一阶RC电路分析
换路前,开关S 合在位置2上,电源对电容充电。
t=0时将开关从位置2合到位置1,使电路脱离电源,输入信号为零。此时,电容已储有能量,其上电压的初始值u C (0+)=U0;于是电容经过电阻R 开始放电。
根据基尔霍夫电压定律,列出t ≥0时的电路微分方程
RCdu C /dt+uC =0 3.3.1 式中 i=CduC /dt
令式 3.3.1的通解为 uC =Aept 代入3.3.1并消去公因子Ae pt 得微分方程的特征方程 RCp+1=0 其根为p=-1/RC
于是式3.3.1的通解为 uC =Ae-1t/RC
定积分常数A 。根据换路定则,在t=0+时,u C (0+)=U0,则A=U0。 所以 uC = U0e -1t/RC= U0 e-1/τ ------ 3.3.3
1
du C /dt=-U0/τ 即过初始点的切线与横轴相交于τ。
从理论上讲,电路只有经过t=∞的时间才能达到稳定。但是,由于指数曲线开始变化较快,而后逐渐缓慢,
如下表所列
图3.3.3所示。因为在一定初始电压下,电容越大,则储存的电荷越多;而电阻越大,则放电电流越小。这都促使放电变慢。因此,改变R 或C 的数值,也就是改变电路的时间常数,就可以改变电容放电的快慢。 至于t ≥0时电容的放电电流和电阻上的电压,也可求出即
i=CduC /dt=-U0e -t/τ/R; uR =Ri=-U0 e-t/τ上两式负号表示放电电流的实际方向与图3.3.1中所选定的参考方向相反。
所求u C ,u R 及i 随时间变化的曲线画在一起,如图3.3.2(b )所示。 例3.3.1电路如图所示,开关S 闭合前电路处于稳态。在t=0时,将开关闭合,试求t ≥0时电压u C 和电流i C 、i 1及i 2。
i 2Ω
零状态响应-----换路前电容元件未
例3.3.1图
3
0 t<0 u=
U t>0
≥0程
U=Ri+uC =RCduC /dt+uC 式3.3.7 uC = uC ′+ uC ″=U+Ae-t/RC
在t=0时,u C (0+)=0,则积分常数A=-U。所以电容两端的电压
u C = U- Ue-t/RC= U(1-e -t/RC)= U(1- e-t/τ)
u C
至于t ≥0求出,即
i=CduC /dt=Ueu R =Ri=Ue-t/τ
u C , uR 及i 综上所述,
(1) 按换路后的电路列出微分方程; (2) 求微分方程的解,即稳态分量; (3) 求微分方程的补函数,即暂态分量;
(4) 按照换路定则确定暂态过程的初始值,从而定出积分常数。 分析较为复杂的电路的暂态过程时,也可以应用戴维宁定理或诺顿定理将换路后的电路化简为一个简单电路(如图3.3.5),而后利用由上述经典法所得出的式子。
例3.3.2如图所示的电路中,U=9V,R 1+
u C -
R 2=3 kΩ,C=1000pF,
u C (0)=0。试求t ≥0时的电压u C 。
解:略
3.3.3 RC电路的全响应
5
全响应-----电源激励和电容元件的 等效电路
初始状态u C (0+)均不为零时电路的响应。也就是零输入与零状态响应两者的叠加。
在图3.3.5的电路中,阶跃激励的幅值为U ,u C (0-)=U0。t ≥0时的电路的微分方程和式3.3.7相同,也由此得出
u C = uC ′+ uC ″=U+Ae-t/RC
但积分常数A 与零状态时不同。在t=0+时,u C (0+)= U0,则A= U0- U 所以 uC = U+(U 0- U)e -t/RC ----3.3.11 改写为 uC = U0 e-t/τ+ U(1- e-t/τ)
显然 右边第一项为零输入响应;第二项即零状态响应;有
全响应=零输入响应+零状态响应
这是叠加原理在电路暂态分析中的体现。求全响应时,可把电容的初始状态u C (0+)看作一种电源。u C (0+)和电源激励分别作用时所得的零输入和零状态响应叠加即为全响应。
式3.3.11右边也有两项:为稳态分量;为暂态分量;于是全响应也可表示
为: 全响应=稳态分量+暂态分量
求出后,就可得出
i=CduC /dt, uR =Ri
例3.3.3在图3.3.10中,开关长期合在位置1上,如在t=0时把它合到位置2后,试求电容上的电压u C 。已知R 1=1kΩ,R 2=2 kΩ,C=3uF,电源电压U 1=3V和U 2=5V。 解:略(见教材)
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思考3.3.1 、3.3.2、3.3.6 习题:3.4.2 作业:3.3.1、 3.3.3、 3.4.1、 3.4.3
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