反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结
知识点1 反比例函数的定义
☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:
一般地,形如y =
k
(k 为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数。可以从以下几个x
方面来理解:
⑴x 是自变量,y 是x 的反比例函数; ⑵自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数,函数值的取值范围是y ≠0; ⑶比例系数k ≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;
⑷反比例函数有三种表达式: ①y =
k
(k ≠0); ②y =kx -1(k ≠0); ③x ⋅y =k (定值)(k ≠0); x
k k
(k ≠0)与x =(k ≠0)是等价的,所以当y 是x 的反比例函数x y
⑸函数y =
时,x 也是y 的反比例函数。
k
(k 为常数,k ≠0)是反比例函数的一部分,当k=0时,y =,就不是反比例函
x
k
数了,由于反比例函数y =(k ≠0)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,
x
就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数y =
k
(k ≠0)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,x
当k >0时,y 随x 的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k 的符号决定的,反过来,由反比例函数图像(双曲线)的位置和函数的增减性,也可以推断出k 的符号。
就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量x ≠0,函数值y ≠0,所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤:⑴确定自变量的取值范围,列表;⑵描点;⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点: ①列表时选取的数值宜对称选取;
②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;
③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线;
④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质
k
在第一、第三象限,则可知k >0。 x
k
☆反比例函数y =(k ≠0)中比例系数k 的绝对值k 的几何
x
如y =
意义。如图所示,过双曲线上任一点P (x ,y )分别作x 轴、y 轴的垂线,E 、F 分别为垂足,则k =xy =x ⋅y =PF ⋅PE =S 矩形O EPF ☆ 反比例函数y =
双曲线y =
k k
(k ≠0)中,k 越大,双曲线y =越远离坐标原点;k 越小,x x
k
越靠近坐标原点。 x
☆ 双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点;双曲线又是轴对称图形,对称轴是直
线y=x和直线y=-x 。
反比例函数知识点的应用
共4页,第1页
一、例题
【例1】如果函数y =kx 2k 是多少?
2
+k -2
的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么k 的值
⎧1⎧m =2 3n -m 1⎪m +n =2⎛⎫解: 直线y =mx +n 与双曲线y =x 相交于 ,2⎪,∴⎨2解得⎨
x ⎝2⎭⎪3n -m =1⎩n =1⎩
k
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数y =,(k ≠0)即y =kx -1(k ≠0)
x
又在第二,四象限内,则k
解:由反比例函数的定义,得:
1⎧⎧2k 2+k -2=-1⎪k =-1或k =
⎨ 解得⎨2
k
∴k =-1
21
∴k =-1时函数y =kx 2k +k -2为y =-
x
1
【例2】在反比例函数y =-的图像上有三点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 。
x
若x 1>x 2>0>x 3则下列各式正确的是( )
A.y 3>y 1>y 2 B.y 3>y 2>y 1 C.y 1>y 2>y 3 D.y 1>y 3>y 2 【解析】可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法。 解法一:由题意得y 1=-
y =2x +1⎧1⎪
1∴直线为y =2x +1, 双曲线为y =解方程组⎨y =x ⎪x ⎩
1⎧x 1=-1⎧⎪x 2=
得⎨,⎨2
y =-1⎩1⎪⎩y 2=2
(-1, ∴另一个点为-1)
【例4】 如图,在Rt ∆AOB 中,点A 是直线y =x +m 与双曲线y =的交点,且S ∆AO B =2,则m 的值是_____.
