湘教版高中数学(必修3)7.2[一般式]word教案
第三课时 直线的方程－一般式
●教学目标
1. 明确直线方程一般式的形式特征;
2. 会根据直线方程的一般式求斜率和截距;
3. 会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. ●教学重点
直线方程的一般式 ●教学难点
一般式的理解与应用 ●教学方法
学导式 ●教具准备
幻灯片、三角板 ● 教学过程
1、. 复习回顾
直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式及适用范围。
2、提出问
题
请大家从上述四种形式的直线方程中，能否找到它们的共同点呢？ 都是关于x 、y 的二元一次方程。
由此得出直线与二元一次方程有着一定的关系。 3、解决问题:
直线和二元一次方程的关系
① 在平面直角坐标系中, 对于任何一条直线, 都有一个表示这条直线 关于x , y 的二元一次方程.
在平面直角坐标系中, 每一条直线都有倾斜角, 在α≠90°时，它们都有斜率，方程可以写成下面的形式：y = kx + b
当α=90°时，它的方程x = x 1的形式，由于是在坐标平面内讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数为0。
②在平面直角坐标系中, 任何关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线.
因为x 、y 的二元一次方程的一般形式是Ax +By +C =0, 其中A 、B 不同时为0, 当B ≠0时，方程可化为y =-
A C
x -，这是直线的斜截式方程，它表示斜率为－A/B,在y 轴B B
上的截距为－C/B的直线。
当B ＝0时, 由于A 、B 不同时为0，必有A ≠0，方程可化为x =-
C
，它表示一条与y A
轴平行或重合的直线。
在平面直角坐标系中，任何关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。
直线方程的一般式: Ax +By +C =0，其中A 、B 不同时为0（A. 2＋B 2≠0） 4、应用反思
例1 已知直线经过点A (6,-4),斜率为-解:经过点A (6,-4)并且斜率等于-
4
, 求直线的点斜式和一般式方程. 3
4
的直线方程的点斜式是: 3
4
y +4=-(x -6) 化成一般式, 得4x +3y -12=0.
3
说明:例1 要求学生掌握直线方程的点斜式与一般式的互化.
例2把直线l 的方程x －2y ＋6＝0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画图.
解:将原方程移项, 得2y ＝x ＋6 两边除以2, 得斜截式y ＝x/2＋3 因此, 直线l 的斜率k ＝1/2，它在y 轴上的截距是3，在上面的方程中令y =0，可得x =－6，即直线l 在x 轴上的截距是－6. 由上述内容可得直线l 与x 轴、y 轴的交点为A （-6，0）、B （0，3），过点A 、B 作直线，就得直线l . （如右图）.
说明:要掌握直线方程一般式与斜截式的互化, 并求出直线的斜率与截距. 巩固训练 P 43 1、2、3.
例3已知直线Ax + By + 12 = 0在x 、y 轴上的截距分别是－3和4，求A 、B 的值。 分析：由直线在x 、y 轴上的截距分别是－3和4，知直线经过点（－3,0）、（0,4），根据直线方程的有关概念，代入方程即可求出A 、B 的值。 解：由截距的意义知，直线过点（－3,0）和（0,4），因此有
A ×（－3）＋B ×0＋12＝0 A ×0＋B ×4＋12＝0 解得：A ＝4，B ＝－3
例4两条直线l 1：a 1x + b1y = 3, l2：a 2x + b2y = 3相交于点P （1,2），求经过A （a 1,b 1）、B （a 2,b 2）的直线AB 的方程。
分析：由l 1、l 2都经过点P （1,2）得：a 1 + 2b 1 = 3, a 2 + 2b2 = 3, 即点A （a 1,b 1）、B （a 2,b 2）的坐标都适合方程x + 2y = 3，故经过A 、B 的直线方程是x + 2y = 3。 解：由l 1、l 2都经过点P （1,2）得：a 1 + 2b1 = 3, a2 + 2b2 = 3,即点A （a 1,b 1）、B （a 2,b 2）的坐标都适合方程x + 2y = 3，故经过A 、B 的直线方程是x + 2y = 3。 ●归纳总结
数学思想：数形结合、特殊到一般 数学方法：公式法
知识点：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 ●作业 习题7.2 8,9,10,11.
思考题：直线l 过点P （2,1）且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求使△AOB 面积取到最小值时直线l 的方程。
解：设直线l 的方程为x/a + y/b = 1(a>0,b>0)，则2/a + 1/b = 1
∴ab = 2b + a , 又2b + a≥22ab 当且仅当a = 2b=2时等号成立 ∴(ab) ≥ 8ab 即ab ≥8 ∴S △AOB = ab/2 ≥4 当且仅当a= 4, b= 2时等号成立。
∴△AOB 面积取到最小值时直线l 的方程是：x/4 + y/2 = 1 即x + 2y－4＝0 教学后记：
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