三维各向同性谐振子的代数解法
第22卷第5期2003年5月大 学 物 理COLL EGE PHYSICS Vol. 22No. 5May. 2003
三维各向同性谐振子的代数解法
李兴华, 杨亚天
(福建师范大学物理系, 福建福州 350007)
摘要:用带角动量的玻色算子统一构成三维各向同性谐振子的能量本征函数, 方程得到的本征解之间的关系. 这种方法快捷优美, 关键词:三维谐振子; 带角动量的玻色算子; 能量本征函数
中图分类号:O 431. 1 文献标识码:A() 0521 引言2 三维各向同性的谐振子与带角动量的玻色算子
条平行的路线, 薛定谔证明了这两种表达是等价的, 而今统称为量子力学. 因此在求解本征方程时也就有了直接求解微分方程的波动力学解法和代数解法两种, 这两种方法相互补充, 相得益彰.
对三维各向同性谐振子的解也是如此. 在球坐标中, 三维各向同性谐振子的解, 通常分离变量后是径向波函数与角动量波函数的乘积, 径向波函数又是高斯函数幂函数和合流超几何函数的乘积[1].
其代数解法又有两种, 一种是对径向解引入与角动量量子数l 有关的四类升降算子法[1]. 但其李代数关系与l 有关, 比较复杂. 另一种就是本文要介绍的, 引入带角动量的玻色算子, 给出三维谐振子能量本征函数的统一表达式. 这种方法的优点是李代数关系有统一的表达式, 比较简单, 不直接显含l , 方法快捷, 形式优美. 其实核物理学家早就用类似的精神构筑过El 2
liott SU (3) 模型和互作用玻色子模型可积情形的本征
三维各向同性谐振子的哈密顿量是
H ^=
2m
222
(^p x +^p y +^p z ) +
2222
m ω(x +y +z ) (1) 2
对x , y , z 分别引入玻色算子:
b
x =b x =b y =
++
(ξ-i ^ξ-p ξ) =(ξ+i ^ξ+p ξ) =(η-i ^η-p η) =
(η+i ^η+b y =p η) =
+
b z =
(2)
(ζ-i ^ζ-p ζ) =
5
(ζ+i ^ζ+p ζ) =
y , ζ≡
b z =
ξ≡其中:
^p ξ=
x , η≡
函数. 徐躬耦等也在讨论量子可积性时构筑了这一波函数[2].
本文还讨论了所构筑的算子和波函数在球坐标中的表达形式以及和波动力学解的关系. 希望这种方法经过一些技巧性的处理能推广到氢原子问题上去.
^p x , ^p η=m ω∂
^p y , ^p ζ=m ω∂
z
^p z
m ω∂
+
现在再引入:a ±1=
(++++
b x +i b y ) , a 0=b z a ±1
(b x i b y ) , a 0=b z = (3)
收稿日期:2001-09-20; 修回日期:2002-07-06 基金项目:国家自然科学基金资助项目(19375012) ; 福建省教委资助项目(k2001041)
) , 男, 福建建瓯人, 福建师范大学物理系讲师, 硕士. 作者简介:李兴华(1959—
18
大 学 物 理 第22卷
[a i , a j ]=δij , [a i , a j ]=[a i , a j ]=0
+
+
+
+
故知a m |0〉是角动量量子数为1, 投影为m 的状态.
易证:令:
i , j =0, ±1
^n x =b x b x , ^n y =b y b y , ^n z =b z b z
^n i =a i a i , ^n =
+
i =0, ±1
(4) (5a ) (5b )
+++
3 三维各向同性谐振子的能量本征函数
n ∑^
i
由式(6a ) 可知[H ^, ^n x ]=[H ^, ^n y ]=[H ^, ^n z ]=0, 且因为^n x , ^n y , ^n z 彼此互易, 故H ^与^n x , ^n y , ^n z 有共同本
) |征函数|n x n y n z 〉, H ^|n x n y n z 〉=(n x +n y +n z +2
n x n y n z 〉, n x , n y , n z =0, 1, 2, …, |n x n y n z 〉=
n x ! n y ! n z !
+
(b x )
n
x
则式(1) 的哈密顿量又可写为
H =^n x +^n y +^n z +
2
(6a ) (6b )
或H =
i =0, ±1
∑(a +a
i
i
+
) =^n +22
+
(b y )
n
y
+
(b z )
n
z
|0〉. 其中“真空
下面我们来证明a i 就是带角动量的玻色产生算子.
