A,B

abab1

IA

1

abab

ababab0

所以

1a,2b

a101

PP11b0ab101

PP220b a

11

P

abP1

1b1

baa1

0b1

ebta1

1a时， 

ab

2b时， 

ab

1eateat0111

ePPabbtab0e0

eatebt1beataebt

ababeatabebtaeatbebt

At

① u(t)(t)，

1beataebt

xt

ababeatabebteatebtx1(0)



aeatbebtx2(0)

ea(t)eb(t)0

(0)d

aea(t)beb(t)1

t

bea(t)aeb(t)1

a(t)b(t)ababeabe0

btatatbtatbt

1(aebe)x1(0)(ee)x2(0)ee

ab(abeatabebt)x1(0)(aeatbebt)x2(0)aeatbebt

1eatebt

取x(0)0， 则有x(t) atbtabaebe

② ut1t，

1beataebt

xt

ababeatabebt

eatebtx10



aeatbebtx20

ea(t)eb(t)0

1()da(t)b(t)aebe1

111at1btbtatatbt

(aebe)x(0)(ee)x(0)ee112

baab

abatbtatbtatbt

(abeabe)x1(0)(aebe)x2(0)ee

1tbea(t)aeb(t)



ab0abea(t)abeb(t)

111at1bt1ee

取x(0)0， 则有 x(t) baab

ab

eatebt

③utt，

1beataebt

xt

ababeatabebt

eatebtx10



aeatbebtx20

ea(t)eb(t)0

d

aea(t)beb(t)1

t

bea(t)aeb(t)1

a(t)ababeb(t)0abe

at1eatbt1ebtatbtatbt

(beae)x10(ee)x2022

1abatbtabat1ebt1eatbtatbt

(abeabe)x0(aebe)x012ab

at1eatbt1ebt22

1ab 取x(0)0， 则有 xtatbtabat1ebt1e

ab

3.12 线性时变系统xtAtxt的系数矩阵如下。试求与之对应的状态转移矩阵

(1) At

0100 (2) ;At 

0tt001

 0t

(1) 解 At

因为 At1At2

01010t2

 

0t10t20t1t2

01010t1

At2At10t0tt

0t2112

At1At2At2At1

说明At1和At2是不可交换的，亦即At和Ad是不可交换的。

t0t



则按下式计算状态转移矩阵

t,t0IAdA1A2d2d1

t0

t0

t0

tt

1

A1

A2A3d3d2d1

t0

t0

t0

t

12

为此计算：



t

t

tt0001 A()dd122t000(tt0)

2

t

A

t0

1

t

1

t0

1t00

01dA

2d2d11122t00(1t0)10

2

1122 20(1t0)06tt0tt0t2d1t021100(131t02)t2t0228

t

所以状态转移阵为

0

10

t,t0

010



12

0tt0tt06122

212(tt0)

0tt0228

12

1(tt)tttt0006

1101(t2t2)(t2t2)2

00

28



tt0

（2）解 A(t)对应系统自治状态方程为

00

t0

x10



x2tx1

求解得到

x1tx1t0

x2t0.5x1t0t0.5x1t0t0x2t0

2

2

再任取两组线性无关初始状态变量：

x1t00,x2t01;x1t02,x2t00

可导出两个线性无关解：

20

x1t,x2t2

2tt10

由此，得到系统的一个基本解阵：

(t)x1

20

x21t2t20

于是，利用状态转移矩阵关系式，即可定出状态转移矩阵(t,t0)：

(t,t0)(t)1(t0)

200

221tt01

1

220.5t0.5t0

2001

1

1t2t02tt0

22tt1tt00

3.14 已知线性定常离散系统的差分方程如下：

yk20.5yk10.1ykuk

若设uk1,y01,y10，试用递推法求出yk,

k2,3,10。

解 y(2)0.1y(0)0.5y(1)u(0)0.110.5010.9 同理，递推得：

y(3)0.55, y(4)0.635, y(5)0.6275,y(6)0.6228,y(7)0.6259,y(8)0.6248, y(9)0.6250,

y(10)0.6250

3.15 设线性定常连续时间系统的状态方程为

x101x10

x02x1u， t0

22

取采样周期T0.1s，试将该连续系统的状态方程离散化。

解

① 首先计算矩阵指数e。采用拉氏变换法：

1

s11At11eLsIAL 0s2

At

1

1sL01s(s2)

