2013年马鞍山三模数学(文)

马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测

文科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作．．．．图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号．．．所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑.

（1）已知集合UZ,S{1,2,3,4,5},T{1,3,5,7,9}，则图中阴影部分表示的集合是（ ▲ ）

A. {1,3,5} B. {1,2,3,4,5} C. {7,9} D. {2,4}

（2）若i为虚数单位，图中复平面内的点Z表示复数z，z为复数z的共轭复数， 则表示复数

A. 点E C. 点G

2z

的点是（ ▲ ） 1i

B. 点F D. 点H

（3）在等比数列an中，若a2a34,a4a516,则a8a9（ ▲ ）

A. 128 B. －128 C. 256 D. －256

（4）“m1”是“直线mx(2m1)y10和直线3xmy30垂直”的（ ▲ ）

第2题图

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

（5）两圆C1:x2y210和C2:x2y24x50的位置关系是（ ▲ ）

A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离

（6）对于实数集R上的可导函数f(x)，若满足(x23x2)f(x)0，则在区间[1,2]上必有（ ▲ ）

A. f(1)f(x)f(2) B. f(x)f(1) C. f(x)f(2) D. f(x)f(1)或f(x)f(2)

xy0



（7）若实数x,y满足条件xy10，则x3y的最大值为（ ▲ ）

0x1

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 （8）函数f(x)Asin(x)(其中A0,0,||

图所示，将f(x)的图象向右平移



2

)的部分图象如

应的函数解析式为（ ▲ ）

A.f(x)sin2x B.f(x)sin2x

2

C.f(x)sin(2x) D.f(x)sin(2x)

33第8题图

x2y2

（9）过双曲线221(a0,b0)左焦点F1，倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P，若线段PF1的

ab

中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（ ▲ ）



个长度单位，所得图象对3

A.



（10）如图，在ABC中，ADAB，BC，AD1，则ADAC等于（ ▲ ）

A. B. D. B. C. 3 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）B

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．

（11）函数f(x) ▲ ．

D

第10题图

C

（12）ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若c2asinC，bc4，则ABC的面积是 ▲ ．

（13）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底

长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是 ▲ ． 正（主）视图 侧（左）视图 （14

1x（）1,(x0)

（15）已知函数f(x)2，对于下列命题：

x22x,(x0)

①函数f(x)的最小值是0；

②函数f(x)在R上是单调递减函数； ③若f(x)1,则x1；

④若函数yf(x)a有三个零点，则a的取值范围是0a1； ⑤函数yf(x)关于直线x1对称．

其中正确命题的序号是___．（填上你认为所有正确命题的序号）．

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本题满分12分）



已知函数f(x)cos(2x2sin2x，xR．

3

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程；



（Ⅱ）当x[0]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x值．

2

（17）（本题满分12分）

2013年1月份,我国北方部分城市出现雾霾天气，形成雾霾天气主要原因与PM2.5有关. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. PM2.5日均值越小，空气质量越好. 2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表：

第17题图

某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在过去某月的30天中分别随机抽取了甲、乙两市6天的PM2.5日均值作为样本，样本数据茎叶图如上右图所示（十位为茎，个位为叶）. （Ⅰ）分别求出甲、乙两市PM2.5日均值的样本平均数，并由此判断哪个市的空气质量较好； （Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量超标的概率.

（18）（本题满分12分）

已知函数f(x)5lnxax26x（a为常数），且f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴． （Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间．

（19）（本题满分13分）

如图，已知四边形ABCD为梯形，AB ∥CD，ADC60° ，四边形ABEF为矩形，且平面ABEF平面ABCD，ADDCAF

1

AB2，点G为AE的中点． 2

第19题图

（Ⅰ）求证：CG ∥平面ADF； （Ⅱ）求证：平面ACF平面BCE； （Ⅲ）求三棱锥FACG的体积．

（20）（本题满分13分）

已知等差数列{an}和公比为q(q1)的等比数列{bn}满足：a1b11，a2b2，a5b3． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{anbn}的前n项和为Sn，且对任意nN*均有an1bn12(Sn1)n2n成立，试求实数的取值范围．

（21）（本题满分13分）

1x2y2

已知椭圆C:221(ab0),F(1,0)为其右焦点，离心率为.