+
(m =0, ±先利用a m 和a m 1) 构造角动量算子, 令
+
态”满足b i |0〉=|0〉, i =x , y , z , 式([^n ]=[, =[L 0, 且已知
L , , 故L , 2
2
L
+1
=a 0+a -1+a 1+a 0
-1
L 0=^n 1-^n -1, L
=a 0+a 1+a +-1a 0
, [L
+1, L
-
(7)
1=
利用式(4) 可算出[L 0, L
L 0. L 0和L
±1]|, n +
2
|nl m 〉.
() . ((8a )
+
(7) 下面我们用a m 来构造|nl m 〉, 首先由式(5b ) 、
(2) () :
+
L 0(b y b x -b x b y ) =ξp p η-ηξ=L z
和(11) , 知
|lll 〉=
l !
(a 1+) l |0〉
(12)
L +1=
++++
(b z b x -b x b z +i b z b y -i b y b z ) =再利用角动量的降算子L -1, 可得|ll m 〉=N
(L
-1)
l -m
[ηp p p p ζ-ζη+i (ζξ-ξζ) ]=(8b ) [L x +i L y ]
(
(8c ) L -1=L x -i L y )
这里L x , L y , L z 就是通常的角动量L ^=r ×^p 的三个分
+
|lll 〉, N 是归一化因子, 再由a 构成角动
量为零的粒子对, 则
P 0+≡-++
1m 1, 1m 2|00〉a m 1a m 2=
+++(a 1a -1-a 0+2+a +-1a 1) =+2+2+2+2 a 0-2a 1+a +-1=b x +b y +b z
-
(13)
量, 则
L ^=L 0+L
2
2
+1
这样最后得到振子数n =2n r +l 的能量本征态为
L
-1
+L
-1
L
+1
2
=L 2x +L 2y +L z (9) |nl m 〉=N nlm (P 0+) n (L
-1)
l -m
l
(a ++1) |0〉(14)
是总角动量算子, 且[L 2, L i ]=0, i =0, ±1或x , y , z. 可证
[^n , L ]=[^n , L 0]=[L ^, L 0]=0
2
2
令
+
P 0=(P 0)
+
=a 20-2a 1a -
1
(15)
++
下面我们讨论a m , a m , ^n , L k , P 0, P 0(m , k =0, ±1) 之
(15) 和对易间的代数关系. 由P 0和P 0+的定义(13) 、
故^n , L 2, L 0有共同本征函数, 记为|nl m 〉, 则
^n |nl m 〉=n |nl m 〉, L ^|nl m 〉=l (l +1) |nl m 〉
L 0|nl m 〉=m |nl m 〉
2
式(4) 可得:
222
P 0, ^n +^n +
+
222
P 0, ,
=-P 0P 0
+
2=
^n +
2P 0
+
先考虑振子数^n 为0的“真空态”, 它满足a m |0〉=0,
(7) 、(9) 立刻算出m =±1, 0. 因而根据式(5) 、
^n i |0〉=L 0|0〉=L ^|0〉=0
+2
22(10)
即“真空态”是振子数和角动量为零的状态, 再考虑n
=1, ^n 的独立本征解有三个, 即a m |0〉, m =0, ±1. 显(7) 和然它们的线性组合也是^n 的本征解, 由式(4) 、(9) 可算出
++
L 0a m |0〉=m a m |0〉
2=-
2P 0
可知P 0+, P 0, ^n 构成SO (2, 1) 子代数, 记为h 1. 另外, 我们从上面已知L m (m =0, ±1
) 构成SO (3) 子代数, 记为h 2. 可以证明[P 0, L k ]=[P 0+, L k ]=[^n , L k ]=0. 所以这两个子代数h 1和h 2是互易的, 还可以算出:
[^n , a m ]=a m , [^n , a m ]=-a m
+
+
L ^a m |0〉=2a m |0〉=1(1+1) a m |0〉, m =0, ±1
(11)
2+++
第5期 李兴华等:三维各向同性谐振子的代数解法
[P 0, a m ]=-2 a m , [P 0, a m ]=[P 0, a m ]=0
+1-[P 0, a m ]=2×(-1)
m
19
ρ--cos θe i +
ρ+++
-
a -
+
2
sin θe i
m
δm , 1+a -1δm , -[L 0, a m ]=-a 1
+++
δm , -[L 0, a m ]=a 1δm , 1-a -1
11
k
m , k
φi =-ρsin θ2
sin θe i
a ρ+
+
δm , 0-a 0δm , 1=-[L 1, a m ]=-a -1
+
[L 1, a m ]=a 0+δm , -1
∑a -1δ
k
(θφ) (18) ρL 0(θ, φ) -ρL +1,
其中L 0(θ, φ) 和L +1(θ, φ) 分别由式(16a ) 和(16b ) 给
+a 1+δm , 0=
∑a ++1δ
k
k
m , k
出.