1

(s2)

10.51e2t

2t

e0

② 进而由公式(3.19)计算离散时间系统的系数矩阵。

Ge

将T0.1s代入得

AT

10.51e2T

2Te0

Ge

AT

10.091 00.819

2tT10.51e0

HedtBdt2t0010e

T0.5T0.25e2T0.2502T

00.5e0.51

2T

0.5T0.25e0.25

0.5e2T0.50.0050.091



T

At



③ 故系统离散化状态方程为：

x1k110.091x1k0.005xk0.091uk xk100.81922

3.16 已知线性定常离散时间系统状态方程为

1x1k12xk121

81

8x1k10u1kuk； 1x2k0122

x101 x023

设u1k与u2k是同步采样，u1k是来自斜坡函数t的采样，而u2k是由指数函数e采样而来。试求该状态方程的解。

解

① 首先用Z变换法求状态转移矩阵：

t

111

z2z2181

(zIG)

11(z)(z)1z

88288

1111

3553zzzz

888811115335zzzz8888

1

1

81z2

15k13k

()()28281

kZ1(zIG)z

1(5)k1(3)k2828

k1i1

15k13k

()()4848



13k15k()()2828

② 利用x(k)(k)x(0)

(ki1)Hu(i)即可求得。 或用Z变换法，由

-1-1

xkZ1zIGzx0Z1zI-GHuz求得。



第4章“线性系统的能控性与能观性”习题与解答

4.1 判断下列系统的能控性。 1)  u x210x21

1x11x10

1010x110x

u101 x201 2) x20

u2x243x11331310x111x

030 x00u1 3) x22u

2x001x2033

解：

111

1) 由于该系统控制矩阵b，系统矩阵A，所以

010

1111Ab  

1001

从而系统的能控性矩阵为

UCb

显然有

Ab

11

01

rankUCrankbAb2n

满足能控性的充要条件，所以该系统能控。

2)由于该系统控制矩阵为

10



B01

11

系统矩阵为

100



A001

243

则有，

.

0100111

 1117

A2B001

24317115

从而系统的能控性矩阵为

UCB

有

AB

100111

011117

A2B

1117115

rankUC3n

满足能控性的充要条件，所以该系统能控。

3)由于该系统控制矩阵为

11



B00

20

系统矩阵为

031



A030

010

则有，

3101133

 0000

AB030

0012020

3103399

 0000

A2B030

0012020

于是，系统的能控性矩阵为

UCB

可知

AB

113399

000000

A2B

202020

rankUC2n

不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。

4.2判断下列系统的输出能控性。 1)

1310x111x

u1x

2030 x200u

2x001x2033

x1

y1101y110 x2

x2

3

2)

1010x10xx x0u 200123x6116x31

x1



y100 x2

x3

解：

1) 系统输出完全能控的充分必要条件是，矩阵CBCABCAB  CA为q。由于



2n1

BD的秩



11

10131 CB 00

1102011



01131

101 0053

CAB 03033

11000120

031101030CA2B 110001

所以

2

11

119

0099

20

CB

而

3153119

CABCA2BD339911



2

rankCBCABCABD2q

等于输出变量的数目，因此系统是输出能控的。

2) 系统输出完全能控的充要条件是，矩阵CBCABCA2B  CAn1BD的秩为q。

由于

CB0 CAB0

CA2B0

所以

CB

CABCA2BD

0010

而

rank

CBCABCA2BD1q

等于输出变量的数目，因此系统是输出能控的。 4.3判断下列系统的能观测性。 1)

x

111x1x210x 2y11 x1x

2

2)

x1010x1x0012 x2 x3243x3y1011x1y2

121 x2x

3

3)

