反函数例题4
[例1]若函数f (x ) 与g (x)的图象关于直线y =x 对称,且f (x )=(x -1) (x ≤1) ,求g (x ). 选题意图:本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系.
解:f (x ) 与g (x ) 在定义域内互为反函数,
f (x )=(x -1) 2(x ≤1) 的反函数是 2
y =1-x (x ≥0) ,
∴g (x )=1-x (x ≥0).
说明:互为反函数的图象关于y =x 对称,反之亦然,也是判断两个函数互为反函数的方法之一,本是f (x ) 与g (x ) 互为反函数,要求g (x ), 只须求f (x ) 在限定区间上的反函数即可.
[例2]若点P (1,2) 在函数y=ax +b 的图象上,又在它的反函数的图象上,求a , b 的值.
选题意图:本题考查反函数的概念,反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用.
解:由题意知P (1,2) 在其反函数的图象上,
根据互为反函数的函数图象关于y =x 对称的性质,
P′(2,1) 也在函数y =+b 的图象上, ⎧⎪2=a +b 因此:⎨解得:a =-3,b =7. ⎪⎩1=2a +b
说明:引导学生树立创造性思考问题的方式、方法,利用互为反函
数的图象的对称关系. (1,2)在反函数图象上,则(2,1) 也在原函
数图象上是解决该问题的关键所在,即f (2)=1,这是得到a , b 的另一个
关系式的条件,这样两个条件两个未知数,就可解出a , b 的值.
[例3]已知函数f (x )=(1+x 2-1) -2(x ≥-2) ,求方程f (x )=f (x ) 的2
解集.
选题意图:本题考查互为反函数的函数的图象关于y =x 对称的关系,
灵活运用这一关系解决问题的能力.
分析:若先求出f (x )=2x +2-2(x ≥-2), 再解方程(1+-1
-1图2—8 x 2) -2=2x +2-2,整理得四2次方程,求解有困难,但我们可以利用y =f (x ) 与y =f (x ) 的图象的关系求解. 先画出
y =f (x )=(1+x 2-1) -2的图象,如图,因为y =f (x ) 的图象和y =f (x ) 的图象关于直线y =x 对称,2
-1可立即画出y =f (x ) 的图象,由图象可见两图象恰有两个交点,且交点在y =x 上,因此,由x 2⎧⎪y =(1+) -2方程组⎨联立即可解得. 2⎪⎩y =x
解:由函数f (x )=(1+x 2) -2(x ≥-2) 画出图象,如图,由于函数f (x ) 的反函数的图象与2
函数f (x ) 的图象关于y =x 对称,故可以画出其反函数图象(如图)
,由图可知两图象恰有两
x 2⎧y =(1+) -2⎪-1个交点且交点都在y =x 上. 因此,方程组⎨的解即为f (x )=f (x ) 的解,于是2⎪⎩y =x
解方程组得x =-2或x =2,从而方程f (x )=f (x ) 的解集为{-2,2}.
说明:解决本题的关键是,根据互为反函数的图象关于y =x 对称,若两个函数有交点,则交点必在直线y =x 上,由此,将要解的两个较复杂的方程组转化为直线y =x 与其中-1y =(1+
x 2) -2一个方程组的解的问题. 2