有了L k 和P 0+, a 1+这几个算子, 我们便可以讨论能量本征态|nl m 〉在球坐标中的表达式. 首先考虑“真空态”|0〉, 它满足a m |0〉=0, m =0, ±1. b i |0〉=0, , , z
[L
-1
δm , -, a m ]=-a 0
, a m ]=
+
+
a 0δm , 1
1
δm , 0=--a 1
+
δm , 0a -1
∑a +1δ
k
k
m , k
[L
-1
+=
∑a
k
k -1
+
δm , k
++
这样L k , a m , a m , ^n , P 0, P 0就构成一个封闭的李
代数, 且[h 1, h 2]=0, [h 1, N m (3) ]
(3) ]
+
P 0
, q ) φ 〈q |0〉≡0(q ) =
e -2ρ
2
, P 0, ^n 构成的SO ,
1) 子代数, h 2是由L m (m =, (3) 数, N m (3) m m (3) h 1 h 2
+
a 1
α3/2
e
-
222(ξ
+η+ζ) 2
=
α3/2
∑
N m 3) , 构成能量本征态的三个算子是
(20)
, L
-
1, P 0.
+
由式(10) 可知“, 真空态”是n =l =m =0的状态, 即能量的基态.
下面我们再给出〈q |lll 〉的球坐标表达式, 由式
θk i k (18) , 注意到Y kk =N sin θe , N 是归一化常数. sin θ
4 算子和能量本征态的坐标表象
直角坐标的表达式只是三个一维谐振子的直积, 不再赘述. 我们更感兴趣的是球坐标中的表达式, 由球坐标ρ, θ, φ和直角坐标ξ, η, ζ的关系可得[3]:
L 0=ξp p η-ηξ=-i ξ
e i Y kk =C Y k +1, k +1, C 是常数. 而Y kk 是角动量为k , 投
φ
影为k 的最高权态, L +1Y kk =0. 考虑到式(16) , e i φL 0
=e i
φ
η=-i -(16a )
-i
φ
=(L 0-1) e i , 代入式(12) 并考虑式5-2
l
(20) 得:
L
+1
(L x +i L y ) =-η-ζ+=e i i ζ-ξ+icot θ
=
(16b )
ψ〈q |lll 〉=N 1lll (q ) ≡
ρ-+
l
φ() e i -ρL 0-1sin θN 2
ρL
+1
e -
2ρ2
=
2ρ2・
L
-1
=
(i L x -i L y ) =e -+icot θ
(16c )
-2
l
k =1
∏
l
ρ-+(k -1) e -ρ-2
l
Y ll (θ, φ) =N 2
l
) Y ll (θ, φ) F l (ρ
2ρ
2
(21)
) =其中:F l (ρ
k =1
∏
ρ-+(k -1) e -ρd
e -d 22
) =ρ-F 1(ρ) =ρ-F 2(ρ
=2ρe -
22
2ρe -+
d ρρ
2ρ2
) 2e -=(2ρ
2ρ2
……
a 1+=-++
(b x ) =-ξ-+i η-i =+i b y
2) =(2ρ) l e -用归纳法可证F l (ρ
2ρ
2
, 故有
l l -ψlll (q ) =N 1(-1) ρe
22
Y ll (θ, φ)
20
2ρ2
大 学 物 理 第22卷
1) l -m
l -ψlll (q ) =N 2ρe
ψlll (q ) =N ′1(L
-
Y lm (θ, φ)
(22)
另一方面我们知道三维各向同性谐振子的径向解为[1]
l +1-2
e 2F -n r , l +, ρρ2
2
(24)
N 1, N ′1, N 2都是归一化常数, 再由式(14) 和(17) 得
其中
F (α, γ, z ) =1+
22
ψ-2ρ-+ρ- 2n +l , lm (q ) =N 2ρd ρr d ρ
Γ(α)
∞
n =1
n ! Γ(γ+n ) z
n
(25)
2-3
ρ
2
2
n
l -ρe
r
2ρ
2
Y lm (θ, φ) =
是合流超几何函数, 利用[4]
Γ(λ)
〈λ〉=(λ+n -1) ・n Γ(λ)
(λ+n -2) …(λ+1) λ
F (α, γ, z ) =1+
n
z =n ! (
γ+n -1) -1) γ1
1 l -把ρe
2
+ρ-3-2-2ρ-ρd ρd ρ
n
ρ
2
l -ρe
r
22
) Y lm (θ, φ
22移到方括号的左边得
2ρ
N e -2
ψ 2n +l , lm (q ) =r
2
l +1-2-2(2ρd ρ
〈z n 〈! n n 1n
2
, ρ和式(23) 2
n r 4l d l +1
Y lm () N e -2ρ・
) Y lm (θ, φ) (23) G n , l (ρ
25) F -n r , l +算出的结果进行对照, 1.