2ab

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

1

xm(Ⅱ)若点E(0)，问是否存在直线l:yk，使l与椭圆C交于M,N两点，且

2

(EMEN)(EMEN)0．若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案详解

一、选择题：（1）【答案】D

【命题意图】本题考查集合运算，venn图．简单题．

（2）【答案】D.z12i,

2z2(12i)(1i)

13i． 1i2

【命题意图】本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算．简单题．

（3）【命题意图】本题考查等比数列的基本运算．简单题． （4）【答案】A.

【命题意图】本题考查直线的方程、充要条件等基础知识．简单题. （5）【答案】C.

【命题意图】本题考查平面内两圆的位置关系．简单题． （6）【答案】Ａ

【命题意图】本题考查导数的应用，函数的单调性．中等题． （7）【答案】B.

【命题意图】本题考查线性规划，考查数形结合能力．中等题． （8）【答案】C

【命题意图】本题考查三角函数的图象、性质、图象变换．中等题． （9）【答案】D.

【命题意图】本题考查双曲线及其几何性质，考查运算求解能力．较难题．



（10）【答案】B. ADACAD(ABBC)ADABADBCADBC

AD||BD|cosADBAD|2

【命题意图】本题考查平面向量的性质、运算的几何意义．较难题．

二、填空题（11【命题意图】本题函数的概念、不等式的解法．简单题．

（12）【答案】1.

【命题意图】本题考查正弦定理、三角形面积公式．简单题．

（13）【答案】17.

【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、表面积的计算，考查空间想象能力．简单题． （14）【答案】12

【命题意图】本题考查程序框图、阅读理解能力．中等题． （15）【答案】③④

【命题意图】本题考查分段函数的性质，考查理解能力和数形结合能力．较难题． 三、解答题：

（16）【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．

11

2x1cos2x2xcos2x1 解：(Ⅰ) f(x)cos(2x)2sin2xcos2x3

2

2

sin(2x)1.

6



所以f(x)的最小正周期为T

2k. 由2xk，得对称轴方程为x,kZ.„„„6分 26223



（Ⅱ）当x[0]时， 2x，所以当2x，即x时，f(x)max2；当2x，

266662366

即x0时，f(x)min

1

．„„„„„„„„„„12分 2

（17）【命题意图】本题考查统计、古典概型等基础知识，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力. 简单题．

解：（Ⅰ）甲市抽取的样本数据分别是34,42,67,71,79,85；乙市抽取的样本数据为31,48,45,65,73,86.

x甲

344267717985314845657386

63，x乙58．

66

因为x甲x乙，所以乙市的空气质量较好. „„„„„„„„6分

（Ⅱ）由茎叶图知，甲市6天中有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标，记未超标的4天数据为a,b,c,d，超标的两天数据为m,n，则6天中抽取两天的所有情况为：

ab,ac,ad,am,an,bc,bd,bm,bn,cd,cm,cn,dm,dn,mn，基本事件总数为15.