x1043x1x2 x 02016x2302520x3

x1

y130 x2

x

3

解

□

1) 系统的观测矩阵C11，系统矩阵A

11

，得 10

11

CA11 21 

10

系统能观性矩阵为

C11UO 

CA21

可知

C

rankUOrank2n

CA

满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。

100

0110，于是

A012) 系统的观测矩阵C，系统矩阵

121243

100

440112CA 001231 121243

1004428148

CA2 001202312432



系统能观性矩阵为

110

121C

44 2UOCA231

2CA8148

220

易知

C

3n

rankUOrankCA

2CA

满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。

430，于是

163) 系统的观测矩阵C130，系统矩阵A020

02520

0

43CA130 0201605645

02520



0

43CA205645 02016054

2520

0

系统能观测性矩阵为

CUCA13

0 05645O

CA2

054

易知

C

rankUOrankCA3n

CA2



满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。

4.4 试确定当p与q为何值时下列系统不能控，为何值时不能观测。

x

1112x1px2

10x1u 2yq1 x1

x

2解 系统的能控性矩阵为

UbAbpp12

C1

p 其行列式为

detbAbp2p12

根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为2，亦即detb可知p4或p3。

系统能观测性矩阵为

Ucq

1OcAq112q



其行列式为

Ab0，

c

det12q2q1

cA

根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为2，亦即det知q

c

0，可cA

11

或q。 □ 34

4.5试证明如下系统

12010x1ax

x24160x2bu 3x12618x3c

不论a,b,c取何值都不能控。

证

系统的特征方程为

20

IA

解得特征值

100

0

412

16

6

18

12318

分别将其带入特征方程得

210

IA4

我们知道

200

1260

210

1

rank420

1260

A化为: 基础解的个数312，所以存在着两个线性无关的向量P1,P2，可将

AP1AP0

00

181 0

因为在约当块中有相同的根，由能控判据2可知无论a,b,c为何值，系统均不能控。□

4.7已知两个系统S1和S2的状态方程和输出方程分别为

S1：

100

1xxu1 1

341y121x1 22x2u2 xy2x2

S2：

若两个系统按如图P4.2所示的方法串联，设串联后的系统为S。

1) 求图示串联系统S的状态方程和输出方程。

2) 分析系统S1，S2和串联后系统S的可控性、可观测性。

图P4.2 串联系统结构图

解

1) 因为uu1，u2y1，yy2，因此

1101x110xx34 x1u 1212

x11y121 

x12

x

22x2y121 112x2 x

x12

y2x2

串联组合系统的状态方程为

11010x110xx12340x121u 212x2x20

输出方程为

x11



y001 x12

x2

2) 串联后系统的能控性矩阵

UCb

可见，



014



AbA2b1413

014



detUC0，rankUC23

因此，系统不能控。

串联后系统的能观性矩阵

c001

212

UOcA

2cA744

可见，detUO10，rankUO3因此，系统能观测。 □

4.10将下列状态方程化为能控标准形

x12134 x1

u 解 该状态方程的能控性矩阵为

UAb11

Cb

17



知它是非奇异的。求得逆矩阵有，

71U1

88C1 1

8

8

由P1001



bAbAn1b

1

得

1

P01U1

7

1C01 881

8

1188

同理，由P2P1A得

P1

32

4

4

从而得到P

11PP188P21

3 4431P1

1488

14

1 8

由此可得，

18

1131

A1

01CPAP

883 1264134 32

1110

44

3264



511

bCPb

8

83 1014

4

11

所以，

01105 01

u 此即为该状态方程的能控标准形。 4.11将下列状态方程和输出方程化为能观标准形。

x1111x21u

y11x

解 给定系统的能观性矩阵为

Uc11

OcA02



知它是非奇异的。求得逆矩阵有，

1U1

1O

21 

02

由此可得，

11T011

21 21



0212根据求变换矩阵T公式有，

1

TT1

AT02

11

21

T120

11



代入系统的状态表达式。分别得