用归纳法不难得知:
r
表1
n r
) =C n , l (ρ
r
22
ρ-+4ρ-4l +2-22ρρd 2d ρ
2
=-4l +
2
1-2
l +3/2
n
r
F -n r , l +
2
, ρ2
1
24ρ-4l +
1-
2
l +3/2
4216ρ-(32l +80) ρ+4(2l +3) (2l +5) =16l +
2
2
l +
224
1-+
() () l +3/
2l +3/2l +5/2
1-
24
+
(l +3/2) (l +5/2) l +3/2
…
……
) = G n r , l (ρ
22
ρ-+4ρ-4l +2-2(2ρd ρd ρn n r ! 〈l +3/2〉n r =(-4) n r ・2〈-n r 〉n
r
|(P 0+)
n
r
(L -1)
l -m
(a 1+) l |0〉, N 和N nlm 都是归一化常
2
数, (
(a 1+
+l
a +1) |l
l +1-0〉给出ρe 2Y ll (θ, φ) , (L
2
-1)
l -m
2
(26) , ρ
2
, 由波动力学的
F -n r , l +
l +1-) |0〉给出e 2Y lm (θ, φ) , (P 0+) n r 给出F
2ω, -n r , l +, ρ, 能量本征值为E n =n +
22
级数解法可直接求出三维各向同性谐振子的能量本征函数为
l +1-ψnlm (q ) =N e 2・
ρ
2
) F -n r , l +, ρY lm (θ, φ
2
〈q |nl m 〉=N nlm 〈q
2
n =2n r +l.
5 结论
+
(m =±我们用带角动量的玻色算子a m 1, 0) 和由
它构成的L m , m =±1, 0及P 0+就可以很简单地统一构造出三维各项同性谐振子在球坐标中的能量本征函
第5期 李兴华等:三维各向同性谐振子的代数解法数, 并把每一个算子所起的作用和波动力学解的结果作了比较. 我们希望能把这一方法推广到氢原子中去, 因为氢原子的波动力学解是[1]ψnlm (q ) =N r l +1e -
r
(l +n +1)
r
21
的玻色子给出F -n r , 2l +2, l +n +1, 这是一个十
r
分有趣的问题, .
・
参考文献:
[1] 曾谨言. 量子力学专题分析(下) [M ].北京:高等教育出
-22
F (-n r , 2l +2,
) Y lm (θ, φ)
l +n r +1
,
版社, 1999. 145~152.
[2] 徐躬耦, 杨亚天. 微观世界中的混沌(非线性科学从书)
[M ].长春:东北师范大学出版社, 1999. 93~98. [3] 周世勋. 量子力学教程[M ].北京:人民教育出版社,
与谐振子不同的是基态波函数, 谐振子为〈q |0〉∝e 而氢原子∝e
-n r , l +
-r/(l +n +1)
r
, F
2
, 而氢原子为F -n r , 2l +2, , 作,
l +n r -2
+
+
b 1
1979. 61.
[4] , . [,
一个变换后是否也能引入玻色算子b m , 使真空态为
e
-αr
, 而〈q |() |0〉∝r e
l l -αr
) , 且角动量为零Y ll (θ, φ
. .
Algebraic 2oscillator
L I Xing hua , YAN G Ya 2tian
(of Physics , Fujian Teachers University , Fuzhou , Fujian ,350007,China )
Abstract :By using the boson operators which carry angular momentum of one unit the eigenfunc 2
tions of hamiltonian of 32dimensional isotropic harmonic oscillator are constructed uniformly. The rela 2tion between algebraic solution and the solution obtained by solving differential equation directly are discussed. The method is simple and elegant. We have a unified expression for eigenstates here. The Lie algebra between the operators used are quite simple.
K ey w ords :32dimensional isotropic harmonic oscillator ; boson operator carrying angular momen 2
tum ; eigenfunction of energy
(上接14页)
The entangled state representation in quantum mechanics
FAN Hong 2yi
(Department of Material Science and Engineering , University of Science and Technology of China ,
Hefei , Anhui , 230026, China )
Abstract :The entangled state representation constructed recently by the present author is reviewed
briefly
, and its applications are listed.
K ey w ords :entangled state representation ; the Wigner operator ; two 2mode squeezing ; operational phase operator