记“恰有一天空气质量超标”为事件A，则事件A包含的基本事件为：am,bm,cm,dm,an,bn,cn,dn， 事件数为8. 所以P(A)

88

. 即恰有一天空气质量超标的概率为.„„„„„„„„12分 1515

（18）【命题意图】本题考查导数的几何意义、导数的应用、解不等式等基础知识．中等题．

5

解：（Ⅰ）∵f(x)5lnxax26x，∴f(x)2ax6(x0)；又∵f(x)在点(1,f(1))处的切线平行

x

于x轴，∴f(1)52a60，得a

1

． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 2

12x26x5(x1)(x5)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)5lnxx6x，∴f(x)(x0)；„„„8分

2xx

由f(x)0得x1，或x5；由f(x)0，1x5．„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0，1) 和 (5，+ ∞ )，单调递减区间为 (1 , 5 )．„„„„12分 （19）【命题意图】本题考查线面位置关系的证明、多面体体积的计算，考查空间想象能力．中等题．

解：（Ⅰ）取AF中点H，连DH,GH．∵G为对角线AE的1

中点，∴GH ∥EF，且GHEF，∴四边形CDHG为平行四边

2

形，即CG∥DH．又∵CG平面ADF，DH平面ADF，∴CG∥平面ADF．„„„„„„„„„„„„„4分

（Ⅱ）∵四边形ABEF为矩形，且平面ABEF平面ABCD，∴FA平面ABCD，∴FABC；∵四边形ABCD为梯形，AB ∥CD，且ADC60°，∴DAB=120°．又在ADC中，ADC60°，且ADDC2，∴AC=2，DAC=60°，∴CAB=60°．于是在ABC中，由AC=2，AB4，CAB=60°

及余弦定理，得BCAC2BC2AB2，∴ACBC．∴BC平面ACF，又∵BC平面BCE，∴平面ACF平面BCE．„„„„„„„„9分

（Ⅲ）作CMAB，垂足为M，由平面ABEF平面ABCD得CM平面ABEF．

易求得CM

所以三棱锥F

ACG的体积VFACGVCAFGSAFGCMSABEFCM

13113418．„„13分 12（20）【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识和基本方法，考查运算求解能力、推理论证能力．中等题．

解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，根据题意，得

1dq

2

14dq

，解得d0,q1（舍去），或d2,q3，

所以数列{an}，{bn}的通项公式分别为：an2n1，bn3n1．„„„„„„„„„„„„5分

(Ⅱ)Sna1b1a2b2a3b3anbn1133532733(2n1)3n1 ① 所以3Sn13332533(2n3)3n1(2n1)3n ②

3(13n1)

①－②，得2Sn12(3333)(2n1)312(2n1)3n(22n)3n2，

13

2

3

n1

n

1∴ Sn(n1)n3；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分

n2n

所以(2n1)3(2n2)3nn，化简并整理，得3n1．„„„„„„„„„„„10分

n

n

2

n2n(n1)2(n1)n2n(n23n2)(3n23n)22n2

令cnn1，则cn1cnn1n2．

33n233n23

22

，故．„„„„13分 99

（21）【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力．较难题．

∵nN*，∴22n20，∴对nN*，cn1cn，∴(cn)maxc1

解：（Ⅰ）由题意知：c1，∵离心率e

c1

，∴a2，b2a2c23，故所求椭圆C的标准a2

x2y2

方程为1． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

43

（Ⅱ）假设存在这样的直线l:ykxm满足题意，设M(x1,y1),N(x2,y2)，MN的中点为G(x0,y0)． 

因为(EMEN)(EMEN)0，所以EMEN，所以MNEG．„„„„„„„„„„5分

ykxm

由x2y2，得(34k2)x28kmx4m2120．根据题意，64k2m24(34k2)(4m212)0，

1

43

x1x28km4km3m

，所以，．„„„8分 xykxm000222

234k34k34k

1

∵MNEG，∴MNEG0，即(x2x1)x0(y2y1)(y0)0，

2

yy114km3m1

∴x021(y0)x0k(y0)0，∴k()0．

x2x12234k234k22

得4k23m2．且x1x2

1

解得k0，或m(34k2)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

2

1

当k0时，l:y

m（mm(34k2)时，代入4k23m2，

2111

得34k2(34k2)2，解得k．

422

11

综上所述，存在这样的直线l，其斜率k的取值范围是(,)．„„„„„„„„„„13分

22