□

1

02011202

AOT1AT  11111112

2

2024

bOT1b 11

11

1

02

cOcT11 01

112

所以该状态方程的能观标准型为

0241u

12

y01 □

4.15 系统的状态方程：

110x1ax

x200x2bu 3x00x3c

yd

试讨论下列问题：

1) 能否通过选择a,b,c使系统状态完全可控？ 2) 能否通过选择d,e,f使系统状态完全可观？ 解

1) 可控性矩阵

e

x1

 f x2x3

UCb



aab2a2b

AbA2bbb2b

cc2c



显然，第三行乘以

b

即为第二行，故第二行与第三行成比例，因而不论怎样选择a,b,c，c

系统状态均不完全可控。

2) 可观性矩阵

cd

dUOcA22cAd

第一列等于第三列乘以

4.19 已知控制系统如图P4.4所示。

f

def 2d2e2f

e

d

，故不论怎样选择d,e,f，系统均不完全可观。 □ f

图P4.4 系统结构图

1) 写出以x1，x2为状态变量的系统状态方程与输出方程。

2) 试判断系统的能控性和能观性。若不满足系统的能控性和能观性条件，问当K1与K2取何值时，系统能控或能观。

3) 求系统的极点。 解

1) 由图P4.4可知，sX1(s)X2(s)，sX2(s)U(s)，则有

1x2 x2u x

yK1x1K2x2

将状态方程和输出方程写成矩阵形式，有

101x20x

x00x1u 32yK1

2) 系统能控能观性判断。 能控性矩阵

K2x1x2

UCb

01

，rankUC2 Ab10

无论K1与K2取何值，系统均能控。

能观性矩阵

cK1

UO

cA0

3) 系统的特征方程为

K2

K1

此时无法判断系统的能观性。要使系统能观，UO应满秩，即detUOK120，K10。

s1

detsIAs20

0s

则，系统的极点为s1s20。 □

4.21系统传递函数为

Gs

1) 建立系统能控标准形实现。 2) 建立系统能观测标准形实现。 解

2s8

2s312s222s12

1) 将Gs分子分母同时除以2，可得Gs的首项为一的最小公分母为

ss3a1s2a2sa3s36s211s6

则，

PssGsb1s2b2sb3s4

由于Gs阵的qp，可采用能控性实现为

0A

0

alIp

Ip0al1Ip

0

Ip

a1Ip

100



0016116

plpl

0

0



B00

1Ipplp

Cbl

统的能控性实现。

bl1b1qpl410

1

验证由以上A，B，C构成的状态空间表达式，必有CsIABGs，从而此为该系

2) 将Gs分子分母同时除以2，可得Gs的首项为一的最小公分母为

ss3a1s2a2sa3s36s211s6

则，

PssGsb1s2b2sb3s4

由于Gs阵的pq，可采用能观性实现为

0Iq

A

0

0Iq

alIq

006

al1Iq 1011

016a1Iqqlql

bl

4b



Bl11

0b1qlp

C00Iq



qql

001

1

验证由以上A，B，C构成的状态空间表达式，必有CsIABGs，从而此为该系统的能观性实现。 □

4.22已知传递矩阵为

2s3Gs

s1s2试求该系统的最小实现。

解 Gs的最小公分母是

4s4

s5

hss1s2s5

则有，

Gs



2s3s54s1s20

s1s2s54

2s

2

16s304s12s8

0432

s8s17s10

2



为方便计算，先求其转置的实现：

GTs

2s3s54s1s20

s1s2s54

2s216s301

30422

s8s17s104s12s8

利用传递函数直接分解法可得

1000

0u 001

101781

203016yu 

81244

在对其进行转置，得出系统实现为

01103081017x1612u x01824

y001x04u

即为该系统的最小实现。 □

第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析习题与解答

5.1 判断下列函数的正定性

1) V(x)2x123x22x322x1x22x1x3 2) V(x)8x122x22x328x1x22x1x32x2x3 3) V(x)x12x322x1x2x2x3 解

211

TT 1) V(x)xAxx130x, 因为顺序主子式

101

20,

21121

50, 13020

13

101

所以A0，V(x)为正定函数。

841

TT 2) V(x)xAxx421x, 因为主子式

111

8,2,10,

84

0,

4281

70,1121

10,

11

8

4

421

1

1164421680 1

1

所以A不定，V(x)为不定函数。

110

TT3) V(x)xAxx10x, 因为顺序主子式



10

10,

11

10, 1

10

1100

01

1

10 4

所以A为不定矩阵，V(x)为不定函数。

5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。

x1x1x2x1(x12x22)x2x1x2x2(xx2)

