椭圆基础知识点
椭圆基础知识
2aF1F2
一.椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数
的点的轨迹叫做椭
圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c};
这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 (
2aF1F2
时为线段F1F2,
2aF1F2
无轨迹)。
(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。(不一定是标准形式) 条件:点必须在直线外,比值必须小于1
x2y2
1
2.标准方程一般形式表示:mn 或者 mx2+ny2=1
方程Ax2By2C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件
方程Ax2By2C可化为AxBy1,即x2By2,所以只有A、B、C同号,且
1CC
CA
CB
2
2
AB时,方程表示椭圆。当CC时,椭圆的焦点在x轴上;当C
A
B
A
C时,椭圆的焦点在B
y轴
上。 3.离心率:
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作e
2
cc2aa
②因为(ac0),所以e的取值范围是(0e1)。e越接近1,则c就越接近a,
从而be越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于
a,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当ab时,c0,这时两个焦点重合,图形变为圆,
方程为xya。
2
2
x2y2
注意: 椭圆221的图像中线段的几何特征(如下图):
ab
(1)(PF1 (2)(BF1 (3)A1F1
PF2BF2
2a);
PF1PM1
PF2PM2
e;(PM1PM2
2a2
);
c
a);(OF1OF2
c);A1BA2Ba2b2;
A2F2ac;A1F2A2F1ac;acPF1ac;
5.椭圆的的内外部
2222xyxyP(x,y)P(x,y)000000在椭圆的内部.00在椭圆的外部211. (1)点(2)点2aba2b2
6.几何性质 :(1) 最大角
F1PF2maxF1B2F2,(2)最大距离,最小距离
y1y7.
弦长公式:p1p2x1x8.焦点三角形:
定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等. 性质一:设焦点三角形PF1F2中F1PF2,则
SF1PF2
1b2
PF1PF2sinb2tan 21cos2
性质二:若F1PF2最大,则点P为椭圆短轴的端点。
b2
性质三:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为2
a
性质四: cos12e.
性质五: PF1F2,PF2F1,则椭圆的离心率e9.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
2
sin()
。
sinsin
x2y2
共焦点,则c相同。与椭圆221(ab0)共焦点的椭圆方程可设为
abx2y2
21(mb2), 2
ambm