m
在第一象限 x
111,y 2=-,y 3=- x 1x 2x 3
m 1
过点A , m =2. x 2
m
所以m =4,双曲线y =图像在第一象限,
x
所以m =4
解:因为双曲线y =二、练习题 1. 反比例函数y =-
x 1>x 2>0>x 3,∴y 3>y 1>y 2所以选A 解法二:用图像法,在直角坐标系中作出y =-
2
的图像位于( ) x
A .第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 2. 若y 与x 成反比例,x 与z 成正比例,则y 是z 的( )
A 、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D 、不能确定
3. 如果矩形的面积为6cm 2,那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为( )
1
的图像 x
描出三个点,满足x 1>x 2>0>x 3观察图像直接得到y 3>y 1>y 2选A 解法三:用特殊值法
1
x 1>x 2>0>x 3, ∴令x 1=2, x 2=1, x 3=-1∴y 1=-, y 2=-1, y 3=1, ∴y 3>y 1>y 2 2
3n -m
相交于点 【例3】如果一次函数y =mx +n (m ≠0)与反比例函数y =x
1
2)(,,那么该直线与双曲线的另一个交点为( ) 2共4页,第2页
A B C D
4.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气 球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m) 的反比例 函数,其图象如图所示.当气球内气压大于120 kPa时, 气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应( )
3
53544m B、小于m 3 C、不小于m 3 D、小于m 3 4455
1
5.如图 ,A 、C 是函数y =的图象上的任意两点,过A x
作x 轴的垂线,垂足为B ,过C 作y 轴的垂线,垂足为D ,记Rt
A 、不小于
ΔAOB 的面积为S 1,Rt ΔCOD 的面积为S 2则 ( ) A . S 1 >S 2 B. S1
C . S1=S2 D. S1与S 2的大小关系不能确定 6.关于x 的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=求:(1)一次函数和反比例函数的解析式; (2)两函数图象的另一个交点B 的坐标; (3)△AOB的面积.
n +1
的图象都经过点A (-2,1). x
(1)蓄水池的容积是多少?
(2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到Q (m 3),那么将满池水排空所需的时间t (h )将如何变化?
(3)写出t 与Q 的关系式.
(4)如果准备在5小时内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少?
3
(5)已知排水管的最大排水量为每小时12m ,那么最少需多长时间可将满池水全部排空?
9.某商场出售一批名牌衬衣,衬衣进价为60元,在营销中发现,该衬衣的日销售量y (件)是日销售价x 元的反比例函数,且当售价定为100元/件时,每日可售出30件. (1)请写出y 关于x 的函数关系式;
(2)该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元,则其售价应为多少元?
7. 如图所示,一次函数y =ax +b 的图象与反比例函数y =A 、B 两点,
k x
10.如图,在直角坐标系xOy 中,一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =
m 的x
图象交于A(-2,1) 、B(1,n) 两点。 与x 轴交于点C .已知点A 的坐标为(-2,1),点B 求上述反比例函数和一次函数的表达式;
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
求△AOB 的面积。 (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数
的值的x 的取值范围.
8. 某蓄水池的排水管每小时排水8m 3,6
三、课后作业
1.对与反比例函数y =
2
,下列说法不正确的是( ) x
8.已知y 与x-1成反比例,并且x =-2时y =7,求: (1)求y 和x 之间的函数关系式; (2)当x=8时,求y 的值; (3)y=-2时,x 的值。
9. 已知b =3, 且反比例函数y =如果点(a , 3)在双曲线上y =
A.点(-2, -1)在它的图像上 B.它的图像在第一、三象限 C.当x >0时,y 随x 的增大而增大 D.当x
k
,则这个函数的图象一定经过(k ≠0)的图象经过点(1,-2)
x
( ) A、(2,1) B、(2,-1) C、(2,4) D、(-1,-2) 3.在同一直角坐标平面内,如果直线y =k 1x 与双曲线y =的关系一定是( ) A. k 1+k 2=0
B. k 1·k 2
C. k 1·k 2>0
D.k 1=k 2
k 2
没有交点,那么k 1和k 2 x
4. 反比例函数y =P (-1.5,2),则k =________. 1
5. 点P (2m -3,1)在反比例函数y = 的图象上,则m =__________.
k x
x
6. 已知反比例函数的图象经过点(m ,2)和(-2,3)则m 的值为__________. 7. 已知反比例函数y =
1-2m
的图象上两点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2),当x 1
1+b
的图象在每个象限内,y 随x 的增大而增大, x
1+b
,求a 是多少? x
有y 1
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