习题十八 第一型曲线积分

习题十八 第一型曲线积分

一、填空题

1、 设曲线L 是由L 1:x =0(0≤y ≤1), L 2:y =0(0≤x ≤1), L 3:x +y =1(0≤x ≤1) 所围成的平面图形的边界，函数f (x , y ) 在上连续，则将计算时，

⎰

L

f (x , y ) ds 化为定积分

⎰

⎰

⎰L 1

f (x , y ) ds =⎰f (0, y ) dy ，

f (x , y ) ds =⎰f (x , 0) dx ，

01

1

L 2

L 3

f (x , y ) ds = f (x , y ) ds =

⎰

1

1

f (x , 1-x ) 2dx ，

1

1

L

⎰

f (0, y ) dy +⎰f (x , 0) dx +⎰f (x , 1-x ) 2dx

。

2、 设曲线L 的方程为y =-x 2，函数f (x , y ) 在L 上连续，现将曲线积分

⎰

L

f (x , y ) ds 化为定积分进行计算，则当取x 为参数时，

⎰

L

f (x , y ) ds =

⎰

1

-1

f (x , -x 2)

dx -x

2

，而当取y 为参数时，

⎰

L

f (x , y ) ds =

22

⎰[f (--y , y ) +f (-y , y )]0

1

dy -y

2

3、设曲线L 的方程为y =4-x 2（0≤x ≤2) ，则曲线L 以极角为参数的参数方程

⎧x =2cos t , π

，用极坐标计算弧长的曲线积分时，0≤t ≤⎨

y =2sin t , 2⎩

π

⎰

L

f (x , y ) ds =

⎰

2

2f (2c o t , s 2s i t ) n dt 。（其中f (x , y ) 在L 上连续）。

⎧x 2+y 2+z 2=3

4、设曲线Γ的直角坐标方程是⎨，则Γ用柱面坐标中的θ为参数的参

z =1⎩

⎧x =2cos t ,

⎪

数方程为⎨y =2sin t , 0≤t ≤2π，并利用它计算曲线积分

⎪z =1, ⎩

⎰

Γ

f (x , y , z ) ds =

⎰

2π

f (2cos t , 2sin t , 1) ⋅2dt ，（其中f 在Γ上连续）。

2

二、计算曲线积分xds ，其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 所围成的区域的边界。

⎰

L

解：L 1:y =x 2(0≤x ≤1), L 2:y =x (0≤x ≤1)

xds =xds +xds

L

L 1

L 2

=

⎰x

1

+4x dx +⎰x +1dx

2

1

=

1

(5+62-1) 12

三、计算曲线积分e

L ⎰

x 2+y 2

ds ，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2，直线y =x 及x 轴在第一象

限内所围成的扇形的边界。

解：L =L 1+L 2+L 3，

L 1:y =0(0≤x ≤a ), ∴⎰e

L 1

x 2+y 2

ds =⎰e x dx =e a -1

a

⎧x =a cos t , πL 2:⎨(0≤t ≤),

4⎩y =a sin t , ∴⎰e

L 2

x 2+y 2

π

ds =⎰4e a ⋅adt =

π

4

ae a

L 3:y =x (0≤x ≤a ),

⎰e

L 3

x 2+y 2

ds =⎰e

a

2x

+1dx =e

2a

-1

⎰e

L

x 2+y 2

ds =e a -1+

π

4

ae a +e

2a

-1=e a (2+

π

4

a ) -2

四、计算曲线积分

解：

⎧x =a (t -sin t ) 2

L y ds ，其中为摆线的一拱0≤t ≤2π) 。 ⎨⎰L

⎩y =a (1-cos t )

2π

⎰

L

y 2ds =⎰a 2(1-cos t ) 2⋅a (1-cos t )]2+[a (0+sin t )]2dt

03

=2a

⎰

2π

02π

(1-cos t ) dt

52

t dt

022πt t =8a 3⎰sin 4⋅sin dt

0222πt t

=-16a 3⎰(1-cos 2) 2d (cos)

0222563=a 15=2a 3⎰42sin 5

五、计算曲线积分

2x ⎰Γyzds ，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点

(0, 0, 0), (0, 0, 2), (1, 0, 2), (1, 3, 2) 。

⎧x =0,

⎪2

解：AB :⎨y =0, (0≤t ≤1), ∴x yzds =0

⎪z =t , ⎩

⎧x =t , ⎪2

BC :⎨y =0, (0≤t ≤3), ∴x yzds =0

BC

⎪z =2, ⎩

⎧x =1,

3⎪2

CD :⎨y =t , (0≤t ≤3), ∴x yzds =⎰2t ⋅+0+0dt =9

CD 0

⎪z =2, ⎩

⎰

Γ

x 2yzds =(++) x 2yz ds =0+0+9=9

AB

BC

CD

六、试求均匀心形线r =a (1-cos θ)(a >0) 的重心。

解：由对称性知y =0，设线密度ρ为常数。

参数方程为：⎨

⎧x =r cos θ=a (1-cos θ) cos θ,

(0≤θ≤2π)

⎩y =r sin θ=a (1-cos θ) sin θ,

M =ρds

L

=ρ⎰

2π

02π

a 2(-sin θ+2cos θsin θ) 2+a 2(cosθ-cos 2θ+sin 2θ) 2d θ

=ρ⎰a 2(1-cos θ) d θ

=ρ⎰a 4sin 2

2π

2

d θ

=2a ρ⎰sin

2π

θ

2

d θ

=4a ρ

M y =x ρds

L

=ρ⎰a (1-cos θ) cos θ2(1-cos θd θ

2π

=-

162

a ρ5

∴x =

M y

4=-a M 5

4

a , 0) 5。

所以所求重心坐标为(-