解

21

2

x1x2x1(x12x22)0

解方程组 只有一个实孤立平衡点（0，0）。 22

x1x2x2(x1x2)0

在（0，0）处将系统近似线性化，得x*

11*

x，由于原系统为定常系统，且矩阵

11

11

11的特征根s1i均具有负实部，于是根定理5.3可知系统在原点（0，0）附近

一致渐近稳定。

5.3 试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。

11

xx

23

解 由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统，所以利用李雅普诺夫第

11

一方法比较合适。经计算知矩阵的特征根为20。由于第一方法关于线

23

性系统稳定性的结果是的全局性的，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。

5.4 设线性离散时间系统为

100

x(k) m>0

x(k1)001

0m20

试求在平衡状态系统渐近稳定的m值范围。

解 方法1

令QI,建立离散系统李雅普诺夫方程GTPGPQ，得

000p11 10p12



p01013

p12

p22p23

p13010p11

p23001p12



p3300p13



p12

p22p23

p13100

010

p23

p33001



00

0Pmp13(pmp33)m

1113

222mp0p12232

比较系数，解此矩阵方程得



0

p11

mp23Pp1212

2p13p22

0

0

12

2

4m

p12p22p23

p13100

010

p23

p33001



012

8m

P0

4m200

若要P0，应有

128m2

0 0； 22

4m4m

解上述不等式组，知0m2时，原系统在原点是大范围渐近稳定。

方法2 由

s

sIA0

知系统特征根分别为s1

0；s2

原点是大范围渐近稳定。

5.5 试用李雅普诺夫方法求系统

1s

01= ss2s

0m2

m

2

s3

0m2时，原系统在a11a12xx 

a21a22

在平衡状态x0为大范围渐近稳定的条件。

解 由于对于线性系统，李雅普诺夫第一方法中结论是全局性的，是充分必要的。这里利用第一方法求解比较简单。首先求出系统矩阵的特征方程

sIA

sa11a21a12

s2(a11a22)sa11a22a12a210

sa22

由一元二次方程根与系数的关系可知两个特征值同时具有负实部的充要条件为

a11a220，a11a22a12a21。

5.9下面的非线性微分方程式称为关于两种生物个体群的沃尔特纳(Volterra)方程式

dx1

ax1x1x2dt

dx2

x2x1x2dt

式中，x1、x2分别是生物个体数，、、、是不为零的实数。关于这个系统，(1) 试求平衡点；(2) 在平衡点的附近线性化，试讨论平衡点的稳定性。 解

(1) 由

dxdx1

0，20，得 dtdt

x1x1x2x1(x2)0



x2x1x2x2(x1)0

同时满足这二式的x1、x2有两组：x10、x20和x1/、x2/。即，系统的平衡点为：

平衡点(a) x10、x20

平衡点(b) x1/、x2/ (2) 分两种情况讨论平衡点的稳定性。 ① 在平衡点(a)线性化的微分方程为

**x10x1**

0xx22

其特征方程式是

(s)(s)0

0、0时，平衡点(a)稳定，除此以外不稳定。

② 在平衡点(b)，令x1/x1，x2/x2，得

*

x1(x2





x x

2*

x2(x1x/)x2(x2x/)x1x1

12



2



)x1(x1x/)x2/

1

因此，在平衡点(b)线性化的微分方程式是

*

x10*

x2/

*

/x1

* 0x2

其特征方程式为

s20



0时，特征根是，为正、负实数，平衡点(b)不稳定。0时，特征根是

j，为共轭纯虚数，平衡点(b)的稳定性在这样的线性化范围内不能决定。

5.11 利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：

11xx 

23

解 令矩阵

p11P

p12

则由APPAI得

T

p12

p22

p1211102301 p22

12p11

13p12

解上述矩阵方程，有

p12p11

p22p12

p112p4p11112



p114p122p220 p22 2p6p1

2212

p12

即得

pP11

p12

因为

p12p22 

p117

P0 det11

4p12

轨迹的导数分别为

p12det

p22



170 64

可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。系统的李雅普诺夫函数及其沿

1

V(x)xTPx(14x1210x1x23x22)0

8 V(x)xTQxxTx(x12x22)0

又因为V(x)，所以系统在原点处大范围渐近稳定。

x

5.12 给定连续时间的定常系统

x1x2

x2x1(1x2)x2

解

2

试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性。

易知(0, 0)为其唯一的平衡状态。现取V(x)x1x2，则有：

2

2

2

(i) V(x)x12x20

V(x)(ii) V(x)

x1V(x)x1

xx22

x2

2x12x22

x1(1x2)x22

2x2(1x2)2

容易看出，除了两种情况：

（a）x1任意，x20 （b）x1任意，x21

时V(x)0以外，均有V(x)0。所以，V(x)为负半定。

（iii）检查V((t;x0,0))是否恒等于零。

考察情况（a）：状态轨线 (t;x0,0)x1(t),0，则由于x2(t)0，可导出x2(t)0，将此代入系统的方程可得：

T

x1(t)x2(t)0

0x2(t)(1x2(t))x2(t)x1(t)x1(t)

