矩阵的相似,等价,合同
矩阵的相 似，等价，合同本文首先讨论了矩阵这三种关 系各自的本质意义；然后分 析这三种关系之间的区别和 联系。 矩阵相似，等价，合同的本 质意义及充要条件 设 是两个矩阵，那么： 1.矩阵等价 与等价 矩阵能够经过初等 变换变成矩阵； 是同型矩阵且秩相等； 存在可逆矩阵，使得 注意，等价与初等变换有 关。秩是矩阵等价关系的不 变量，两个同型矩阵等价的 本质是秩相等。 2.矩阵合同 (1)与合同 矩阵能够经过合 同变换变成矩阵 存在可逆矩阵,使得； 注意，秩相等是矩阵合同的 必要条件，两个同级对称矩 阵合同的本质是秩相等且正 惯性指数也相等。 (2)矩阵合同，则它们的秩相 等，正惯性指数相等，反之 则不一定成立。 (3)合同与二次型有关，同一 数域上的二次型与对称矩阵 之间一一对应，因此矩阵合 同一般针对的是对称矩阵。 二次型的标准形和有定性 （相应对称矩阵的合同对角 阵和有定性）与矩阵合同有 密切关系。从有定性角度 看，矩阵合同则有定性不 变。 3.矩阵相似 (1)与相似 矩阵能够经过相 似变换变成矩阵 是同级方阵且它们有相同 的不变因子[1]； 存在可逆矩阵，使得 注意：秩相等是矩阵相似的 必要条件，两个同级方阵相 似的本质是它们有相同的不 变因子。 (2)矩阵相似，则它们的秩相 等，迹相等，行列式相等， 特征值相等，当然特征多项 式也相等；它们还有相同的 可逆性，可逆时，它们的逆 矩阵也相似。 (3)特别需要注意，两个同级 方阵如果它们可以对角化 （例如实对称矩阵），则它 们相似就等价于它们有完全 相同的特征值（或特征多项 式相等）；否则，同级方阵 的特征值完全相同是它们相 似的必要而非充分条件。 例：,,尽管有相同的特征值 （相同的特征多项式），但 由于的线性无关的特征向量 只有一个，所以不与对角形 矩阵相似。 (4)学习相似的主要目的是研 究矩阵的相似对角化问题。 特征值和特征向量与矩阵的 相似对角化密切相关，可对 角化矩阵相似的本质是有相 同的特征值。级方阵可对角 化的充要条件是有 个线性无 关的特征向量。 矩阵等价，合同与相似之间 的联系和差别 (1)等价关系最弱。合同与相 似是特殊的等价关系，若两 个矩阵相似或合同，则这两 个矩阵一定等价，反之不成 立。相似与合同不能互相推 导，但是如果两个实对称矩 阵是相似的，那肯定是合同 的。 (2)等价，合同与相似都具 有：反身性，对称性，传递 性，因此都是等价关系。 (3)秩是矩阵等价的不变量； 不变因子是相似的不变量； 特征值是可对角化矩阵相似 的不变量；正负惯性指数是 对称矩阵合同的不变量。 (4)对于实对称矩阵，特征值 是相似的不变量，秩和正惯 性指数（秩等于非零特征值 的数目，正惯性指数等于正 特征值的数目）是合同的不 变量，因此实对称矩阵相似 则一定合同。注意，一般情 况下，相似不一定合同，合 同也不一定相似，两者不能 互推。下面是实对称阵相似 则合同的另外一种证明。 证：设都是级实对称矩阵， 若相似，则易知有相同的特 征值，不妨设为：。由于都 是实对称矩阵，因此分别存 在正交阵使得：（） = ，即 与同一个对角矩阵既相似又 合同，由相似与合同的传递 性可知与合同。综上实对称 矩阵相似则一定合同。 (5)相似不一定都与对角阵相 似，因此不能与对角矩阵相 似时，并不意味着不能与某 一矩阵相似[2]。 (6)等价是经过有限次初等变 换 可变为 ；相似矩阵可看作 同一线性变化在不同基下的 矩阵；合同可通过二次型的 非退化线性替换来理解。