2

T

这表明，除了点（x10, x20）外，(t;x0,0)x1(t),0不是系统的受扰运动解。 考察情况（b）： (t;x0,0)x1(t),1，则由x2(t)1可导出x2(t)0，将此代入系统的方程可得：

T

x1(t)x2(t)1

0x2(t)(1x2(t))2x2(t)x1(t)

x1(t)

T

显然这是一个矛盾的结果，表明(t;x0,0)x1(t),1也不是系统的受扰运动解。综上分析可知， V((t;x0,0))0。

（iv）当x

5.13 试用克拉索夫斯基定理判断下列系统是否是大范围渐近稳定的。

时，显然有V(x)x。

2

于是，可以断言，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。

x13x1x2x2x1x2x

3

2

解 显然x0是系统的一个平衡点。

13

F(x)2

113x

2ˆ(x)FT(x)F(x)6F226x2

2

由60和

62

226x

22

2

根据克拉索夫斯基可知系统1236x240知F(x)0。

在原点渐近稳定。又因为

32

fT(x)f(x)3x1x2)2(x1x2x2)] xx所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的，同时可说明原系统只有惟一一个平衡点x0。

5.15 试用克拉索夫斯基定理确定使下列系统

x1ax1x2x2x1x2bx2

的原点为大范围渐近稳定的参数a和b的取值范围。 解 构造雅克比矩阵 F(x)

5

1a

，令 4

115bx2

22aTˆ F(x)F(x)F(x)4

2210bx2

若要求系统在原点渐近稳定，则当x0，应有F(x)0， 又x0时， F(x)0的充要条件为2a0, 4a20abx40。于是a应满足a1。又因为系统大范围渐近稳定，所以当x时，应有F(x)0。注意 x， a1时， F(x)0的充要条件为b0；xa1时，F(x)0的充要条件为b0。综上，a,b的取值范围为：a1,b0，或a1,b0。

4

第6章 “状态反馈和状态观测器”习题与解答

6.1 判断下列系统能否用状态反馈任意地配置特征值。 121

x 1) x0u 31

10010

2) x021x01u

00200

解 1) ucb配置特征值。 2) ucb

11

Ab，秩uc2，系统完全能控，所以可以用状态反馈任意

03

101010

010204，

A2b系统不完全能控，秩uc2，

000000

Ab

所以不能通过状态反馈任意配置特征值。

6.2 已知系统为

x1x2x2x3

x3x1x2x33u

试确定线性状态反馈控制律，使闭环极点都是3，并画出闭环系统的结构图。 解 根据题意，理想特征多项式为

*(s)(s33)s39s22s7 27

0100

x+0u

x=001

1113

令uk1k2k3x，并带入原系统的状态方程，可得

1013k2



1x 13k30

0

x0

13k1

其特征多项式为(s)s3(13k3)s2(13k2)s(13k1)，通过比较系数得 13k39, 13k227, 13k327, 即，k1

2626826，k2，k1，u3333

26

3

8x。 3

闭环系统的结构图：

6.3 给定系统的传递函数为

G(s)

1

s(s4)(s8)

试确定线性状态反馈律，使闭环极点为2， 4， 7。 解 根据题意，理想特征多项式为

*(s)(s2)s(4s)7(

g(s)

3

)s

2

s13由传递函数s5056

11

3

s(s4)(s8)s12s232s

可写出原系统的能控标准形

010

x=0010x+0u

032121令uk1k2k3x，并带入原系统的状态方程，可得

010

x0

1k1

32k2

12kx 3

其特征多项式为

(s)s3(12k3)s2(32k2)s3k1

通过比较系数得

k156, 32k250, 12k313,

即 k156,k218,k31。

6.4 给定单输入线性定常系统为：

000x1601x0u

0112

0

试求出状态反馈ukx使得闭环系统的特征值为***

12, 21j, 31j解 易知系统为完全能控，故满足可配置条件。系统的特征多项式为

s

00det(sIA)det1s60s218s272s

01s12



进而计算理想特征多项式

*

3

(s)(s*i)(s2)(s1j)(s1j)s34s26s4

i1

于是，可求得

*00,*11,*

224,66,14

再来计算变换阵

11PbAbA2b2

21010072181

016181010

0001100

72181

121000

1

并求出其逆

。